Bài 2 Hoán vị chỉnh hợp – tổ hợp A Lý thuyết I Hoán vị 1 Định nghĩa Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của[.]
Bài Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp A Lý thuyết I Hoán vị Định nghĩa - Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử - Nhận xét: Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp Chẳng hạn, hai hoán vị abc cab ba phần tử a; b; c khác Số hoán vị Kí hiệu: Pn số hốn vị n phần tử - Định lí: Pn = n.(n – 1).(n – 2)….2.1 - Chú ý: Kí hiệu n.(n – 1)…2.1 n! (đọc n giai thừa), ta có: Pn = n! - Ví dụ Có cách xếp 10 học sinh thành hàng ngang Lời giải: Số cách xếp 10 học sinh thành hàng ngang 10! cách II Chỉnh hợp Định nghĩa - Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho - Ví dụ Lớp 11A2 có 40 học sinh Khi đó; cách chọn bạn làm tổ trưởng tổ 1; tổ 2; tổ 3; tổ số chỉnh hợp chập 40 học sinh Số chỉnh hợp - Kí hiệu A kn số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) - Định lí: Akn n(n 1) (n k 1) - Ví dụ Từ năm điểm phần biệt A; B; C; D; E ta lập vectơ khác có điểm đầu điểm cuối năm điểm cho Lời giải: Một vectơ xác định biết điểm đầu điểm cuối Số vecto khác có điểm đầu điểm cuối năm điểm cho chỉnh hợp chập phần tử: Do đó, ta có: A52 5.4.3 60 vectơ thỏa mãn đầu - Chú ý: a) Với quy ước 0! = ta có: A kn n! ;1 k n (n k)! b) Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì vậy: Pn Ann III Tổ hợp Định nghĩa - Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho - Chú ý: Số k định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện ≤ k ≤ n Tuy vậy, tập hợp khơng có phần tử tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập n phần tử tập rỗng - Ví dụ Cho tập A = {3; 4; 5; 6} Ta liệt kê tổ hợp chập A là: {3; 4; 5}; {3; 4; 6}; {3; 5; 6}; {4; 5; 6} 2 Số tổ hợp Kí hiệu Ckn số tổ hợp chập k n phần tử ( ≤ k ≤ n) - Định lí: Ckn n! k!(n k)! Ví dụ Cho điểm phân biệt A; B; C; D; E; F; G; H, khơng có điểm thẳng hàng, ta lập tam giác có đỉnh điểm cho Lời giải: Mỗi tam giác lập tổ hợp chập (điểm) Vì số tam giác có đỉnh điểm cho C83 56 Tính chất số Ckn a) Tính chất Ckn Cnn k ; k n Ví dụ C83 C85 56 b) Tính chất (cơng thức Pa-xcan) Ckn 11 Ckn 1 Cnk ; 1 k n Ví dụ C84 C85 C59 126 B Bài tập tự luyện Bài Có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách xếp cho hai bạn giới không đứng cạnh Lời giải: Đánh số 10 vị trí xếp từ đến 10 + Trường hợp Các bạn nam xếp vị trí lẻ, bạn nữ xếp vị trí chẵn Xếp bạn nam vào vị trí lẻ có 5! = 120 cách Xếp bạn nữ vào vị trí chẵn có 5! = 120 cách Theo quy tắc nhân có: 120.120 = 14400 cách + Trường hợp Các bạn nam xếp vị trí chẵn, bạn nữ xếp vị trí lẻ Tương tự trường hợp 1; có 14400 cách Vậy có tất cả: 14 400 + 14 400 = 28 800 cách Bài Có học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ngồi hàng ngang có ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho học sinh cho học sinh lớp 12 ngồi hai học sinh khối 11? Lời giải : Do học sinh lớp 12 ngồi hai học sinh khối 11 nên vị trí cuối dãy ghế học sinh khối 11 Bước 1: Xếp học sinh lớp 11 thành hàng ngang, có 6! cách Bước 2: bạn học sinh lớp 11 có khoảng trống, chọn khoảng trống khoảng trống để xếp bạn lớp 12, có A 52 cách (có liên quan đến thứ tự) Theo quy tắc nhân có 6!.A52 14400 cách xếp thỏa yêu cầu Bài Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Lời giải: Xếp phần tử A vào ô trống liền nhau, ô trống chứa phần tử, không ô trống chứa phần tử, số cách xếp ban đầu A56 720 Tương tự vậy, mặc định ô trống chứa phần tử 0, số cách xếp vào trống cịn lại tương ứng A54 120 Số số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A 720 – 120 = 600 Bài Cho hai đường thẳng song song a b Trên đường thẳng a có điểm phân biệt, đường thẳng b có điểm phân biệt Hỏi có tam giác có đỉnh điểm cho Lời giải: + Trường hợp 1: Tam giác tạo thành có đỉnh thuộc đường thẳng a đỉnh thuộc đường thẳng b Chọn đỉnh thuộc a có C72 21 cách Chọn đỉnh thuộc b có cách Có 21.6 = 126 tam giác + Trường hợp 2: Tam giác tạo thành có đỉnh thuộc đường thẳng b điểm thuộc đường thẳng a Chọn đỉnh thuộc b có C62 15 cách Chọn đỉnh thuộc a có cách Có 15.7 = 105 tam giác Số tam giác thỏa mãn đầu là: 126 + 105 = 231 ... khối 11? Lời giải : Do học sinh lớp 12 ngồi hai học sinh khối 11 nên vị trí cuối dãy ghế học sinh khối 11 Bước 1: Xếp học sinh lớp 11 thành hàng ngang, có 6! cách Bước 2: bạn học sinh lớp 11 có... = 14400 cách + Trường hợp Các bạn nam xếp vị trí chẵn, bạn nữ xếp vị trí lẻ Tương tự trường hợp 1; có 14400 cách Vậy có tất cả: 14 400 + 14 400 = 28 800 cách Bài Có học sinh lớp 11 học sinh lớp... dụ C83 C85 56 b) Tính chất (cơng thức Pa-xcan) Ckn ? ?11 Ckn 1 Cnk ; 1 k n Ví dụ C84 C85 C59 126 B Bài tập tự luyện Bài Có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách xếp cho hai bạn giới không