Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn tập chương 1 A Lý thuyết 1 Định nghĩa phép biến hình Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng Nếu[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Định nghĩa phép biến hình - Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng - Nếu kí hiệu phép biến hình F ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) gọi M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F - Nếu ℋ hình mặt phẳng ta kí hiệu ℋ ' = F(ℋ) tập điểm M’ = F(M), với điểm M thuộc ℋ Khi đó, ta nói F biến hình ℋ thành hình ℋ ', hay hình ℋ ' ảnh hình ℋ qua phép biến hình F - Phép biến hình biến điểm M thành gọi phép đồng Ví dụ Cho trước đường thẳng d, với điểm M mặt phẳng, gọi M’ điểm cho M’ đối xứng với M qua d Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ nêu phép biến hình có điểm M’ thỏa mãn yêu cầu Định nghĩa phép tịnh tiến - Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho MM ' v gọi phép tịnh tiến theo vectơ v - Phép tịnh tiến theo vectơ v thường kí hiệu Tv ; v gọi vectơ tịnh tiến Vậy: Tv (M) M ' MM ' v - Phép tịnh tiến theo vectơ – khơng phép đồng - Ví dụ Cho hình vẽ sau: Ta có: Tv (A) A'; Tv (B) B'; Tv (C) C' Tính chất phép tịnh tiến - Tính chất Nếu Tv (M) M'; Tv (N) N' M ' N ' MN từ suy M’N’ = MN Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm - Tính chất Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v (a ; b) Với điểm M(x ; y) ta có M’(x’ ; y’) ảnh điểm M qua tịnh tiến theo vectơ v x ' x a x ' x a Khi đó: MM ' v y' y b y' y b biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tv Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1 ; – 2) Phép tịnh tiến theo vectơ v (1;3) biến A thành điểm A’ có tọa độ bao nhiêu? Lời giải: Gọi tọa độ điểm A’ = (x’; y’) AA ' (x ' 1; y' 2) Tv (A) A' AA' v x ' 11 x ' A'(2;1) y' y' Vậy tọa độ điểm A’(2 ; 1) Định nghĩa phép đối xứng trục - Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ cho d đường trung trực đoạn MM’ gọi phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi trục phép đối xứng đơn giản trục đối xứng Phép đối xứng trục d thường kí hiệu Đd - Nếu hình ℋ ' ảnh hình ℋ qua phép đối xứng trục d ta cịn nói ℋ đối xứng với ℋ ' qua d, hay ℋ ℋ ' đối xứng với qua d - Nhận xét: 1) Cho đường thẳng d Với điểm M, gọi M0 hình chiếu vng góc M đường thẳng d Khi đó: M’ = Đd(M) M 0M ' M 0M 2) M’ = Đd(M) M = Đd(M’) Biểu thức tọa độ phép đối xứng trục 1) Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho trục Ox trùng với đường thẳng d Với x' x điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’ ; y’) , biểu thức tọa độ y' y phép đối xứng qua trục Ox 2) Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho trục Oy trùng với đường thẳng d Với x ' x điểm M = (x ; y), gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) , biểu thức tọa độ y' y phép đối xứng qua trục Oy Ví dụ Cho điểm M(2 ; 4) Tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng qua trục Ox trục Oy Lời giải: Gọi ĐOx(M) = A(x ; y) ĐOy(M) = B(a; b) Áp dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục Ox ta có: x 2 A(2 ; 4) y Áp dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục Oy ta có: a B(2 ;4) b Tính chất phép đối xứng trục - Tính chất Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách hai điểm - Tính chất Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, qua phép đối xứng trục Ox, đường tròn (C) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 36 biến thành đường tròn (C’) Tìm phương trình đường trịn (C’) ? Lời giải: Đường trịn (C) có tâm I(2 ; 3) bán kính R = Qua phép đối xứng trục Ox, biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’), biến tâm I thành tâm I’(x’; y’) bán kính R’ = R = Áp dụng biểu thức phép đối xứng trục Ox ta I’(2; – 3) Do đó, phương trình đường trịn (C’) là: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 36 Trục đối xứng hình - Định nghĩa Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình ℋ phép đối xứng qua đường thẳng d biến ℋ thành Khi đó, ta nói ℋ hình có trục đối xứng - Ví dụ Các hình sau có trục đối xứng Định nghĩa phép đối xứng tâm - Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành nó, biến điểm M khác điểm I thành điểm M’ cho I trung điểm đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng tâm I Điểm I gọi tâm đối xứng Phép đối xứng tâm I thường kí hiệu ĐI - Nếu hình ℋ ' ảnh hình ℋ qua ĐI ta cịn nói ℋ đối xứng với ℋ ' qua tâm I, hay ℋ ℋ ' đối xứng với qua I Từ định nghĩa ta suy ra, M’ = ĐI(M) IM ' IM - Ví dụ Cho hình vẽ sau Các điểm A B ảnh điểm A’ B’ qua phép đối xứng tâm I ngược lại 10 Biểu thức tọa độ phép đối xứng qua gốc tọa độ Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(x ; y), M’= ĐO(M) = (x’; y’) Khi đó: x ' x , biểu thức tọa độ phép đối xứng qua gốc tọa độ y' y - Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(7 ; – 4) Tìm ảnh điểm A qua phép đối xứng tâm O Lời giải: Gọi A’(x’; y’) ảnh điểm A qua phép đối xứng tâm O Áp dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có: x ' 7 A '(7 ; 4) y' ( 4) 11 Tính chất phép đối xứng tâm - Tính chất Nếu ĐI(M) = M’ ĐI(N) = N’ M ' N ' MN , từ suy M’N’ = MN Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách hai điểm - Tính chất Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính - Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y – = Tìm ảnh d qua phép đối xứng tâm I(1; 2) Lời giải: Giả sử phép đối xứng tâm I(1 ; 2) biến điểm M(x ; y) d thành điểm M’(x’ ; y’) Khi I trung điểm MM’ Áp dụng cơng thức tọa độ trung điểm ta có: x 2.1 x x x x (1) y 2.2 y y y y Vì điểm M thuộc d nên: x + y – = (2) Thay (1) vào (2) ta được: (2 – x’) + (4 – y’) – = hay – x’ – y’ + = Do đó, phương trình đường thẳng d’ – x – y + = hay x + y – =0 12 Tâm đối xứng hình Định nghĩa Điểm I gọi tâm đối xứng hình ℋ phép đối xứng tâm I biến hình ℋ thành - Khi đó, ta nói ℋ hình có tâm đối xứng - Ví dụ Các hình sau có tâm đối xứng: 13 Định nghĩa phép quay - Định nghĩa: Cho điểm O góc lượng giác α Phép biến hình biến O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM’ = OM góc lượng giác (OM; OM’) α gọi phép quay tâm O góc α - Điểm O gọi tâm quay, α gọi góc quay phép quay Phép quay tâm O góc α kí hiệu Q(O, α) - Nhận xét: 1) Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lượng giác nghĩa chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ 2) Với k số nguyên ta có: Phép quay Q(O, k2) phép đồng Phép quay Q(O, (2k1) ) phép đối xứng tâm O 14 Tính chất phép quay - Tính chất Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm Phép quay tâm O, góc (OA, OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’ Khi ta có A’B’ = AB - Tính chất Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính - Nhận xét: Phép quay góc α với , biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ cho góc d d’ α (nếu ), (nếu ) 15 Khái niệm phép dời hình - Định nghĩa: Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm Nếu phép dời hình F biến điểm M, N thành điểm M’; N’ MN = M’N’ - Nhận xét: 1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm phép quay phép dời hình 2) Phép biến hình có cách thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình 20 Tâm vị tự hai đường trịn - Định lí: Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường trịn - Cách tìm tâm vị tự hai đường tròn Cho hai đường tròn (I ; R) (I’; R’) có ba trường hợp xảy ra: + Trường hợp I trùng với I’ Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số R' R ' phép vị tự tâm I tỉ số biến đường tròn R R (I ; R) thành đường tròn (I ; R’) + Trường hợp I khác I’ R ≠ R’ Lấy điểm M thuộc đường trịn (I ; R), đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’ ; R’) M’ M” Giả sử M, M’ nằm phía đường thẳng II’ cịn M, M” nằm khác phía đường thẳng II’ Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ điểm O nằm đoạn thẳng II’, đường thẳng MM” cắt đường thẳng II’ điểm O1 nằm đoạn thẳng II’ R' R' phép vị tự tâm O1 tỉ số k1 biến R R đường tròn (I ; R) thành đường trịn (I’; R’) Khi đó, phép vị tự tâm O tỉ số k Ta gọi O tâm vị tự ngồi cịn O1 tâm vị tự hai đường trịn nói + Trường hợp I khác I’ R = R’ R biến đường R tròn (I; R) thành đường tròn (I’ ; R’) Đây phép đối xứng tâm O1 Khi đó, MM’ // II’ nên có phép vi tự tâm O1 tỉ số k Ví dụ Cho hai đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = (C’): (x – 8)2 + (y – 4)2 = 16 Xác định tâm vị tự hai đường trịn? Lời giải: Đường trịn (C) có tâm I(2 ; 1),bán kính R = 1; Đường trịn (C’) có tâm I’(8 ; 4), bán kính R’ = Do I ≠ I’ R ≠ R’ nên có hai phép vị tự V(J, 2) V(J, -2) biến (C) thành (C’) Gọi J(x ; y) 8 x x x 4 Với k = JI' 2JI y 2 4 y 1 y Suy ra: J(– 4; – 2) Tương tự với k = – 2, tính có J’(4; 2) Vậy có phép vị tự thỏa mãn đầu 21 Định nghĩa phép đồng dạng - Định nghĩa: Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), với hai điểm M, N ảnh M’, N’ tương ứng ln có M’N’ = kMN - Nhận xét (1) Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số (2) Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số |k| 22 Tính chất phép đồng dạng Phép đồng dạng tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc d) Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn có bán kính kR - Chú ý a) Nếu phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác A’B’C’ b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thảng đỉnh, biến cạnh thành cạnh Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) (C’) có phương trình x2 + y2 – 4y – = x2 + y2 – 2x + 2y – 14 = Gọi (C’) ảnh (C) qua phép đồng dạng tỉ số k, giá trị k ? Lời giải: Đường trịn (C) có tâm I(0 ; 2) bán kính R = Đường trịn (C’) có tâm I’(1 ; – 1) bán kính R’ = Ta có (C’) ảnh (C) qua phép đồng dạng tỉ số k nên : = 3k Suy : k Vậy k 23 Hình đồng dạng - Định nghĩa Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình - Ví dụ Các hình sau đơi đồng dạng với B Bài tập tự luyện Bài Cho phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M1 phép tịnh tiến Tv biến M1 thành M2 Hỏi tịnh tiến theo vectơ (u v) biến điểm M thành điểm nào? Lời giải: Theo giả thiết ta có: Tu (M) M1 u MM1 (1) Tv (M1 ) M v M1M (2) Từ (1) (2) suy ra: u v MM1 M1M MM Tu v (M) M Vậy tịnh tiến theo vectơ (u v) biến điểm M thành điểm M2 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 1); B(– 1; – 4) Gọi C D ảnh A B qua phép tịnh tiến theo vectơ v (1 ; 5) Tính độ dài đoạn thẳng CD? Lời giải: Ta có: AB (1 2) (4 1) 34 Vì Tv (A) C; Tv (B) D nên theo tính chất phép tịnh tiến ta có: CD AB 34 Vậy CD 34 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v (1; 3) đường thẳng d có phương trình 2x – 3y + = Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến Tv Lời giải: Cách Sử dụng biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Lấy điểm M(x ; y) tùy ý thuộc d, ta có: 2x – 3y + = (1) x ' x x x ' Gọi M ' x '; y' Tv M y' y y y' Thay vào (1) ta phương trình: 2(x’ – 1) – 3(y’ + 3) + = hay 2x’ – 3y’ – = Vậy ảnh d đường thẳng d’: 2x – 3y – = Cách Sử dụng tính chất phép tịnh tiến Do Tv (d) d' nên d’ song song trùng với d Suy ra, phương trình đường thẳng d’ có dạng: 2x – 3y + c = Lấy điểm M(– 1; 1) thuộc d Khi Tv (M) M'(x '; y') x ' 1 M '(0; 2) y' Do M’ thuộc d’ nên thay tọa độ M’ vào d’ ta được: 2.0 – 3.(– 2) + c = nên c = – Vậy ảnh d đường thẳng d’: 2x – 3y – = (2) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 + 2x – 4y – = Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;1) Lời giải: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến: Đường trịn (C) có tâm I(–1 ; 2) bán kính R (1)2 22 (4) Gọi ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v(1;1) (C’) có tâm I’(x’; y’) bán kính R’ = R = Ta tìm tâm I’(x’; y’) x ' 11 I'(0;3) Ta có: y' Do đó, phương trình đường trịn (C’) x2 + (y – 3)2 = Bài Mỗi hình sau có trục đối xứng? a) Hình gồm hai đường trịn có tâm bán kính khác b) Hình gồm hai đường thẳng d d’ vng góc với c) Hình gồm đường trịn có bán kính đơi tiếp xúc ngồi với Lời giải: Một đường trịn có vơ số trục đối xứng qua tâm đường trịn Do đó, trục đối xứng thỏa u cầu tốn đường thẳng nối hai tâm đường tròn cho Vậy hình gồm hai đường trịn có tâm bán kính khác có trục đối xứng b) Có bốn trục đối xứng gồm đường thẳng d; d’ hai đường phân giác hai góc tạo d, d’ c) Có trục đối xứng đường trung trực đoạn nối tâm ... ta có: Tu (M) M1 u MM1 (1) Tv (M1 ) M v M1M (2) Từ (1) (2) suy ra: u v MM1 M1M MM Tu v (M) M Vậy tịnh tiến theo vectơ (u v) biến điểm M thành điểm M2 Bài Trong mặt phẳng... hai đường trịn (C): (x – 2)2 + (y – 1) 2 = (C’): (x – 8)2 + (y – 4)2 = 16 Xác định tâm vị tự hai đường tròn? Lời giải: Đường trịn (C) có tâm I(2 ; 1) ,bán kính R = 1; Đường trịn (C’) có tâm I’(8... trình x2 + y2 – 4y – = x2 + y2 – 2x + 2y – 14 = Gọi (C’) ảnh (C) qua phép đồng dạng tỉ số k, giá trị k ? Lời giải: Đường trịn (C) có tâm I(0 ; 2) bán kính R = Đường trịn (C’) có tâm I’ (1 ; – 1) bán