Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1 Hàm số lượng giác A Lý thuyết I Định nghĩa 1 Hàm số sin và hàm số côsin a) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx sin x y sin x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y[.]
Bài Hàm số lượng giác A Lý thuyết I Định nghĩa Hàm số sin hàm số côsin a) Hàm số sin - Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx sin : y sin x x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx Tập xác định hàm số sin b) Hàm số côsin - Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx: cos : x y cos x gọi hàm số cơsin, kí hiệu y = cosx Tập xác định hàm số côsin Hàm số tang hàm số côtang a) Hàm số tang Hàm số tang hàm số xác định công thức: y sin x cosx (cosx 0) Kí hiệu y = tanx π kπ (k ) nên tập xác định hàm số y = π \ kπ;k 2 Vì cosx ≠ x tanx D b) Hàm số côtang Hàm số côtang hàm số xác định công thức: y cosx (sin x 0) sin x Kí hiệu y = cot x Vì sinx ≠ x kπ (k ) nên tập xác định hàm số y = cotx D \ kπ;k - Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn Từ đó, suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ II Tính tuần hồn hàm số lượng giác - Số T = 2π số dương nhỏ thỏa mãn đẳng thức: sin(x + T) = sinx ; x - Hàm số y = sinx thỏa mãn đẳng thức gọi hàm số tuần hồn với chu kì 2π - Tương tự; hàm số y = cosx hàm số tuần hồn với chu kì 2π - Các hàm số y = tanx y = cotx hàm số tuần hồn, với chu kì π III Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác Hàm số y = sinx Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx : + Xác định với x – ≤ sinx ≤ + Là hàm số lẻ + Là hàm số tuần hồn với chu kì 2π Sau đây, ta khảo sát biến thiên hàm số y = sinx a) Sự biến thiên đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0; π] π π Hàm số y = sinx đồng biến 0; nghịch biến ; π 2 2 Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0; π] qua điểm (0; 0); (x1; sinx1); (x2; sinx2); (x3; sinx3); (x4; sinx4); (π; 0) - Chú ý: Vì y = sinx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta đồ thị hàm số đoạn [– π; 0] Đồ thị hàm số y = sinx đoạn [– π; π] biểu diễn hình vẽ đây: b) Đồ thị hàm số y = sinx Hàm số y = sinx hàm số tuần hồn với chu kì 2π nên với x ta có: sin (x k2π) sin x; k Do đó, muốn có đồ thị hàm số y = sinx toàn tập xác định , ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số đoạn [– π; π] theo vecto v (2π; 0) v (2π; 0) , nghĩa tịnh tiến song song với trục hồnh đoạn có độ dài 2π Dưới đồ thị hàm số y = sinx : c) Tập giá trị hàm số y = sinx Tập giá trị hàm số [– 1; 1] Hàm số y = cosx Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx: + Xác định với x – ≤ cosx ≤ + Là hàm số chẵn + Là hàm số tuần hồn với chu kì 2π Với x π ta có: sin x cos x 2 π Từ đó, cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo vecto u ;0 (sang trái π đoạn có độ dài , song song với trục hoành), ta đồ thị hàm số y = cos x + Hàm số y = cos x đồng biến đoạn [– π; 0] nghịch biến đoạn [0; π] + Bảng biến thiên: + Tập giá trị hàm số y = cosx [– 1; 1] + Đồ thị hàm số y = cosx; y = sinx gọi chung đường hình sin Hàm số y = tanx Từ định nghĩa hàm số y = tan x: + Có tập xác định: D π \ kπ; k 2 + Là hàm số lẻ + Là hàm số tuần hồn với chu kì π π a) Sự biến thiên đồ thị hàm số y = tanx nửa khoảng 0; 2 π + Hàm số y = tanx đồng biến nửa khoảng 0; 2 + Bảng biến thiên: + Bảng giá trị: x y = tanx π 3 π … π 3 … π Đồ thị hàm số y = tanx nửa khoảng 0; qua điểm tìm 2 b) Đồ thị hàm số y = tanx D Vì y = tanx hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng gốc tọa độ O Lấy π đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tanx nửa khoảng 0; , ta đồ thị 2 π hàm số nửa khoảng ; 0 π π Từ đó, ta đồ thị hàm số y = tanx khoảng ; 2 - Vì hàm số y = tanx tuần hồn với chu kì π nên tịnh tiến đồ thị hàm số khoảng π π ; song song với trục hoành đoạn có độ dài π, ta đồ thị hàm số y 2 = tanx D + Tập giá trị hàm số y = tanx (; ) Hàm số y = cot x Hàm số y = cotx: + Có tập xác định D \ kπ;k + Là hàm số lẻ + Là hàm số tuần hồn với chu kì π a) Sự biến thiên hàm số y = cotx khoảng (0; π) Hàm số y = cotx nghịch biến khồn (0; π) Bảng biến thiên: Hình biểu diễn hàm số y = cotx khoảng (0; π) b) Đồ thị hàm số y = cotx D Đồ thị hàm số y = cotx D biểu diễn hình sau: Tập giá trị hàm số y = cotx ; B Bài tập tự luyện Bài Tìm tập xác định hàm số sau: a) y sin 2x ; cosx π b) y tan x ; 3 π c) y cot x 4 Lời giải: a) Điều kiện: cosx ≠ x π kπ; k Do đó, tập xác định hàm số cho là: D π \ kπ; k 2 π b) Điều kiện: cos x 3 x π π π kπ; k x kπ; k Do đó, tập xác định hàm số cho là: D π \ kπ; k 6 π c) Điều kiện: sin x 4 π x kπ; k x π kπ; k Do đó, tập xác định hàm số cho là: D π \ kπ; k 4 Bài Chứng minh rằng: hàm số y = sin2x + 2sinx hàm số lẻ Lời giải: Tập xác định: D = Với x D x D Ta có: f(x) = sin2x + 2sinx Và f(– x) = sin(– 2x) + 2sin(– x) = – sin2x – 2sinx = – (sin2x + 2sinx) Suy ra: f(– x) = – f(x) Do đó, hàm số y = sin2x + 2sinx hàm số lẻ (đpcm) Bài Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ hàm số a) y = 2sinx – 3; b) y = sin2x – 4sinx + Lời giải: Với x ta có: – ≤ sinx ≤ Suy ra: – ≤ 2sinx ≤ Do đó; – – ≤ 2sinx – ≤ – hay – ≤ sinx – ≤ – Vậy giá trị lớn hàm số – giá trị nhỏ hàm số – b) Ta có: sin2x – 4sinx + = (sinx – 2)2 – Vì – ≤ sinx ≤ nên – ≤ sinx – ≤ – ≤ (sinx – 2)2 ≤ – ≤ (sinx – 2)2 – ≤ – hay ≤ sin2x – 4sinx + ≤ Vậy giá trị lớn hàm số cho giá trị nhỏ hàm số cho Bài Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm khoảng giá trị x để hàm số nhận giá trị dương Lời giải: Đồ thị hàm số y = sinx : + Ta xét khoảng (– π; π): Để hàm số nhận giá trị dương tức sinx > Dựa vào đồ thị suy ra: x 0; π + Xét tập xác định: Vì tính tuần hồn với chu kì 2π, suy hàm số y = sinx nhận giá trị dương x k2π; π k2π ; k ... số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn Từ đó, suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ II Tính tuần hồn hàm số lượng giác - Số T = 2π số dương nhỏ thỏa mãn đẳng thức: sin(x + T) = sinx... thị hàm số lượng giác Hàm số y = sinx Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = sinx : + Xác định với x – ≤ sinx ≤ + Là hàm số lẻ + Là hàm số tuần hồn với chu kì 2π Sau đây, ta khảo sát biến thiên hàm số. .. thị hàm số y = sinx : c) Tập giá trị hàm số y = sinx Tập giá trị hàm số [– 1; 1] Hàm số y = cosx Từ định nghĩa ta thấy hàm số y = cosx: + Xác định với x – ≤ cosx ≤ + Là hàm số chẵn + Là hàm số