BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa Định nghĩa 1 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tu[.]
BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A LÝ THUYẾT I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa Định nghĩa Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vô cực, |un| nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim u n hay un → n → +∞ n n Ví dụ Cho dãy số (un) với u n Tìm giới hạn dãy số n2 Giải n2 Xét u n Với n > 10 n2 > 102 = 100 n2 un lim u n n n2 n2 100 Định nghĩa Ta nói dãy số (vn) có giới hạn a (hay dần tới a) n → +∞ lim n Kí hiệu: lim v n a hay → a n → +∞ n Ví dụ Cho dãy số v n n Chứng minh lim v n n 2n Giải Ta có lim v n n lim n n 2n lim n 23 2n a Do đó: lim v n n Một vài giới hạn đặc biệt a) lim n n 0, lim n nk với k nguyên dương; b) lim q n |q| < 1; n c) Nếu un = c (c số) lim u n lim c n n Chú ý: Từ sau thay cho lim u n c a ta viết tắt lim un = a n II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định lí a) Nếu lim un = a lim = b lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b lim un Nếu u n a (nếu b b 0) với n limun = a thì: a a lim u n Ví dụ Tính lim n n Giải lim n 2 n lim n n n 2 n lim n2 n3 n3 lim 1 n : lim n3 n2 n3 lim1 lim n lim : lim n n lim n3 9n Ví dụ Tìm lim 4n Giải lim 9n 4n n2 lim n n n2 lim n n n2 n lim n2 n III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vơ hạn (un) có cơng bội q, với |q| < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S u1 u2 u3 un u1 q q 1 1 ; ; ; ; Ví dụ Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn 1; n ; Giải 1 ; ; ; ; Ta có dãy số 1; q Khi ta có: Sn lim IV GIỚI HẠN VÔ CỰC Định nghĩa 2 n ; số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội n 1 1 2 - Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ n → +∞, u n lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ - Dãy số (un) có giới hạn –∞ n → +∞, lim (–un) = +∞ Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ n → +∞ Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞ Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau a) lim nk = +∞ với k nguyên dương; b) lim qn = +∞ q > Định lí a) Nếu lim un = a lim = ±∞ lim un b) Nếu lim un = a > 0, lim = > 0, ∀ n > lim c) Nếu lim un = +∞ lim = a > limu n n Ví dụ Tính lim 2n Giải lim 2n n lim2n Vì lim2n lim 2n lim lim n B BÀI TẬP n n un Bài Tính giới hạn sau: a) lim b) lim 2n ; n n 12n ; 2n 3n 4n c) lim 2.4n 2n Lời giải a) lim b) lim 2n n n n lim n 12n 2n 3n 4n c) lim 2.4n 2n lim n lim 12 n 1 n3 n 2 n n Bài Tìm số hạng tổng qt cấp số nhân lùi vơ hạn có công bội cấp số nhân lùi vô hạn Lời giải n Số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vô hạn là: u n Suy số hạng dãy là: u1 Khi tổng cấp số nhân lùi vơ hạn là: S u1 q 1 1 3 tính tổng n tổng cấp số nhân Vậy số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vô hạn là: u n lùi vô hạn Bài Biết dãy số (un) thỏa mãn u n với n Chứng minh limun = n3 Lời giải Đặt = un - Chọn số dương bé tùy ý d, tồn n n3 n 30 1 3 d 3 với n n cho: d 1 d d Theo định nghĩa ta có: limvn = Do lim (un – 1) = limu n Bài Tính giới hạn sau: a) lim n2 n2 n ; b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) Lời giải a) lim lim n n n n2 n n2 lim 1 n2 lim 1 n b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) = limn n n n n2 n2 n n n2 n2 1 n2 n n2 n n2 1 n2 1 n3 limn 3.lim 1 n3 (Vì limn ,lim n n2 n3 ) ... +? ?? n → +? ??, u n lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +? ?? hay un → +? ?? n → +? ?? - Dãy số (un) có giới hạn –? ?? n → +? ??, lim (–un) = +? ?? Kí hiệu: lim un = –? ?? hay un → –? ?? n → +? ?? Nhận... n n Bài Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn Lời giải n Số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vô hạn là: u n Suy số hạng dãy là: u1 Khi tổng cấp số nhân... vô hạn 1; n ; Giải 1 ; ; ; ; Ta có dãy số 1; q Khi ta có: Sn lim IV GIỚI HẠN VƠ CỰC Định nghĩa 2 n ; số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội n 1 1 2 - Ta nói dãy số (un) có giới hạn +? ?? n