Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 3 Cấp số cộng A Lý thuyết I Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ sai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d[.]
Bài Cấp số cộng A Lý thuyết I Định nghĩa - Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ sai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng - Nếu (un) cấp số cộng với công sai d, ta có cơng thức truy hồi: un+1 = un + d với n * (1) - Đặc biệt, d = cấp số cộng dãy số không đổi (tất số hạng nhau) - Ví dụ Dãy số hữu hạn: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1; công sai d = II Số hạng tổng quát - Định lí: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ - Ví dụ Cho cấp số cộng (un), biết u1 = 1; d =5 a) Tìm u10 b) Số 106 số hạng thứ bao nhiêu? Lời giải: a) Số hạng thứ 10 u10 = u1 + (10 – 1)d = + 9.5 = 46 b) Ta có: un = u1 + (n – 1)d Vì un =106 nên: 106 = + (n – 1).5 105 = (n – 1).5 21 = n – nên n = 22 Vậy 106 số hạng thứ 22 III Tính chất số hạng cấp số cộng - Định lí 2: Trong cấp số cộng, số hạng (trừ số hạng đầu số cuối) trung bình cộng hai số đứng kề với nó, nghĩa là: uk u k 1 u k 1 ; k IV Tổng n số hạng đầu cấp số cộng - Định lí: Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un Khi đó: Sn n(u1 u n ) - Chú ý: un = u1 + (n – 1)d nên ta có: Sn nu1 Ví dụ Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + a) Tìm u1 d b) Tính tổng 40 số hạng c) Biết Sn = 187, tìm n Lời giải: a) Ta có: u1 = 2.1 + = 7; u2 = 2.2 + = Suy ra, d = u2 – u1 = b) Tổng 40 số hạng là: S40 40.7 40(40 1) 1840 c) Ta có: Sn nu1 n(n 1) d nên: n(n 1) d n(n 1) 2 187 7n n n 187 7n n2 + 6n – 187 = n 11 n 17 Vì n nguyên dương nên n = 11 B Bài tập tự luyện Bài Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u1 = 12; u6 = – 18 Tìm u8 Lời giải: Theo đề ta có; u1 12 u1 12 u 12 u 18 u1 5d 18 d Suy ra: u8 = u1 + 7d = 12 + 7.(– 6) = – 30 Bài 2.Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng sau biết: u u 21 a) ; u u 30 u u 14 b) u u 21 Lời giải: u u 21 a) u u 30 u 2d u1 5d 21 u1 3d u1 8d 30 21 u 2u 7d 21 2u1 11d 30 d Vậy số hạng đầu u1 21 công sai d u u 14 u 2d u1 4d 14 b) u u 21 (u1 d).(u1 3d) 21 2u1 6d 14 (1) (u1 d).(u1 3d) 21 (2) Từ (1) suy ra: u1 = – 3d thay vào (2) ta được: (7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21 (7 – 2d) = 21 – 2d = nên d = Suy ra: u1 = – 3.2 = Vậy u1 = công sai d = Bài Cho cấp số cộng (un) với un = 3n + a) Tìm u1 d b) Tính tổng 20 số hạng c) Biết Sn = 209, tìm n Lời giải: a) Ta có: u1 = 3.1 + = 4; u2 = 3.2 + = Suy ra, d = u2 – u1 = b) Tổng 20 số hạng là: S20 20.4 20(20 1) 650 c) Ta có: Sn nu1 209 4n n(n 1) d nên: n(n 1) 418 = 8n + 3n2 – 3n 3n2 + 5n – 418 = n 11 38 n Vì n nguyên dương nên n = 11 ... ra: u1 = – 3d thay vào (2) ta được: (7 – 3d + d).(7 – 3d + 3d) = 21 (7 – 2d) = 21 – 2d = nên d = Suy ra: u1 = – 3.2 = Vậy u1 = công sai d = Bài Cho cấp số cộng (un) với un = 3n + a) Tìm u1... cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + … + un Khi đó: Sn n(u1 u n ) - Chú ý: un = u1 + (n – 1)d nên ta có: Sn nu1 Ví dụ Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + a) Tìm u1 d b) Tính tổng 40... 3.1 + = 4; u2 = 3.2 + = Suy ra, d = u2 – u1 = b) Tổng 20 số hạng là: S20 20.4 20(20 1) 650 c) Ta có: Sn nu1 209 4n n(n 1) d nên: n(n 1) 418 = 8n + 3n2 – 3n 3n2 + 5n – 418