Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian A Lý thuyết I Tọa độ của điểm và của vecto 1 Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọ[.]
Bài Hệ tọa độ không gian A Lý thuyết I Tọa độ điểm vecto Hệ tọa độ Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i; j ; k vectơ đơn vị, trục x’Ox; y’Oy; z’Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ Đề- vng góc Oxyz không gian, hay đơn giản gọi hệ trục tọa độ Oxyz Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ Khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cịn gọi khơng gian Oxyz - Vì i; j; k vecto đơn vị đơi vng góc với nên: 2 i j k i j j k k.i Tọa độ điểm - Trong không gian Oxyz, cho điểm M tùy ý Vì ba vecto i; j; k khơng đồng phẳng nên có ba số (x; y; z) cho: OM x.i y j z.k - Ngược lại, với ba số (x; y; z) ta có điểm M khơng gian thỏa mãn hệ thức OM x.i y j z.k - Ta gọi ba số (x; y; z) tọa độ điểm M hệ trục tọa độ Oxyz cho viết: M = (x; y; z) M (x; y; z) 3.Tọa độ vecto - Trong không gian Oxyz cho vecto a , ln tồn ba số (a1; a2 ; a3) cho a a1.i a j a 3.k Ta gọi ba số (a1; a2 ; a3) tọa độ vecto a hệ tọa độ Oxyz cho trước viết a (a1; a2 ; a3) a (a1; a2 ; a3) - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm M tọa độ vecto OM Ta có: M(x; y; z) OM (x; y; z) II Biểu thức tọa độ phép toán vecto - Định lí: Trong khơng gian Oxyz, cho hai vecto a (a1;a ;a ), b (b1;b2 ;b3 ), k , ta có: a) a b (a1 b1; a b2 ; a b3 ) b) a b (a1 b1; a b2 ; a b3 ) ; c) ka (ka1; ka ; ka ) Ví dụ Cho u (2; 3;4); v ( 4; 2;0) a) Tính u v ; b) 2v ; c) u v Lời giải: a) u v (2 4; 2;4 0) (6; 5; 4) ; b) Ta có: 2v = ( 2.4; (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0) c) Ta có: u v = ( – 8; -3 + 4; - 0) = (- 6; 1; 4) - Hệ quả: a) Cho hai vecto a (a1;a ;a ), b (b1;b2 ;b3 ) , ta có: a1 b1 a b a b a b b) Vecto có tọa độ ( 0; 0; 0) c) Với b hai vecto a; b phương tồn số k cho: a kb (k ) a1 kb1 a a a a kb ,(b1 , b , b3 0) b1 b b3 a kb d) Cho A(x A ; yA ; z A ), B(x B ; yB ; z B ) + AB (x B x A ; yB yA ;z B z A ) x x B yA yB z A z B ; ; + Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M A 2 Ví dụ Cho u (2m;3; 1); v(4; 3;n 2) Tìm m n để u v Lời giải: Để u v 2m m 3 n 1 1 n Vậy m = n = Ví dụ Các cặp vecto sau có phương khơng? a) u( 2;3;7); v ( 4; 6; 14) ; b) a (1;0; 2); b( 3;0; 6) Lời giải: a) Ta thấy 4 6 14 Do đó, hai vecto khơng phương b) Ta thấy: b 3a nên hai vecto phương Ví dụ Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) B( -1; 0; 8) a) Tính AB ; b) Tìm tọa độ trung điểm M AB Lời giải: a) Ta có: AB = ( -1 + 3; - 4; -0) = ( 2; -4; 8) b) Tọa độ trung điểm M AB là: 3 (1) x 2 M 40 2 M(2;2;4) yM 0 z 4 M III Tích vơ hướng Biểu thức tọa độ tích vơ hướng - Định lí: Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hướng hai vecto a (a1;a ;a ), b (b1;b2 ;b3 ) xác định công thức: a.b a1.b1 a b2 a 3.b3 Ví dụ Cho a (1; 3;4); b (1;2;1) Tính a.b ? Lời giải: Ta có: a.b = 1.1 + ( -3) + 4.1 = -1 Ứng dụng a) Độ dài vecto Cho vecto a (a1;a ;a ) 2 Ta biết rằng: a a hay a a Do đó, a a12 a 22 a 22 b) Khoảng cách hai điểm Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) B(xB; yB ; zB) Khi đó, khoảng cách hai điểm A B độ dài vecto AB Do đó, ta có: AB AB (x B x A )2 (yB yA ) (z B z A ) c) Góc hai vecto Nếu góc góc hai vecto a (a1;a ;a ) b (b1;b2 ;b3 ) với a; b cos(a, b) a.b a.b a1b1 a 2b a 3b3 a12 a 22 a 32 b12 b 22 b32 Từ đó, suy a b a1b1 a 2b2 a 3b3 Ví dụ Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2) a) Tính AB; AC b) Tính cosin góc A Lời giải: a) Ta có: AB (2 2) (1 3) (0 1) AC (0 2) (1 3) (2 1) 21 b) Ta có: AB(0; 2; 1); AC( 2; 4;1) Cosin góc A là: cos A cos AB; AC 0.(2) (2).(4) (1).1 21 105 IV Phương trình mặt cầu - Định lí Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: ( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 - Nhận xét Phương trình mặt cầu nói viết dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = với d = a2 + b2 + c2 – r2 Từ đó, ta chứng minh phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính r A2 B2 C2 D Ví dụ Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau đây: a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - = 0; b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + = Lời giải: a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1 Tâm mặt cầu I(2; -1; 0) bán kính R 22 (1)2 02 (1) b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = Tâm mặt cầu I( 4; 1; -1) bán kính R 42 12 (1)2 B Bài tập tự luyện Các tập sau xét không gian Oxyz Bài Cho ba vecto a (1;2;0); b(0; 2;3); c(3; 3;0) a) Tính a 2b c ; b) Tính 2a b c Lời giải: a) Ta có: 2b (0; 4;6) a 2b (1 0; 4;0 6) (1; 2;6) Do đó; a 2b c = (1 -3; -2+ 3; – 0) = ( -2; 1; 6) b) Ta có: c (1; 1; 0) 2a (2; 4;0) 2a b (2 0;4 2;0 3) (2;6; 3) Suy ra: 2a b c ( 1; 1; 0) (3;5; 3) Bài Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) P( -1; -2; 3) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác Lời giải: Tọa độ trọng tâm G tam giác là: (2) (1) x 1 G 2 1 (2) G(1; 1;2) yG 1 3 zG 2 Vậy tọa độ trọng tâm G ( -1; -1; 2) Bài Cho vecto a (1;2; 3); b (2;0;3); c (1;2;1) Tính a.b; b.c Lời giải: a.b 1.2 2.0 (3).3 b.c 2.(1) 0.2 3.1 1 Bài Tìm tâm bán kính mặt cầu có phương trình sau: a) x2 + y2 + z2 + 6x - 2y + 4z - = 0; b) 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 8y + 12z + = Lời giải: a) Ta có: a = -3; b = 1; c = -2; d = -3 Tâm mặt cầu I( -3; 1; -2) bán kính R (3)2 12 (2)2 (3) 17 b) Ta có: 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 8y + 12z + = x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + = 0; a = 1; b = 2; c = -3; d = Tâm mặt cầu I(1; 2; -3) bán kính R 12 22 (3)2 13 Bài Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện: a) Đường kính MN M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0); b) Tâm I(2; -1; 0) qua A( 2; 3; 0) Lời giải: a) Tâm mặt cầu trung điểm I MN 2 4 xI 4 I(3;3;1) Tọa độ điểm I y I 2 z 1 I Bán kính mặt cầu là: R MI (3 2)2 (3 2)2 (1 2)2 Phương trình mặt cầu là: ( x – 3)2 + ( y – 3)2 + (z – 1)2 = b) Vì mặt cầu qua A nên bán kính R = IA = (2 2)2 (3 1)2 (0 0)2 Phương trình mặt cầu là( x – 2)2 + ( y + 1)2 + z2 = 16 ... (a1; a2 ; a3) - Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm M tọa độ vecto OM Ta có: M(x; y; z) OM (x; y; z) II Biểu thức tọa độ phép tốn vecto - Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto... + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = với d = a2 + b2 + c2 – r2 Từ đó, ta chứng minh phương trình dạng: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > phương trình mặt cầu có... 17 b) Ta có: 2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x – 8y + 12z + = x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 6z + = 0; a = 1; b = 2; c = -3; d = Tâm mặt cầu I(1; 2; -3) bán kính R 12 22 (3)2 13 Bài Lập phương trình