Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1 Vecto trong không gian A Lý thuyết I Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian Cho đoạn thẳng AB trong không gian Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vecto, được kí h[.]
Bài Vecto không gian A Lý thuyết I Định nghĩa phép tốn vecto khơng gian Cho đoạn thẳng AB không gian Nếu ta chọn điểm đầu A, điểm cuối B ta có vecto, kí hiệu AB Định nghĩa - Vecto không gian đoạn thẳng có hướng Kí hiệu AB v ecto có điểm đầu A, điểm cuối B Vecto kí hiệu a; b; x; y - Các khái niệm liên quan đến vecto giá vecto, độ dài vecto, phương, hướng vecto, vecto – không, hai vecto ….được định nghĩa tương tự mặt phẳng Phép cộng phép trừ vecto không gian, - Phép cộng phép trừ hai vecto không gian định nghĩa tương tự phép cộng phép trừ hai vecto mặt phẳng - Phép cộng vecto khơng gian có tính chất phép cộng vecto mặt phẳng Khi thực phép cộng vecto khơng gian ta áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành vecto hình học phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD Chứng minh DA BC BA DC Lời giải: Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: DA DC CA Ta có: DA BC DC CA BC DC BC CA DC BA ( điều phải chứng minh) II Điều kiện đồng phẳng ba vecto Khái niệm đồng phẳng ba vecto không gian Trong không gian cho ba vecto a;b; c Nếu từ điểm O ta vẽ: OA a;OB b;OC c xảy hai trường hợp: + Trường hợp đường thẳng OA; OB; OC không nằm mặt phẳng, ta nói ba vecto a;b; c khơng đồng phẳng + Trường hợp đường thẳng OA; OB; OC nằm mặt phẳng ta nói ba vecto a;b; c đồng phẳng Trong trường hợp này, giá vecto a;b; c luôn song song với mặt phẳng - Chú ý Việc xác định đồng phẳng không đồng phẳng ba vecto nói khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm O Định nghĩa: Trong không gian ba vecto gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Ví dụ Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Chứng minh BD,IK,GF đồng phẳng Lời giải : Xét tam giác FAC có I ; K trung điểm AF FC nên IK đường trung bình tam giác IK// AC nên IK// mp ( ABCD) Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD) IK//(ABCD) Ta có : GF//(ABCD) BD (ABCD) BD,IK,GF đồng phẳng D C A B K I H E G F Điều kiện để ba vecto đồng phẳng Định lí Trong khơng gian cho hai vecto a;b không phương vecto c Khi đó, ba vecto a; b; c đồng phẳng có cặp số m; n cho c ma n b Ngoài ra, cặp số m; n suy - Định lí Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng a; b; c Khi đó, với vecto x ta tìm ba số m, n, p cho x ma n b p c Ngoài ra, ba số m; n; p Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M trung điểm BB’ Đặt CA a; CB b;AA ' c Phân tích vecto AM theo a; b; c Lời giải: Áp dụng quy tắc điểm quy tắc hiệu hai vecto ta có : 1 AM AB BM CB CA BB ( BM BB' M trung điểm BB’) 2 1 b a AA b a c 2 B Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA a;SB b;SC c;SD d Chứng minh: a c d b Lời giải: Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có: SA SC 2SO (do tính chất đường trung tuyến) SB SD 2SO SA SC SB SD a c d b Bài Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt AB x;AC y;AD z ; Phân tích vecto AG theo vecto x; y; z Lời giải: Gọi M trung điểm CD Ta có : 2 AG AB BG AB BM AB AM AB 3 1 AB AC AD AB AB AC AD x y z 2 ( AM AC AD ( M trung điểm CD)) Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi I K tâm hình bình hành ABB’A’ BCC’B’ Chứng minh: 1 a) IK AC AC 2 b) Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng c) BD 2IK 2BC d) Ba vectơ BD;IK; B'C' đồng phẳng Lời giải: A' a) Do tính chất đường trung bình tam giác A’BC’ tính chất hình bình hành ACC’A’ B' C' 1 nên ta có: IK AC AC I 2 K A b) Do IK đường trung bình tam giác AB’C D nên IK// AC B Suy ra, bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng C c) Ta có: BD 2IK BC CD AC BC CD AD DC BC AD BC BC 2BC d) Vì giá ba vectơ BD;IK; B'C' song song trùng với mặt phẳng (ABCD) Do đó, theo định nghĩa đồng phẳng vectơ, ba vectơ đồng phẳng D' ... niệm đồng phẳng ba vecto không gian Trong không gian cho ba vecto a;b; c Nếu từ điểm O ta vẽ: OA a;OB b;OC c xảy hai trường hợp: + Trường hợp đường thẳng OA; OB; OC không nằm mặt phẳng,... Định lí Trong không gian cho hai vecto a;b không phương vecto c Khi đó, ba vecto a; b; c đồng phẳng có cặp số m; n cho c ma n b Ngoài ra, cặp số m; n suy - Định lí Trong khơng gian cho... song với mặt phẳng - Chú ý Việc xác định đồng phẳng không đồng phẳng ba vecto nói khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm O Định nghĩa: Trong không gian ba vecto gọi đồng phẳng giá chúng song song với