Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG IV A LÝ THUYẾT 1 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ +) Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đ[.]
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG IV A LÝ THUYẾT GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ +) Ta nói dãy số (un) có giới hạn n dần tới dương vơ cực, |u n| nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim u n hay un → n → +∞ n +) Ta nói dãy số (vn) có giới hạn a (hay dần tới a) n → +∞ lim n Kí hiệu: lim v n n a hay → a n → +∞ Một vài giới hạn đặc biệt a) lim n n 0, lim n nk với k nguyên dương; b) lim q n |q| < 1; n c) Nếu un = c (c số) lim u n n Chú ý: Từ sau thay cho lim u n n lim c n a ta viết tắt lim un = a II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN +) Định lí a) Nếu lim un = a lim = b lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b c a lim un Nếu u n a (nếu b b 0) với n limun = a thì: a a lim u n III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vơ hạn (un) có cơng bội q, với |q| < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S u1 u2 u3 un u1 q q IV GIỚI HẠN VÔ CỰC Định nghĩa - Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞ n → +∞, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ - Dãy số (un) có giới hạn –∞ n → +∞, lim (–un) = +∞ Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ n → +∞ Nhận xét: un = +∞ ⇔ lim(–un) = –∞ Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau a) lim nk = +∞ với k nguyên dương; b) lim qn = +∞ q > 3 Định lí a) Nếu lim un = a lim = ±∞ lim un b) Nếu lim un = a > 0, lim = > 0, ∀ n > lim c) Nếu lim un = +∞ lim = a > limu n un V GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y = f(x) xác định K K \ {x0} Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số (xn) bất kì, xn K \{x0} xn → x0, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x L hay f(x) → L x → x0 x Nhận xét: lim x x , lim c x x c với c số Định lí giới hạn hữu hạn Định lí a) Giả sử lim f x x x0 L lim g x x lim f x g x L M; lim f x g x L M; x x x0 x0 lim f x g x x x0 L.M; x0 M Khi đó: f x x0 g x L M M lim x b) Nếu f x 0; L L lim f x x x0 lim f x x x0 (Dấu f(x) xét khoảng tìm giới hạn với x L x ) Giới hạn bên Định nghĩa - Cho hàm số y = f(x) xác định (x0; b) Số L gọi giới hạn bên phải hàm số y = f(x) x → x0 với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b xn → x0, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L x0 - Cho hàm số y = f(x) xác định (a; x0) Số L gọi giới hạn bên trái hàm số y = f(x) x → x với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 xn → x0, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L x0 Định lí lim f x x x0 L lim f (x) lim f x x x x0 L x0 VI GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa a) Cho hàm số y = f(x) xác định (a; +∞) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x → +∞ với dãy số (x n) bất kì, xn > a xn → +∞, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L b) Cho hàm số y = f(x) xác định (–∞; a) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn số L x → –∞ với dãy số (xn) bất kì, xn < a xn → –∞, ta có f(xn) → L Kí hiệu: lim f x x L Chú ý: a) Với c, k số k ngun dương, ta ln có: lim c x c; lim c x c; lim x c xk 0; lim x c xk b) Định lí giới hạn hữu hạn hàm số x → x xn → +∞ x → –∞ VII GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Giới hạn vô cực Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định (a; +∞) Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn –∞ x → +∞ với dãy số (xn) bất kì, xn > a xn → +∞, ta có f(xn) → –∞ Kí hiệu: lim f x x Nhận xét: lim f x x lim x f x Một vài giới hạn đặc biệt với k nguyên dương a) lim x k x b) Nếu k chẵn lim x k ; x Nếu k lẻ lim x k x Một vài quy tắc giới hạn vơ cực a) Quy tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x) lim f x x lim g x x0 x lim f x g x x0 x x0 L>0 L0 Tùy ý + – f x x0 g x lim L f(2) = -8 < f(3) = 13 > f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < Phương trình f(x) = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1); nghiệm thuộc khoảng (1; 2); nghiệm thuộc khoảng (2; 3) f(x) = có nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = có nghiệm thuộc (-2; 5) Bài Giới hạn dãy số sau: 3n 2n ; 2n n a) u n b) un = 5n – 2n; n2 c) u n n n2 n3 3n Lời giải a) lim u n lim Vì lim n2 n n2 n3 tắc 3, limu n b) Ta có n n lim lim n2 n n n2 n n n2 n lim 1 n n n2 n n2 với n nên theo quy n n Vì lim5 n2 , lim n c) lim n3 lim n3 3n 1 n2 1 n n2 nên theo quy tắc 2, lim 5n lim n2 n n3 n3 3n 2 n3 3n 3n 2 n3 3n lim n n n2 n n3 3n lim n n2 n n3 lim 1 3 n2 3n n n3 n n2 3 n2 n n3 2 2n n3 3n 2 x2 Bài a) Xét tính liên tục hàm số: g(x) x x x x x b) Tìm a để hàm số sau liên tục điểm ra: f x x x x2 2a x x x 0 Lời giải a) Tập xác định hàm số x2 Với x > hàm g(x) x x 2 hàm phân thức nên liên tục khoảng 2; Với x < hàm g(x) = – x hàm đa thức nên liên tục ;2 Tại x = 2, ta có: lim g(x) lim x x x2 x lim g(x) lim x x x 2 x x x x lim g(x) lim g(x) x x x lim g(2) Do hàm số liên tục x = Vậy hàm số cho liên tục b) Ta có: lim f (x) x lim f (x) x 0 lim x x lim x x 2a 2a x 1 lim x x Để hàm số liên tục x = lim f (x) x lim f (x) x 2a a 14x 3x hàm số cho liên tục x = Vậy a Bài Chứng minh phương trình x5 2x 15x phân biệt Lời giải Phương trình cho tương đương với x5 2x x5 15x 9x 14x 18x x5 9x Ta có: f ( 2) 95 0,f (2) 3x 2 4x3 Hàm số f (x) f (0) 2; , 4x 47 (1) 18x 0,f ( 1) , 1; x 12x 12x liên tục 0,f 0,f (10) Do phương trình f (x) 19 32 có nghiệm thuộc khoảng ;0 , 0;2 , 2;10 Vậy phương trình cho có nghiệm Bài Tìm giới hạn sau: b) B lim (4x x lim 1)3 (2x 1) ; (3 2x)7 3x x x x ; 1 Lời giải a) Ta có: A lim x 7921 Mặt khác f (x) đa thức bậc nên có tối đa nghiệm a) A x x x x có nghiệm x b) Ta có: B lim x2 x 1 x2 x x x x x2 lim x2 x 1 x x2 x2 x ... hạn +? ?? n → +? ??, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +? ?? hay un → +? ?? n → +? ?? - Dãy số (un) có giới hạn –∞ n → +? ??, lim (–un) = +? ?? Kí hiệu: lim un = –∞ hay un → –∞ n → +? ?? Nhận... L>0 Tùy ý + – f x x0 g x lim L a xn → +? ??,