Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI 5 ĐẠO HÀM CẤP HAI A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b) Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b) Nếu hàm số y’ = f’(x) lại[.]
BÀI ĐẠO HÀM CẤP HAI A LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x ∈ (a;b) Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định hàm số khoảng (a; b) Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y’ đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) kí hiệu y” f”(x) Chú ý: + Đạo hàm cấp hàm số y = f(x) định nghĩa tương tự kí hiệu y”’ f”’(x) f(3)(x) + Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4) Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x), kí hiệu y(n) f(n)(x) f(n)(x) = (f(n–1)(x))’ Ví dụ Với y = 7x4 + 8x + 12 Tính y(5) Lời giải Ta có: y’ = 28x3 + 8, y” = 84x2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = Vậy y(5) = Ý nghĩa học đạo hàm cấp hai Xét chuyển động xác định phương trình s = f(t), s = f(t) hàm số có đạo hàm đến cấp hai Vận tốc tức thời t chuyển động v(t) = f’(t) Lấy số gia t t v(t) có số gia tương ứng v v gọi gia tốc trung bình chuyển động khoảng thời gian t v t tồn tại: v'(t) lim t t Tỉ số Ta gọi v' t t gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t Vì v(t) = f’(t) nên: t f" t Đao hàm cấp hai f”(t) gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t t Nếu gt Ví dụ Tính gia tốc tức thời rơi tự s Lời giải Ta có: s' gt Gia tốc tức thời tơi tự là: s" t Vậy gia tốc tức thời rơi tự là: g s'(t) 9,8 m / s g 9,8m / s2 B BÀI TẬP Bài Tính đạp hàm cấp hai hàm số sau: a) y = sin5x.cos2x; x x2 b) y 1; c) y = (1 – x2)cosx; 2x d) y = y x2 x Lời giải a) y’ = (sin5x.cos2x)’ = 5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x y” = (5cos5x.cos2x – 2sin5x.sin2x)’ = - 25sin5x.cos2x – 10cos5xsin2x – 10cos5xsin2x – 4sin5x.cos2x b) y' y" x x 2x ' x' x 4x x ' x2 1 x 2x x2 2x x x 2 x2 x2 1 2x x2 2x x2 2x x 3x c) y’ = [(1 – x2)cosx]’ = -2x.cosx – (1- x2).sinx y” = [-2x.cosx – (1- x2).sinx]’ = -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x2).cosx d) y' 2x x2 ' x 2 x2 x x2 2x x 2x 2x 2x 4x x2 x 2x 4x 2 2x x2 x 2 x2 x ' 2x y" x2 2x x 4x 2 2 2x x2 Bài Cho hàm số y = (3x – 4)6 Tính y”(2) y(4)(2) Lời giải Ta có: y’ = 6(3x – 4)5.3 = 18(3x – 4)5 y" 18.5(3x 4)4 270(3x 4)3.3 y"' 270.4.(3x y(4) 3240.3.(3x 4)4 3240(3x 4)2 29160(3x Khi đó, ta có: y" y(4) 270(3.2 4) 29160(3.2 4320; 4) 4)3 116640 Vậy y”(2) = 4320 y(4)(2) = 116640 4)2 x x 2x x 2x ... tơi tự là: s" t Vậy gia tốc tức thời rơi tự là: g s''(t) 9,8 m / s g 9,8m / s2 B BÀI TẬP Bài Tính đạp hàm cấp hai hàm số sau: a) y = sin5x.cos2x; x x2 b) y 1; c) y = (1 – x2)cosx; 2x d) y = y x2... (1- x2).sinx]’ = -2cosx + 2xsinx + 2xsinx – (1 – x2).cosx d) y'' 2x x2 '' x 2 x2 x x2 2x x 2x 2x 2x 4x x2 x 2x 4x 2 2x x2 x 2 x2 x '' 2x y" x2 2x x 4x 2 2 2x x2 Bài Cho hàm số y = (3x – 4)6 Tính... 3240(3x 4)2 29160(3x Khi đó, ta có: y" y(4) 270(3.2 4) 29160(3.2 4320; 4) 4)3 116 640 Vậy y”(2) = 4320 y(4)(2) = 116 640 4)2 x x 2x x 2x