– tài liệu chuyên đề toán hoi thao khoa hoc cac chuyen de toan bdhg tai khanh hoa cac chuyen de bdhsg ha noi 2012 ky yeu mon toan olp duyen hai bac bo2011 bai tap luyen thi olp 304 lop 10

r»ng (H) lµ mét hypebol.[r]

Ba đờng cônic Lý thuyết

I.ElÝp

1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) số a>c

Elíp (E) tập hợp điểm M thỏa m·n MF1+MF2= 2a

(E) = { M: MF1+MF2= 2a}

Ta gäi : F1, F2 tiêu điểm (E)

Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (E)

2)Phơng trình tắc elip:

(E): 2 2

 

b y a x

( víi b2 = a2- c2 )

3)Hình dạng tính chất (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu điểm phải F2( c; 0)

*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b)

*Trơc lín : A1A2= 2a, n»m trªn trơc Ox

Trơc nhá :B1B2= 2b, nằm trục Oy

*Tâm sai : e =

a c

<1

*Bán kính qua tiêu điểm điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:

Bán kính qua tiêu điểm tr¸i: MF1= a + e.xM= a+

a c

xM

Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM= a-

a c

xM

*§êng chuÈn: x =

e a



*Phơng trình cạnh hình chữ nhật sở: x= a; y = b ( Độ dài hai cạnh

là 2a 2b)

*Trc đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O

4)TiÕp tuyÕn cña elip

Định nghĩa: Cho elip (E) đờng thẳng (d) Đờng thẳng (d) gọi tiếp tuyến

(E) nÕu (d) cã mét ®iĨm chung với (H)

Định lý :Cho elip (E) có phơng trình tắc:

(E): 2

2

 

b y a

x víi b2 = a2- c2

Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2  0) lµ tiÕp tun cđa (E) vµ chØ

khi : A2a2+B2b2=C2

( gọi điều kiện tiếp xúc)

Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (E) hệ phơng trình sau có nghiệm nhÊt           0 1 2 2 C By Ax b y a x                                      0 1 2 C b y Bb a x Aa b y a x (I) Đặt X= a x , Y= b y

ta cã hÖ:    

            0 1 2 C Y Bb X Aa Y X (II)

HÖ (I) cã nghiÖm nhÊt hÖ (II) cã nghiÖm nhÊt

 Đờng thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đờng tròn (C ): X2+Y2=1 

Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d’) bán kính R =

 2 2 

B b a

A C



A2a2+B2b2=C2

Hệ quả: Cho elip (E) có phơng trình tắc:

(E): 2 2   b y a x

víi b2 = a2- c2

NÕu ®iĨm M(xM; yM) thuộc (E) tiếp tuyến (E) M có phơng trình (d):

2

2  b 

y y a

x

x M M

Chøng minh

Do M thuéc (E) nªn cã : 1

2 2   b y a

xM M

HiĨn nhiªn M thc (d) Ta cã (d): 2  2 1

b y y a

x

x M M

 2  2  10

b y y a

x

x M M

Theo điều kiện định lý có :

2

2 2

2 b b

y a a

xM M

             = 2 2   b y a

xM M

II.Hypebol

1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0) số

a<c.Hypebol (H) tập hợp điểm M thỏa mÃn MF1-MF2 = 2a

(H) = { M:  MF1-MF2 = 2a}

Ta gäi : F1, F2 tiêu điểm (E)

Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (E)

2.Phơng trình tắc hypebol:

(H): 2

2

 

b y a x

( víi b2 = c2- a2 )

3.Hình dạng tính chất (H):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)

Tiêu điểm phải F2( c; 0)

*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0)

*Trơc thùc: A1A2= 2a, n»m trªn trơc Ox

Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trục Oy

*T©m sai : e =

a c

>1

*Bán kính qua tiêu ®iĨm cđa ®iĨm M(xM; yM) thc (E) lµ:

Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM = a+

a c

xM

Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM = a-

a c

xM

*§êng chuÈn: x =

e a

*Phơng trình cạnh hình chữ nhật sở: x= a; y = b ( Độ dài hai cạnh 2a 2b)

*Phng trình đờng tiệm cận: y =

a b

 x

* Trục đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O

4.TiÕp tuyÕn cña hypebol

Định nghĩa:Cho hypebol (H) đờng thẳng (d) Đờng thẳng (d) gọi tiếp tuyến

của (H) (d) không song song với đờng tiệm cận (H) (d) có điểm chung nht vi (H)

Định lý :Cho hypebol (H) có phơng trình tắc:

(H): 2 2

 

b y a

x víi b2 = c2- a2

Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) tiÕp tun cđa (H) vµ chØ

khi :

( gäi lµ ®iỊu kiƯn tiÕp xóc)

Chøng minh:

Hai đờng tiệm cận (H) có phơng trình là: y= x

a b

  bxay=

Điều kiện để (d) không song song với hai đờng tiệm cận là: b B a A 

A2b2- B2b2

Đờng thẳng (d) tiÕp xóc víi (H) A2b2- B2b2 (*)vµ hệ phơng trình sau có

nghiệm nhất:

(I)           0 1 2 2 C By Ax b y a x                        0 1 2 C By Ax b y a x                          0 1 2 x C x By A bx ay x a                                      0 1 2 A bx ay a Bb x a a C bx ay x a Đặt X= x a , Y= bx ay

ta cã hÖ:

                  0 1 2 A Y a Bb X a C Y X (II)

HÖ (I) cã nghiÖm nhÊt hƯ (II) cã nghiƯm nhÊt  §êng th¼ng (d’):

a C

X+

a Bb

Y+A=0 tiếp xúc với đờng tròn (C ): X2+Y2=1 

Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d’) bán kính R =

 2 2   a b B a C A 

A2a2-B2b2=C2

Kết hợp với điều kiện (*) (d) tiếp tun cđa(H) vµ chØ A2a2-B2b2=C20

(H): 2 2

 

b y a

x víi b2 = a2- c2

NÕu ®iĨm M(xM; yM) thuộc (H) tiếp tuyến (H) M có phơng trình (d):

2

2  b 

y y a

x

x M M

Chøng minh

Do M thuéc (H) nªn cã : 1

2 2

2

 

b y a

xM M

HiĨn nhiªn M thc (d) Ta cã (d): 2  2 1

b y y a

x

x M M

 2  2 10

b y y a

x

x M M

Theo điều kiện định lý có :

2

2 2

2 b b

y a a

xM M

           

 =

1

2 2

2

 

b y a

xM M

Vậy (d) tiếp tuyến (H) M

III Parabol

1 Định nghĩa:Cho điểm cố định F đờng thẳng cố định không qua F.Parabol

(P) tập hợp điểm M cách điểm F đờng thẳng  (P) = { M: MF= d(M; )}

Ta gäi : F tiêu điểm (P)

ng thẳng  đờng chuẩn  p= d(F; ) l tham s tiờu

2.Phơng trình tắc cña parabol:

(P): y2= 2px

3.Hình dạng tính chất (E):

*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(

2

p

; 0) *Phơng trình đờng chuẩn : x = - 2p *Đỉnh : O(0; 0)

*Bán kính qua tiêu điểm ®iĨm M(xM; yM) thc (P) lµ:

MF = d(M; ) = xM+

p

*Trục đối xứng: Ox

4.TiÕp tuyÕn cña parabol

Định nghĩa: Cho parabol (p) đờng thẳng (d) Đờng thẳng (d) gọi tiếp tuyến

của (P) (d) không song song với trục đối xứng (P) (d) có điểm chung với (P)

(P): y2= 2px

Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) tiÕp tun cđa (P) vµ chØ

khi :

pB2=2AC

( gäi điều kiện tiếp xúc)

Chứng minh:

Ta thấy trục 0x cắt (P) điểm nhng không tiếp tuyến (P) Để (d) không song song víi trơc 0x th× A

Khi (d) tiếp xúc với (P) hệ sau có nghiệm

(I)

  

   

0 2

2

C By Ax

px y



     

  

   

   



A C By x

A C By p

y2 2 ()1

( Do A 0)

HÖ (I) cã nghiệm phơng trình (1) có nghiệm nhÊt  y2 +2p

A B

y + 2p

A C

= cã nghiÖm nhÊt



’=

A pC A

B

p

2

     

 =0



pB2=2AC ( tháa m·n A0) (®pcm)

Hệ quả: Cho parabol (P) có phơng trình tắc:

(P): y2= 2px

NÕu ®iĨm M(xM; yM) thuộc (P) tiếp tuyến (P) M có phơng trình (d):

y.yM= p(x+xM)

Chøng minh

V× M thuéc (P) nªn

IV.Ba đờng cơnic

1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , đờng thẳng  cố định khơng qua F

mét sè d¬ng e Cônic (C) tập hợp điểm M cho d(MFM;) e (C)=

  

  

  e

M d

MF M

) ; ( :

Ta gọi: F tiêu điểm  đờng chuẩn e tâm sai

2.Nhận xét

*Cho elip (E) có phơng trình t¾c: (E): 2

2

2

 

b y a x

T©m sai e=

a c

<1 §êng chuÈn: 1: x = -

e a

ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)

2: x =

e a

ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)

Với điểm M thuộc (E) thì:

) ;

(

1  M d

MF

=

) ;

(

2  M d

MF

= e Vậy đờng (E) đờng cônic với e<

*Cho hypebol (H) có phơng trình tắc: (H): 2

2 2

 

b y a

x víi b2 = c2- a2

T©m sai e=

a c

>1 §êng chuÈn: 1: x = -

e a

øng víi tiêu điểm trái F1(- c; 0)

2: x =

e a

øng víi tiªu ®iĨm ph¶i F2( c; 0)

Víi mäi ®iĨm M thuéc (H) th×:

) ;

( 1

1  M d

MF

=

) ;

( 2

2  M d

MF

= e Vậy đờng (H) đờng cônic với e>

*Cho parabol (P): y2= 2px

Tiêu điểm F(

2

p

; 0)

Phơng trình đờng chuẩn : x =

-2

p

Với điểm M thuộc (P) thì: d(MMF; )= Vậy đờng (P) đờng cônic với e=1

Một số dạng tập

Dng Xác định yếu tố (E),(H),(P) biết phơng trình tắc của chúng.

Phơng pháp: Sử dụng công thức xác định yếu tố (E),(H),(P).

VÝ dơ Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh 1

2

  y

x

Tìm tiêu điểm , tâm sai, đờng chuẩn (E) Giải

VËy a = 2, b = 1, c =

Khi : Tiêu điểm (E) F1(- 3; 0), F2( 3; 0)

T©m sai cđa (E) lµ e=

2  a

c

§êng chn cđa (E) lµ x=

3 

VÝ dơ Cho hypebol (H) có phơng trình

2

  y

x

Tìm tiêu điểm , tâm sai, đờng tim cn ca (H) Gii

Từ phơng trình t¾c cđa (H)  a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9.

VËy a = 2, b = 5, c =

Khi : Tiêu điểm (H) F1(-3; 0), F2(3; 0)

Tâm sai (H) e=

2 

a c

Đờng tiệm cận (H) y=

2

 x

VÝ dô Cho parabol (P) có phơng trình y2= 4x

Tỡm tiờu im v ng chun ca (P) Gii

Từ phơng trình (P)2p= 4p = Ta có : Tiêu điểm (P) F(1; 0) Đờng chuẩn (P) x = -

Dạng Lập phơng trình tắc (E),(H),(P).

Phng phỏp : lp phơng trình tắc (E)(H)(P) ta cần xác định hệ số

a, b,p phơng trình

Ví dụ 4.Lập phơng trình tắc elip (E) , biết (E) qua điểm M( ; - 2) khoảng cách hai đờng chun bng 10

Giải

Gọi phơng trình tắc (E) là: 2 2

 

b y a

x víi b2=a2- c2

Phơng trình đờng chuẩn là: x =

e a



 Khoảng cách hai đờng chuẩn

c a e

a 2

2

 = 10

 a2= 5c

 a4=25 c2 a4=25(a2-b2)

 b2=a2- 25

4

Do (E) ®i qua ®iĨm M( 5; - 2) nªn: 52  42 1 b

a 

1 25 2    a a a 5(1- 25 a

)+4= a2 -25

4

a

 a4- 30a2+225 = 0

(a2- 15)2=  a2= 15

Thay vµo (*) b2= 6

Vậy phơng trình (E) là: 15 2   y x

Ví dụ Viết phơng trình tắc hypebol (H) , biết (H) qua M(- 2;1)và góc hai đờng tiệm cận 600.

Gi¶i

Gọi phơng trình tắc (H) là: 2 2   b y a

x với b2=c2- a2

Vì M (H) nên 42  12 1 b

a (*)

Phơng trình hai đờng tiệm cận là: 1: y =

a b

x  bx- ay = 2: y =

-a b

x  bx+ ay = Góc hai đờng tiệm cận là:

cos(1;2) =

2 2 a b a b  

 cos600 =

2 2 a b a b    = 2 2 a b a b  

 b 2 a2 = b2+a2

            ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 a b a b a b a b        2 2 3 b a a b

Với b2= 3a2 thay vào (*) đợc a2= 11

; b2= 11

 Pt (H): 11

3 11 2   y x

Với a2=3b2 thay vào (*) đợc a2= 1; b2=

 Pt (H):

3 1 2   y x

Gi¶i

Ta cã elip (E): 25

2

 y

x cã a2 = 25, b2=  c2= a2-b2=16  c = 4.

Tiêu điểm (E) F1(-4; 0), F2(4; 0)

Gọi phơng trình tắc hypebol (H) lµ: 2

2

 

b y a x

víi b2= c2- a2.

Vì tiêu điểm của(H) trùng với tiêu điểm (E) nên có c = Do (H) cã t©m sai e =

a c

=  c = 2a  a = b2= c2- a2= 12

Vậy phơng trình cđa (H) lµ : 12

2

  y

x

VÝ dô 7.ViÕt phơng trình tắc parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0) Giải

Gọi phơng trình tắc parabol (P) lµ: y2= 2px

Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên

2

p

=  p = 10 VËy ph¬ng tr×nh cđa (P) : y2= 20x

Ví dụ 8.Viết phơng trình tắc elip biết elip tiếp xúc với hai đờng thẳng d1: x+ y - =

d2: x- 4y - 10 =

Gi¶i

Phơng trình tắc elip có dạng (E): 2

2

 

b y a x

víi b2= a2 - c2

Do (E) tiếp xúc với hai đờng thẳng d1 d2 nên theo điều kiện tiếp xúc có

   

 

 

100 16

25

2

2

b a

b a



   

  5 20

2

b a

Vậy phơng trình (E): 20

2

  y

x

Ví dụ Viết phơng trình tắc parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm F đến đờng thẳng x + y- 12 = l 2

Giải

Gọi phơng trình chÝnh t¾c cđa (P) : y2= 2px

Tọa độ tiêu điểm F(

2

p

;0)

d(F; )=

2 12  p

=2  p= 16 hc p = 32

Vậy phơng trình (P): y2= 32x hc y2= 64x

Dạng Lập phơng trình tiếp tuyến đờng cơnic

Ví dụ 10.Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm A(1; 4) tiếp xúc với

hypebol (H) :

4

2

  y

x Tìm tọa độ tiếp điểm.

Gi¶i

Gọi M(xo;yo) tiếp điểm (d) Khi đờng thẳng d có phơng trình dạng:

(d): x0.x-

y

y

=

Vì (d) qua A(1; 4) nên: xo - yo = (1)

Mặt khác M thuéc (H) nªn:

2

  y

x (2)

Tõ (1) vµ (2) suy

  

  0 1

0

y x

hc

     

 

 

3 8 3 5

0

y x

M ( 1;0) hc M( -

3

; -

3

)

TiÕp tun cđa (H) lµ: x = 1 x - = hc -

3

x +

3

y =  5x -2y + = Ví dụ 11.Viết phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng elip:

2

  y

x

vµ

5

2

  y

x

Gi¶i

Gäi tiÕp tuyÕn chung cđa hai elip lµ (d): Ax+ By+C = ( víi A2+B20)

Theo ®iỊu kiƯn tiÕp xóc cã :

   

 

 

2 2

2 2

5 4

4 5

C B A

C B A



   

 

2

2

9B

C B A

Chän A= 

  

 

 

3 1

C B

(d): x  y  = ( tiếp tuyến chung)

Dng Lập phơng trình đờng cơnic khơng dạng tắc Xác định yếu tố đờng cơnic khơng dạng tắc

Phơng pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đa dạng tắc

- Trong hệ tọa độ 0xy có I(x0; y0)

- Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ OI đợc hệ tọa độ IXY

- Công thức đổi tọa độ

  

 

 

0

y Y y

x X x

( Thật vậy, lấy điểm M Giả sử tọa độ M= (x; y) hệ tọa độ 0xy tọa độ M= (X; Y ) hệ tọa độ IXY Khi :OI=

(x0; y0)= x0 i +y0 j

OM = (x; y)= x i +y j

IM = (X; Y)= X i +Y j

Do OM OIIM nªn

  

 

 

0

y Y y

x X x

)

* Sử dụng định nghĩa để lập phơng trình đờng cơnic

Ví dụ 12.Cho đờng cong (H) có phơng trình x2-4y2- 2x- 16y -19= Chứng minh

rằng (H) hypebol Tìm tọa độ tiêu điểm , đỉnh , phơng trình hai đờng tiệm cận hypebol (H)

Gi¶i

Ta cã (H) : x2-4y2- 2x- 16y -19= 0

 (x-1)2- 4(y+2)2= 4

     1

2

12

  

 y

x

Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ OI với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY

Công thức đổi tọa độ :

  

 

 

2 1

Y y

X x

Trong hệ tọa độ IXY (H) có phơng trình:

1

2

  Y

X

a2=4, b2=1 nªn c2=a2+b2=5 a= 2, b = 1, c= 5

Trong hệ tọa độ IXY (H) có:

+ Các đỉnh A1(- 2; 0), A2( 2; 0)

+ Phơng trình hai đờng tiệm cận: Y =

2

 X

Chuyển kết qua hệ tọa độ 0xy (H) có:

+ Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- 5; - 2), F2(1+ 5;- 2)

+ Các đỉnh A1(- 1; - 2), A2( 3; -2 )

+ Phơng trình hai đờng tiệm cận: y =

2

 (x-1)-2

Ví dụ 13 Viết phơng trình parabol (P) có trục đối xứng trục 0x, có đờng chuẩn trục 0y qua điểm A(5; 4)

Gi¶i

Theo đầu phơng trình đờng chuẩn (P) là: : x = ( trục 0y)

Vì trục đối xứng 0x qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm (P)là F( c; 0) Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A;)

 (c-5)2+(-4)2= 52

 c= hc c =

 Víi c = th× F(8;0) LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)  MF= d(M, )

 (8 x)2y2 = x (8-x)2 + y2 = x2

 y2= 16x – 64

Vậy phơng trình (P): y2= 16x 64

Víi c = th× F(2;0) LÊy bÊt k× M(x; y ) thuéc (P)  MF= d(M, )

 (2 x)2y2 = x (2-x)2 + y2 = x2

 y2= 4x – 4

Vậy phơng trình (P): y2= 4x – 4

Ví dụ 14 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đờng cong (P) có phơng trình 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0

Chứng minh (P) parabol Tìm tọa độ tiêu điểm phơng trình đờng chuẩn parabol

Gi¶i

Ta cã M(x; y)(P) 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0

25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x2+16y2-24xy+6x-8y+1

( x-1)2 + (y+2)2 =

2

5

   



 x y

Đặt F(1; -2) đờng thẳng : 3x- 4y + 1= Khi (*)  MF2= d2(M; )

 MF = d(M; )

Vậy (P) phơng trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) đờng chuẩn : 3x- 4y + 1=

Dạng Xác định điểm M nằm (E),(H),(P) thỏa mãn điều kiện cho trớc.

VÝ dô 15 Cho elip (E) : 25

2

  y

x Tìm (E) điểm M cho MF

1=2MF2

Gi¶i

Ta cã a2= 25  a=

b2= b= 3

c2= a2- b2 = 16  c =4

Gi¶ sư M(x0; y0) (E)  25

2

0  y

x

(*)

Mặt khác theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có : MF1= a +

a c

x0 =5 +

x0

MF2= a

-a c

x0 =5 -5

x0

Để MF1= 2MF2 : +

x0 = 2( 5-

x0)

 125 x0=  x0 = 12 25

Thay vµo (*) ta cã : 144

25

  y 

144 119

2 

y

 y0= 119 12

3 

Vậy tọa độ M= 

  

 

 119

12 ; 12 25

VÝ dô 16 Cho hypebol (H):

2

  y

x

a)Tìm (H) điểm M có tung l

b)Tìm (H) điểm M cho góc F1MF2 900

c) Tìm (H) điểm M cho F1M= 2F2M

Giải

Ta cã : a2 =  a =3

b2=  b = 3

c2=a2+ b2= 12c= 12

 

x  2 3

3     x x

Vậy tọa độ M 2 3;1

b)Gọi tọa độ M= ( x0; y0)

Do gãc F1MF2 b»ng 900  OM= OF1=OF2

 x02y02 c x02+ y02= 12

Do M thuéc (H) nªn

3

2

0  y 

x  3x

02- 9y02= 27

Ta cã hÖ

        27 9 3 12 2 2 y x y x          4 3 5 45 2 y x             2 3 2 5 3 0 y x

Vậy tọa độ điểm M là:        ; ;         ; ;         ; ;          ;

c)Vì MF1= 2MF2 nên F1M > F2M M thuộc nhánh phải F1M- F2M = 2a =

Ta cã       6 2 2 MF MF MF MF       6 12 MF MF

Theo công thức bán kính qua tiêu điểm: MF1= ax0 

c

a a+

a c

x0= 3+

3 x

0 = 12

 x0=

2

Do M thuéc (H) nªn thay x0=

2

9 vào (H) ta đợc:

27 02



 y  y02= 69

y0= 69 

VÝ dô 17 Cho parabol (P): y2 = 4x.

a)Tìm (P) điểm M cách F khoảng

b)Tỡm trờn (P) điểm M O cho khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x

Giải

a)Từ phơng trình (P): y2 = 4x  p = 2

Ta cã : MF = xM+

p

=  xM +1 =  xM =

Thay vµo (P)  yM2= 12  yM =

Vậy tọa độ điểm M là: (3; 2 3)

b)Gọi tọa độ M= (x ;y)

Do M thuéc (P) nªn : y2 = 4x x 0

Từ giả thiết M O khoảng cách từ M đến 0y gấp hai lần khoảng cách từ M đến 0x ta có: x 2y 0  x = 2y 0

Ta cã hÖ:

   

 

 0 2

4

y x

x y



  

  

8 16

y x

Vậy tọa độ M (16; 8) ( 16; - 8)

Dạng 6.Chứng minh tính chất đờng cônic

VÝ dô 18 Cho hypebol (H): 2 2

 

b y a

x víi b2 = c2- a2 có tiêu điểm F

1, F2 Lấy

M điểm (H) Chứng minh : Tích khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận có giá trị khơng đổi

Gi¶i

Phơng trình hai đờng tiệm cận (H) là: 1: bx+ay =

2: bx - ay =

Đặt toạ độ M= (x0; y0)

Khi : d1= d(M; 1)= 2 2

0

b a

ay bx

 

d2= d(M;2) = 2 2

0

b a

ay bx

 

 d1.d2 = 2 2

0

b a

ay bx

 

02 20

b a

ay bx

 

=

2

2 2

b a

y a x b

 

V× M thuäc (H) nªn :  1

2 2

2

b y a

x b2x

VËy d1.d2 = 2 2 2.

b a

b a

 (§pcm)

VÝ dơ 19 Cho parabol (P): y2 = 4x.Đờng thẳng (d) qua tiêu điểm F cã hÖ

sè gãc k ≠ cắt (P) M N

a.Chng minh rng : Tích khoảng cách từ M N đến trục 0x có giá trị khơng đổi b.Tìm k cho FM = 4.FN

Giải

Vì (d) qua tiêu điểm F có hệ số góc k nên có phơng trình: d: y = k( x - 1)

Phơng trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: [k(x - 1)]2 = 4x  k2x2 - 2(k2+ 2) x + k2 = (*)

'= (k2+2)2 - k4= 2k2+4 > k

Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt

Vậy đờng thẳng (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt M N a.Hoành độ hai điểm M N hai nghiệm phơng trình (*) Theo định lý Viet có: xM + xN = 2

2 2) (

2 k

k  (1)

xM.xN = (2)

Ta cã : d1 = d(M; 0x) = yM = 4xM

d2 = d(M; 0x) = yN = 4xN

 d1.d2 = 16xMxN = khụng i

b) Từ phơng trình (P) Tham số tiêu p =p Theo công thức bán kính qua tiêu điểm: MF = + xM

NF = + xN

Để MF = 4NF 1+ xM = 4( + xN)

 xM - 4xN = ( 3)

Tõ (2) vµ (3)  xM = 4; xN = 1/4

Thay vµo (1)  k =

4 

Bài tập đề nghị

Bµi Cho hypebol (H) : 4x2 - y2 - = 0

a) Xác định toạ độ tiêu điểm (H)

b) T×m điểm M nằm (H) cho M nhìn hai tiêu điểm F1; F2 (H) dới

góc vu«ng

HD: b) - Lập phơng trình đờng trịn (C) đờng kính F1F2

§S: a) F1( - 5; 0); F2( 5; 0)

b) M 

  

 

 

5 ;

Bµi 2.Cho hypebol (H):

2

  y

x vµ : x - y + m = 0

a) Chứng minh : Đờng thẳng cắt (H) hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác cña (H) ( xM < xN)

b)Xác định m để F2N = 2F1N biết F1, F2 hai tiêu điểm (H)

HD: a) - Lập phơng trình hồnh độ giao điểm  (H)

- Chừng minh phơng trình ln có hai nghiệm trái dấu b) - Tìm toạ độ xM , xN

- Dïng c«ng thức bán kính qua tiêu điểm

Bài Viết phơng trình tắc elip (E) trờng hợp dới đây: a) (E) có tiêu điểm F1( - 7; 0) qua M(-2; 12)

b)(E) ®i qua ®iÓm M( 1;

2

15 ) có tiêu cự 4

3

c)(E) ®i qua hai ®iÓm M( 3;

5

), N (- 4;

5

) d)(E) ®i qua M( 1;

2

3 ) vµ tâm sai e =

3

ĐS: a)

147 196

2

  y

x

b) 16

2

  y

x

c) 25

2

 y

x

d)

2

 y

x

Bài 4.Viết phơng trình tắc hypebol (H) thờng hợp sau: a)(H) có tiêu điểm F1( - 7; 0) qua M(-2; 12)

b)(H) i qua điểm A( 2; 5) có đờng tiệm cận y =

4 5x

c)(H) cã tiªu cự có tiệm cận xiên y = 2x d)(H) qua A( 1; 0) B( 3; 1)

§S: a)

48

2

  y

x b)

25 16

2

  y

x c)

1

2

  y

x d)

2 1

2

  y

x

Bµi ViÕt phơng trình parabol (P) trơng hợp dới ®©y

a)(P) có đờng chuẩn : x+ y = tiêu điểm F(2; 2)

b)(P) trục đối xứng trục 0x; có đờng chuẩn trục 0y qua điểm A(3; 1) c)(P) có trục đối xứng trục 0x qua điểm A(4; 1); B(1; 2)

HD:a) M(x; y)  (P)  d(M; ) = MF  Phơng trình (P) b)- Do trục đối xứng trục 0x nên toạ độ F(a; 0)

c) -Tiêu điểm F thuộc trục 0x nên toạ độ F(a; 0) - Đờng chuẩn   0x nên : x = b

- Tõ

  

 

 

BF B

d

AF A

d

) , (

) , (

suy a b

- Lập phơng trình (P) nh phần a) ĐS: a) x2 + y2 -2xy -8x -8y +16 = 0

b) y2 - 2(3 2 2)x + (3 2 2)2 = 0

c) y2= - x + 5

Bài Viết phơng trình đờng thẳng qua (12; -3) tiếp xúc với elip 18 32

2

  y

x

ĐS: 3x + 4y - 24 = 3x - 28y -120 =

Bài Viết phơng tr×nh tiÕp tun cđa hypebol (H) :

2

  y

x vÏ tõ điểm (1; 4) ĐS: x - = 5x - 2y + =

Bµi Viết phơng trình tiếp tuyến parabol (P) : y2 = 4x ®i qua ®iĨm (- 1;

) §S: x - 3y + = vµ 9x + 3y + =

Bµi Cho hypebol (H) 2 2

 

b y a x

a)Tính độ dài phần đờng tiệm cận nằm hai đờng chuẩn b)Tính khoảng cách từ tiêu điểm tới đờng tiệm cận

c)Chứng minh : Chân đờng vng góc hạ từ tiêu điểm tới đờng tiệm cận nằm đờng chuẩn tơng ứng với tiêu điểm

HD:

a) - Lập phơng trình hai đờng chuẩn hai đờng tiệm cận - Xác định toạ độ giao điểm

- Tính độ dài đoạn tiệm cận nằm hai đờng chuẩn (do tình đối xứng nên hai đoạn nhau)

b) Do tính đối xứng (H) nên cần tìm khoảng cách từ điểm đến đờng chuẩn

c) - Gọi I chân đờng vng góc hạ từ F2 đến đờng tiệm cận d: bx + ay =

- Do I thuộc d nên toạ độ I( x0; -

a b

x0)

- Từ IF 2 ud suy toạ độ I

- Kiểm tra I thuộc đờng chuẩn ứng với tiêu điểm F2

§S: a) 2a b) b

Bài 10( ĐH-CĐ khối D- 2005) Cho elip (E) : 1

2

  y

x

(E) biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC HD: - Đặt toạ độ A(x0; y0) suy toạ độ B(x0; - y0)

- Tõ

  

 

AC AB

E B A, ( )

suy toạ độ a, b

§S: A(

7 ;

2 ) , B(

7 ;

2  ) hc A(

7 ;

2  ), B(

7 ;

2 )

Bài 11.(CĐ Cơ khí luyện kim -2007)Viết phơng trình hypebol (H):

2

  y

x

biết tiếp tuyến qua A( 3; 1) ĐS: x - = 5x - 6y - =

Bµi 12 (CĐ S phạm Vĩnh phúc - 2007)Cho elip (E) : 9x2 + 16y2 = 144 Lập phơng

trình tiÕp tun cđa (E) ®i qua M( 4;

2

) §S: x - = vµ 9x +16 y - 60 =

Bµi 13.

a) Viết phơng trình elip (E) biết hai tiêu điểm F1(- 10; 0) , F2( 10 ; 0) độ dài

trơc lín lµ 18

b)Đờng thẳng d tiếp xúc với (E) M cắt hai trục toạ độ A B Tìm toạ độ M cho diện tích tam giác OAB nhỏ

HD: b) - Đặt toạ độ M(x0; y0)

- Lập phơng trình tiếp tuyến M - Xác định toạ độ A, B theo x0, y0

- TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB theo x0, y0

- Dùng điều kiện M thuộc (E) để tìm GTNN SOAB

§S: a)

8 18

2

  y

x

b)Min S= 12 M( 3 ; 2)

Bài 14.(Cao đẳng tài kế tốn 2006).Cho elip (E):

2

  y

x với tiêu điểm

F1; F2 T×m M thuéc (E) cho MF1 - MF2 =

HD: Sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm ĐS: M( ; 3)

Bµi 15

a) Lập phơng trình tắc hypebol (H) với tổng hai bán trục phơng trình hai đờng tiệm cận y =

4  x

§S:a) 16

2

  y

x b)5x - 4y

16 =

Bài 16 (CĐ Giao thông vận tải 1997)Cho hypebol (H) : x2- y2 = ViÕt ph¬ng tr×nh

chính tắc elip qua A( 4; 6) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm hypebol cho

§S:

48 64

2

  y

x

Bµi 17.Cho elip (E) : 4x2 + 16y2 = 64

a) Xác định tiêu điểm F1, F2 , tâm sai vẽ elip

b) Gọi M điểm (E) Chứng minh tỷ số khoảng cách từ điểm M tới tiêu điểm phải F2 tới đờng thẳng x =

3

có giá trị khơng đổi HD: b)- Lấy M(x0; y0) thuộc (E)

- Sử dụng công thức bán kính qua tiêu điểm tính MF2

- TÝnh d(M; ) víi : x =

3

- LËp tû sè

) , (

2  M d

MF

§S: a) F1( - 12 ; 0), F2( 12 ; 0)

b)

2 ) , (

2

 

M d

MF

Bài 18.Lập phơng trình tắc hypebol (H) có tâm sai e =

2

5 vµ tiÕp xóc

với đờng trịn tâm I( 0; 4) bán kính

5 21.

HD: - Lập phơng trình tỉng qu¸t cđa (H) : 2 2

 

b y a x

- Lập phơng trình đờng trịn (C)

- Lập phơng trình hồnh độ giao điểm (H) (C) -Từ điều kiện e =

2

5 phơng trình hồnh độ giao điểm có nghiệm kép suy

ra a , b

§S:

4

2

y

x

Bài 19.(ĐH-CĐ khối A - 2008)Viết phơng trình tắc elip (E) biÕt t©m sai e

=

3

HD : Tõ

    

  

20 ) (2

3 5

b a e

suy a, b

§S:

16 36

2

  y

x

Bµi 20.Cho elip (E) : 2

2

 

b y a

x (a>b>0)

a) Chøng minh r»ng víi ®iĨm M bÊt kú thuéc (E) th× ta cã bx a

b) Giả sử đờng thẳng (d): y = kx cắt elip (E) A Tính OA theo a, b, k c) Gọi A, b thuộc (E) cho OA OB Chứng minh : 12 12

OB

OA  có giá trị

khụng i HD:

a) - Đặt toạ độ M( x0; y0)

- Tõ ®iỊu kiƯn 2 2

2

0  

b y a

x vµ a>b> suy GTLN, GTNN cđa OM2 = x 02+y02

b) - Đặt toạ độ A(x0; y0)

- Từ A = (d) (E) suy toạ độ A - Tính OA

c) ¸p dơng phần b) ĐS: b) OA =

2 2

2

a k b

k ab

 