CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại Nếu tồn tại số sao cho với mọi và th[.]
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hàm số xác định liên tục khoảng - Nếu tồn số cho ta nói hàm số đạt cực đại - Nếu tồn số cho điểm với với ta nói hàm số đạt cực tiểu Điều kiện cần để hàm số có cực trị Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị điểm xo Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm điểm xo thì f‘(xo) = Lưu ý: - Đạo hàm f‘(x) có thể điểm xo nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị điểm xo - Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm - Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm - Hàm số đạt cực trị tại xo và đồ thị hàm số có tiếp tuyến điểm (xo ; f(xo)) thì tiếp tuyến song song với trục hồnh Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lý 2: Giả sử hàm số trên liên tục , với có đạo hàm - Nếu khoảng điểm cực đại hàm số - Nếu khoảng điểm cực tiểu hàm số Minh họa bảng biến thiến Lưu ý: - Như vậy: Điểm cực trị phải điểm tập hợp D (D ⊂ ℝ) Nếu f’(x) khơng đổi dấu hàm số khơng có cực trị (Nhấn mạnh: xo ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là xo là điểm nằm D) Ví dụ: Hàm số xác định D= [0,+∞) Ta có y ≥ y (0) với x, x = khơng phải cực tiểu hàm số D khơng chứa lân cận điểm - Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 x0 gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số; f (x0) gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số, kí hiệu f CĐ ( fCT ), điểm M (x0;f( x0)) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số - Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo) nói chung GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D - Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập hợp D Hàm số khơng có điểm cực trị - xo là điểm cực trị hàm số f(x) thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f(x) Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm xo ; f ‘(xo) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác điểm xo a) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực đại điểm xo b) Nếu f ”(xo) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu điểm xo Lưu ý: - Khơng cần xét hàm số f(x) có hay khơng có đạo hàm điểm x = xo nhưng khơng thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục điểm xo B CÁC KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CƠ BẢN Quy tắc tìm cực trị hàm số Quy tắc Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Bước 2: Tính Tìm điểm không xác định Bước 3: Lập bảng biến thiên Bước 4: Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Bước 2: Tính nghiệm Bước 3: Tính Giải phương trình Bước 4: Dựa vào dấu ký hiệu suy tính chất cực trị điểm Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm số bậc ba ( ) - Ta có Đồ thị hàm số có điểm cực trị phương trình có hai nghiệm phân biệt Và khơng có cực trị ⇔Δ’ = b2 − 3ac ≤ - Cho hàm số Phương trình đường thẳng AB : y = Độ dài đoạn thẳng AB = có hai điểm cực trị phân biệt là A, B Khi đó: (c - )x + (d - ) với e = Hoặc đường thẳng qua hai điểm cực trị liên quan tới: trợ) Kỹ giải nhanh toán cực trị hàm trùng phương (CASIO hỗ Cho hàm số: ( ) có đồ thị Ta có có ba điểm cực trị có nghiệm phân biệt hay ab < Hàm số có cực trị là: Độ dài đoạn thẳng: C CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng Tìm điểm cực trị hàm số Phương pháp giải Quy tắc 1: Áp dụng định lý - Tìm f’(x) - Tìm điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đạo hàm hàm số liên tục khơng có đạo hàm - Xét dấu của f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị điểm xo Quy tắc 2: Áp dụng định lý - Tìm f’(x) - Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0 - Với mỗi xi tính f ”(xi) - Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại điểm xi - Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu điểm xi Ví dụ minh hoạ Ví dụ (Đề thi THPTQG năm 2021) Cho hàm số sau: có bảng biến thiên Giá trị cực đại hàm số cho A B C D Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại hàm số Chọn A Ví dụ (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Mã đề 103) Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực đại hàm số cho là: A B C D Lời giải Lập bảng biến thiên hàm số Vậy hàm số cho có điểm cực đại Chọn D Ví dụ (Đề tốt nghiệp 2020 - Đợt Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn bảng biến thiên sau: có Số điểm cực trị hàm số A B C D Lời giải Ta chọn hàm Đạo hàm Ta có +) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác +) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác trình khác nghiệm phương Vậy số điểm cực trị hàm số Chọn B Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số A B C D Lời giải Ta có Suy đồ thị hàm số hai điểm cực trị Khi đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị đường thẳng trình có phương Chọn B Cách Lấy chia cho , ta Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị phần dư phép chia, Bài tập tự luyện Câu Cho hàm số xác định, liên tục có đạo hàm khoảng Mệnh đề sau sai? A Nếu đồng biến B Nếu nghịch biến C Nếu biến hàm số khơng có cực trị đạt cực trị điểm điểm D Nếu hàm số khơng có cực trị tiếp tuyến đồ thị hàm số song song trùng với trục hồnh đạt cực đại đồng biến nghịch Câu Cho khoảng chứa điểm (có thể trừ điểm A Nếu , hàm số có đạo hàm khoảng ) Mệnh đề sau đúng? khơng có đạo hàm khơng đạt cực trị B Nếu đạt cực trị điểm C Nếu khơng đạt cực trị điểm D Nếu đạt cực trị điểm Câu Phát biểu sau đúng? A Nếu đổi dấu từ dương sang âm hàm số đạt cực đại điểm B Hàm số đạt cực trị qua điểm liên tục nghiệm C Nếu khơng điểm cực trị hàm số D Nếu hàm số đạt cực đại Câu Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai khoảng với Khẳng định sau sai? A Nếu điểm cực tiểu hàm số B Nếu điểm cực đại hàm số C Nếu khơng điểm cực trị hàm số D Nếu hàm số chưa kết luận Câu (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Mã đề 103) thiên sau : có điểm cực trị Cho hàm số có bảng biến Điểm cực đại hàm số cho là A B C D Câu (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Mã đề 101) Cho hàm sau: có bảng biến thiên Giá trị cực tiểu hàm số cho A B C Câu (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt Mã đề 101) Cho hàm số có bảng xét dấu D liên tục sau: Số điểm cực đại hàm số cho A Câu Cho hàm số B C có bảng xét dấu đạo hàm sau: D Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Câu Cho hàm số có đồ thị hình vẽ Giá trị cực đại hàm số bằng: A –1 B –2 Câu 10 Cho hàm số điểm cực trị? A C có đồ thị hình vẽ Đồ thị hàm số B Câu 11 Cho hàm số C liên tục Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D D D có đồ thị hình bên có Điểm điểm cực tiểu Khi Ta có Suy điểm cực đại đồ thị hàm số Chọn B Bài tập tự luyện Câu Hàm số A đạt cực tiểu B khi: C D Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số A m = B m = đạt cực đại C m = -2 D m = Câu Biết đồ thị hàm số điểm cực tiểu có điểm đại Mệnh đề sau đúng? A B C Câu Cho hàm số đại a, b cần thỏa mãn: A B B D (a ≠ 0) Để hàm số có cực tiểu hai cực Câu Cho hàm số cực tiểu a, b cần thỏa mãn: A có C D (a ≠ 0) Để hàm số có cực trị C D Câu Hàm số A có ba cực trị khi: B C Câu Đồ thị hàm số A - 14 D có điểm cực tiểu A(2;-2) Tìm tổng a + b B 14 C - 20 D 34 Câu Đồ thị hàm số có điểm đại A(0;-3) có điểm cực tiểu B(-1; - 5) Khi giá trị a, b, c là: A B Câu Hàm số A C Câu 10 Hàm số D D đạt cực đại x= giá trị thực m bằng: B -3 C Câu 11 Hàm số A có cực đại cực tiểu điều kiện m là: B A -1 C D đạt cực đại B m bằng: C D Câu 12 Biết hàm số đạt cực trị Khi tổng a + b bằng: A B C Câu 13 Tìm tất giá trị tham số có cực trị A C để hàm số B D D ... hàm số cho khơng có cực trị → Hàm số bậc khơng có cực trị ⇔ b2? ?– 3ac ≤ - Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hàm số cho có cực trị → Hàm số bậc có cực trị ⇔ b2? ?– 3ac > b, Cực trị hàm số. .. điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số - Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi cực đại (cực tiểu) gọi chung cực trị hàm số - Giá trị cực đại... thẳng nối điểm cực trị đồ thị hàm số A B C Câu 30 Đồ thị hàm số dương? A C Câu 31 Cho hàm số B Giá trị cực đại hàm số C D Câu 34 Cho hàm số D Câu 33 Giá trị cực đại hàm số B B bằng: