Bài 1 Phương pháp quy nạp toán học A Lý thuyết I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể là[.]
Bài Phương pháp quy nạp toán học A Lý thuyết I Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau: * với n - Bước Kiểm tra mệnh đề với n = - Bước Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ (gọi giả thiết quy nạp), chứng minh với n = k + Đó phương pháp quy nạp tốn học, hay cịn gọi tắt phương pháp quy nạp II Ví dụ áp dụng - Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có: n(n 1) n (*) Lời giải: Bước 1: Với n = ta có: Vế trái = vế phải = Vậy hệ thức với n = Bước 2: Giả sử hệ thức với số tự nhiên n = k ≥ tức là: k(k 1) k (1) Ta cần chứng minh hệ thức với n = k + 1, tức là: (k 1)(k 2) k k 1 (2) Thật vậy: Vế trái = + + 3+ … + k + k + k(k 1) k 1 (Do đẳng thức (1)) = k (k 1).(k 2) (k 1). 1 VP 2 Vậy hệ thức cho với số tự nhiên n ≥ - Ví dụ Chứng minh với n 1, ta có bất đẳng thức 1.3.5 (2n 1) 2.4.6 2n 2n 1 Lời giải: - Với n = 1, bất đẳng thức cho trở thành: 1 (đúng) Vậy bất đẳng thức cho với n = - Giả sử bất đẳng thức cho với số tự nhiên n = k ≥ 1, tức : 1.3.5 (2k 1) (1) 2.4.6 2k 2k 1 -Ta chứng minh bất đẳng thức cho với n = k + 1, tức : 1.3.5 (2k 1)(2k 1) (2) 2.4.6 2k(2k 2) 2k Thật vậy, ta có : VT(2) 1.3.5 (2k 1) 2k 1 2.4.6 2k 2k 2 2k 1 2k 1 (theo (1)) 2k 1 2k 2 2k 2 Ta chứng minh: 2k 2k 2k 1 2k 2k (do hai vế dương) 2k Hay (2k + 1).(2k + 3) < (2k + 2)2 4k2 + 6k + 2k + < 4k2 + 8k + < (luôn đúng) Vậy bất đẳng thức cho với số tự nhiên n ≥ - Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ p phải chứng minh với n = k + B Bài tập tự luyện Bài Với số nguyên dương n, chứng minh: 12 22 32 n n(n 1).(2n 1) Lời giải: - Với n = vế trái = 12 = vế phải = 1(1 1)(2.1 1) Vậy đẳng thức với n = - Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 1, tức là: k(k 1).(2k 1) 12 22 32 k - Ta chứng minh đẳng thức với n = k + 1, tức chứng minh 12 22 32 k (k 1) (k 1) (k 1) 1 2(k 1) 1 (k 1)(k 2)(2k 3) 6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k(k 1).(2k 1) 12 22 32 k k(k 1).(2k 1) 12 22 32 k (k 1) (k 1) (1) Mà k(k 1)(2k 1) k(k 1)(2k 1) 6(k 1) 2 (k 1) 6 k 1 k 2k 1 k 1 k 1 2k 7k k 1 2k 4k 3k k 1 2k k k (k 1)(k 2)(2k 3) (2) (k 1)(k 2)(2k 3) Do đẳng thức với n = k + Suy có điều phải chứng minh Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 4, ta có: 2n + > n2 + 3n Lời giải: Bước 1: Với n = vế trái 24 + = 32 vế phải 42 + 3.4 = 28 Do 32 > 28 nên bất đẳng thức với n = Bước 2: Giả sử đẳng thức với n = k ≥ 4, nghĩa 2k + > k2 + 3k Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức phải chứng minh 2(k + 1) + > (k + 1)2 + 3(k + 1) hay 2k + > k2 + 5k + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k + > k2 + 3k Suy ra, 2.2k + > 2.(k2 + 3k) hay 2k + > 2k2 + 6k Mặt khác: 2k2 + 6k – (k2 + 5k + 4) = k2 + k – ≥ 42 + – = 16 với k ≥ Do đó, 2k + > 2k2 + 6k > k2 + 5k + hay bất đẳng thức với n = k + Suy bất đẳng thức chứng minh Bài Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh 7n + chia hết cho với n ≥ Lời giải: Thật vậy: Với n = 71 + = 12 ⁝ Giả sử mệnh đề với n = k ≥ 1, nghĩa 7k + chia hết cho Ta chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa phaỉ chứng minh k + + chia hết cho Ta có: 7k + + = 7(7k + 5) – 30 Theo giả thiết quy nạp (7k + 5) ⁝ nên 7(7k + 5) ⁝ Lại có: 30 ⁝ nên (7k + + 5) ⁝ Vậy 7n + chia hết cho với n ≥ Từ (1); (2) suy 12 22 32 k (k 1) ... Suy ra, 2.2k + > 2.(k2 + 3k) hay 2k + > 2k2 + 6k Mặt khác: 2k2 + 6k – (k2 + 5k + 4) = k2 + k – ≥ 42 + – = 16 với k ≥ Do đó, 2k + > 2k2 + 6k > k2 + 5k + hay bất đẳng thức với n = k + Suy bất đẳng... nghĩa 2k + > k2 + 3k Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, tức phải chứng minh 2(k + 1) + > (k + 1)2 + 3(k + 1) hay 2k + > k2 + 5k + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k + > k2 + 3k Suy... đề với n = k + 1, nghĩa phaỉ chứng minh k + + chia hết cho Ta có: 7k + + = 7(7k + 5) – 30 Theo giả thiết quy nạp (7k + 5) ⁝ nên 7(7k + 5) ⁝ Lại có: 30 ⁝ nên (7k + + 5) ⁝ Vậy 7n + chia hết cho