Chuyên đề toán 10 (kết nối tri thức) bài tập cuối chuyên đề 3

CHUYÊN ĐỀ 3 BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ 3 Trang 61 Bài tập 3 21 trang 61 Chuyên đề Toán 10 Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiê[.]

CHUYÊN ĐỀ BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ Trang 61 Bài tập 3.21 trang 61 Chun đề Tốn 10: Cho conic (S) có tâm sai e = 2, tiêu điểm F(–2; 5) đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm Δ: x + y – = Chứng minh rằng, điểm M(x; y) thuộc đường conic (S) x2 + y2 + 4xy – 8x + 6y – 27 = (được gọi phương trình (S), khơng phải phương trình tắc) Hỏi (S) đường ba đường conic? Lời giải: +) M(x; y) thuộc đường conic (S) MF 2 d  M,    x  2   y  5 2 x  y 1 12  12   x  2   x  2   y  5  x  y 1   y  5  x  y 1 2 12  12   x     y     x  y  1 2   x  4x     y2  10y  25    x  y   2xy  2x  2y   x  y2  4x  10y  29  2x  2y2   4xy  4x  4y  x  y2  4xy  8x  6y  27  +) (S) hypebol có tâm sai lớn Bài tập 3.22 trang 61 Chun đề Tốn 10: Viết phương trình đường conic có tâm sai e  , tiêu điểm F(–1; 0) đường chuẩn tương ứng Δ: x + y + = Cho biết conic đường gì? Lời giải: Xét điểm M(x; y) thuộc conic M(x; y) thuộc đường conic cho MF   d  M,    x  1   y  0 x  y 1  12  12   x  1   x  1 2  y2   y2   x  1 2 x  y 1 12  12 x  y 1  y2  x  y    x  1  y    x  y  1   2   x  2x  1  y   x  y   2xy  2x  2y  4x  8x   4y2  x  y2   2xy  2x  2y  3x  3y2  2xy  6x  2y   Conic elip có tâm sai lớn nhỏ Bài tập 3.23 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) parabol có tiêu điểm 1   b 1   F   ; , Δ = b2 – 4ac  đường chuẩn  : y   4a  2a 4a  Lời giải: +) Mỗi điểm M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c có toạ độ (x; ax2 + bx + c) Ta cần chứng minh M thuộc parabol cho, tức MF  hay MF = d(M, d  M,   Δ) Thật vậy: b   1   1   MF = d(M, Δ)   x     ax  bx  c    ax  bx  c  2a   4a  4a  2 b   1    1      x     ax  bx  c     ax  bx  c   2a   4a   4a   2 2 2 2 b   4a x  4abx  4ac  1      4a x  4abx  4ac  1       x        2a   4a 4a     2 2 2  4a x  4abx  4ac  1  b  4ac   b   4a x  4abx  4ac  1  b  4ac        x     2a   4a 4a        2 b   4a x  4abx  b2    4a x  4abx  b     x       2a   4a 4a     2 2 2 2  2ax  b    2ax  b      2ax  b          2a 4a 4a       2   2ax  b    2ax  b   1   2ax  b   1     2 4   2ax  b    2ax  b    2ax  b   1   2ax  b    2ax  b       2ax  b    2ax  b     2ax  b    2ax  b   4 Đẳng thức cuối đúng, ta có điều phải chứng minh 2 +) Ngược lại, với điểm M(x; y) thuộc parabol cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c Thật vậy: Vì M(x; y) thuộc parabol MF  hay MF = d(M, Δ) d  M,   b   1   1    x   y    y 2a   4a  4a  2 b   1    1     x   y   y  2a   4a   4a   2  4ay  1      2ax  b   4ay  1             4a 4a  2a      2 2 2  2ax  b   4ay  1  b  4ac    4ay  1  b  4ac         4a 4a  2a      2  2ax  b    4ay  4ac  b      4ay  4ac  b          4a 4a  2a      2   2ax  b    4ay  4ac  b2   1   4ay  4ac  b   1 2   2ax  b    4ay  4ac  b2   1   4ay  4ac  b   1 2 2 2   4a x  4abx  b    4ay  4ac  b   4a x  4abx  4ay  4ac  4ay  4a x  4abx  4ac  y  ax  bx  c Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c Chứng minh hoàn tất Bài tập 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho hai parabol có phương trình y2 = 2px y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Chứng minh hai parabol cắt bốn điểm phân biệt bốn điểm nằm c b  đường tròn (C) : x  y    2p  x  y   a a a  Lời giải: +) Xét trường hợp a > Để hai parabol cắt điểm phân biệt đỉnh parabol y = ax2 + bx + c phải nằm góc phần tư thứ IV (như hình vẽ) Khi ta suy b < phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm phân biệt  b2  4ac  c b  Xét phương trình đường trịn (C) : x  y    2p  x  y   a a a  2  b     2p 2     a c  b    c   a         p     có    2a  a     a  2a     b2 b c  b2 c  b b  4ac b 2   p  p        p  p    p  p  2 4a a 4a a  4a a a 4a 4a a 4a b b  4ac Vì b < b  4ac  (chứng minh trên) nên  p > 0 4a a 2  b      a  2p        a  c  Do       2 a     Vậy (C) phương trình đường trịn +) Trường hợp a < 0: Chứng minh tương tự ta (C) phương trình đưởng trịn +) Giờ ta chứng minh bốn giao điểm hai parabol nằm đường tròn Thật vậy: Nếu điểm M(x; y) giao điểm hai parabol ta có: y2 = 2px y = ax2 + bx + c  y2 – 2px = ax2 + bx + c – y =  y2 – 2px = x  b c y x  0 a a a b c y    x  x     y2  2px  a a a    b  y c  x  y2   x  2px     a  a a c b   x  y2    2p  x  y   a a a  Do M thuộc đường trịn (C) Vậy bốn giao điểm parabol nằm (C) Bài tập 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip có phương trình   Viết phương trình đường thẳng qua điểm 25 16 M(2; 1) cắt elip hai điểm A, B cho MA = MB Lời giải: Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2) Ta thấy M nằm elip, MA = MB M trung điểm AB  x1  x  2x M  2.2  4, y1  y2  2yM  2.1  x 22 y 22 x12 y12   Vì A, B thuộc elip nên   25 16 25 16  x12 y12   x 22 y 22           11   25 16   25 16   x  x  x1  x   y1  y2  y1  y2  x12  x 22 y12  y22   0  0 25 16 25 16   x1  x  25   y1  y2  16 0 x1  x y1  y x  x y1  y2  0  25 32 25 32 Mà BA có toạ độ (x1 – x2; y1 – y2) nên (25; –32) vectơ phương AB  (32; 25) vectơ pháp tuyến AB  Phương trình đường thẳng AB là: 32(x – 2) + 25(y – 1) = hay 32x + 25y – 89 = Vậy phương trình đường thẳng cần tìm 32x + 25y – 89 = Bài tập 3.26 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Một tàu vũ trụ nằm quỹ đạo tròn độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27) Sau đạt vận tốc cần thiết để thoát khỏi lực hấp dẫn Trái Đất, tàu vũ trụ theo quỹ đạo parabol với tâm Trái Đất tiêu điểm; điểm khởi đầu quỹ đạo đỉnh parabol quỹ đạo a) Viết phương trình tắc parabol quỹ đạo (1 đơn vị đo mặt phẳng toạ độ ứng với km thực tế, lấy bán kính Trái Đất 6371 km ) b) Giải thích sao, kể từ vào quỹ đạo parabol, ngày, tàu vũ trụ cách xa Trái Đất Lời giải: a) Gọi phương trình tắc parabol quỹ đạo y2 = 2px (p > 0) Nhìn hình vẽ ta thấy: OF = 148 + 6371 = 6519 (km)  p  6519  p  13038  phương trình tắc parabol quỹ đạo y2 = 26076x b) Giả sử tàu vụ trụ có toạ độ M(x; y) Khi đó, theo cơng thức bán kính qua tiêu ta có: MF = x + Đây khoảng cách từ tàu vũ trụ đến tâm Trái Đất p Kể từ vào quỹ đạo parabol, hoành độ x tàu vũ trụ ngày tăng, tàu ngày xa Trái Đất  ...  4x  8x   4y2  x  y2   2xy  2x  2y  3x  3y2  2xy  6x  2y   Conic elip có tâm sai lớn nhỏ Bài tập 3. 23 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a... phương trình đường thẳng cần tìm 32 x + 25y – 89 = Bài tập 3. 26 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Một tàu vũ trụ nằm quỹ đạo tròn độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H .3. 27) Sau đạt vận tốc cần thiết...  y   a a a  Do M thuộc đường trịn (C) Vậy bốn giao điểm parabol nằm (C) Bài tập 3. 25 trang 61 Chuyên đề Toán 10: x y2 Cho elip có phương trình   Viết phương trình đường thẳng qua điểm