BÀI 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1 Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0} Ta nói hàm số[.]
BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa Định nghĩa Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y = f(x) xác định K K \ {x0} Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} xn → x0, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x Nhận xét: lim x x L hay f(x) → L x → x0 x , lim c x c với c số x3 Chứng minh limf x x x Ví dụ Cho hàm số f x 12 Giải Hàm số xác định \ Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn x n x n n Ta có: x3 lim n xn limf x n Vậy limf x x lim xn x n2 xn 2x n 12 2 Định lí giới hạn hữu hạn Định lí a) Giả sử lim f x x lim f x x x0 x0 g x L lim g x x L M; x0 M Khi đó: lim x n2 2x n 12 lim f x x g x x0 L lim f x g x x x L.M; x0 f x x0 g x L M M lim b) Nếu f x M; 0; L L lim f x x x0 lim f x x x0 (Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn với x x Ví dụ Cho hàm số f x x L x ) Tính limf x x Giải Ta có: lim x x lim f x x lim x , lim x x 4 x x Giới hạn bên Định nghĩa - Cho hàm số y = f(x) xác định (x0; b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y = f(x) x → x0 với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b xn → x0, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L x0 - Cho hàm số y = f(x) xác định (a; x0) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y = f(x) x → x0 với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 xn → x0, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x Định lí x0 L lim f x x L x0 lim f (x) lim f x x x x0 x Ví dụ Cho hàm số f x L x0 x 2x x < Tìm lim f (x); lim f (x) lim f (x) (nếu x x x có) Giải Ta có: lim f (x) x lim x lim f (x) lim f x x x x 0; lim f (x) x lim 2x x 0; 0 0 Vậy lim f (x) Do lim f (x) x x lim f x x lim f (x) x 0 II GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa a) Cho hàm số y = f(x) xác định (a; +∞) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x → +∞ với dãy số (x n) bất kì, xn > a xn → +∞, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L b) Cho hàm số y = f(x) xác định (–∞; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x → –∞ với dãy số (xn) bất kì, xn < a xn → –∞, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L Chú ý: a) Với c, k số k ngun dương, ta ln có: lim c x c; lim c x c; lim x c xk 0; lim x c xk b) Định lí giới hạn hữu hạn hàm số x → x0 xn → +∞ x → –∞ III GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Giới hạn vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định (a; +∞) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn –∞ x → +∞ với dãy số (xn) bất kì, xn > a xn → +∞, ta có f(xn) → –∞ Kí hiệu: lim f x x Nhận xét: lim f x lim x x f x Một vài giới hạn đặc biệt với k nguyên dương a) lim x k x b) Nếu k chẵn lim x k ; x Nếu k lẻ lim x k x Một vài quy tắc giới hạn vơ cực a) Quy tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x) lim f x x x0 L>0 L0 0 + – L với x > - ) 3 B BÀI TẬP Bài Tính giới hạn hàm số sau: x a) lim x x 1 ; 2x 3x ; b) lim x x3 1 1; x2 x2 c) lim x x2 d) lim x3 x 1 2x ; Lời giải x a) lim x x x lim x x x 2x 3x x3 x2 ( Vì lim x 2 x 3 lim x 3 2 x2 x3 1 lim 2 x x x lim x2 3 x x x x x ;lim x lim 1 2 x x x x c) lim x lim x x b) lim x 1 ) x2 d) lim 1 2x x7 x x 1 x2 x lim x x x7 2 Bài Dùng định nghĩa tìm giới hạn sau: 2x ; 4x a) lim x 3x b) lim x x Lời giải a) Xét hàm số f (x) 2x 4x Tập xác định hàm số: \ Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn x n lim f (x n ) xn 2x n 4x n lim xn 2x 4x b) Xét g x \ Giả sử (xn) dãy số bất kì, thỏa mãn x n lim g x n lim x Ta có: 3x x2 Tập xác định hàm số: x n Do lim x x n 3x n lim x xn2 3x x2 3 x n n Ta có: x x x mx x 1 Bài Cho hàm số: f x Với giá trị m hàm số f(x) có giới hạn x 1? Tìm giới hạn Lời giải Ta có: lim f x x 1 lim x2 x lim x x x2 x lim f x lim mx x x3 x x x x x x x m Khi đó: limf x x x 1 lim f x x 2 lim x x x 2 x 3 Để hàm số f(x) có giới hạn x m x x x2 x lim x x lim m x2 lim f x lim f x x x lim f x x 1 Vậy m = -1 hàm số f(x) có giới hạn x giới hạn 1 ... Định lí giới hạn hữu hạn hàm số x → x0 xn → +? ?? x → –? ?? III GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Giới hạn vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định (a; +? ??) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn –? ?? x → +? ?? với... (x) x 0 II GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa a) Cho hàm số y = f(x) xác định (a; +? ??) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x → +? ?? với dãy số (x n) bất kì, xn > a xn → +? ??, ta có... b) Cho hàm số y = f(x) xác định (–? ??; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x → –? ?? với dãy số (xn) bất kì, xn < a xn → –? ??, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L Chú ý: a) Với c, k số k ngun