Bài 2 Hàm số lũy thừa A Lý thuyết I Khái niệm – Hàm số y x , với , được gọi là hàm số lũy thừa Ví dụ 1 Các hàm số 3 1 5 3 2 1 y x ; y ; y x ; y x x là những hàm số lũy thừa – Chú ý Tậ[.]
Bài Hàm số lũy thừa A Lý thuyết I Khái niệm – Hàm số y x , với Ví dụ Các hàm số y x , gọi hàm số lũy thừa 1 ; y ; y x ; y x 3 hàm số lũy x thừa – Chú ý: Tập xác định hàm số lũy thừa y x tùy thuộc vào giá trị α Cụ thể: + Với α nguyên dương, tập xác định + Với α nguyên âm 0; tập xác định \{0} + Với α không nguyên, tập xác định (0; ) II Đạo hàm hàm số lũy thừa – Hàm số lũy thừa y x ( ) có đạo hàm với x > x ' .x 1 – Ví dụ 52 53 a) x x b) x 7 x 1 – Chú ý: Cơng thức tính đạo hàm hàm hợp hàm số lũy thừa có dạng: u ' .u 1 u ' – Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y (2x 3x 2) Lời giải: Ta có: 2 y' (2x 3x 2) (2x 3x 2)' 2 (2x 3x 2) (4x 3) III Khảo sát hàm số lũy thừa y = xα Tập xác định hàm số lũy thừa y x chứa khoảng (0; ) với Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y x khoảng (gọi tập khảo sát) y x ; y x ; Tập khảo sát: (0; ) Tập khảo sát: (0; ) Sự biến thiên Sự biến thiên y' .x 1 0; x y' .x 1 0; x Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x 0; lim x lim x ; lim x x 0 x Tiệm cận: Khơng có x 0 x Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng đồ thị Bảng biến thiên Bảng biến thiên Đồ thị (với α > 0) Đồ thị (với α < 0) Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα qua điểm (1; 1) – Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định 2 Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x Lời giải: Tập xác định: D 0; Sự biến thiên 7 2 Chiều biến thiên y' x Ta có: y’ < khoảng D 0; nên hàm số cho nghịch biến Tiệm cận: lim y ; lim y x 0 x Đồ thị có tiệm cận ngang trục hồnh có tiệm cận đứng trục tung Bảng biến thiên Đồ thị Bảng tóm tắt tính chất hàm số lũy thừa y x khoảng (0; ) α> 0 Đạo hàm y' .x 1 y' .x 1 Chiều biến thiên Hàm số đồng biến Hàm số ln nghịch biến Tiệm cận Khơng có Tiệm cận ngang trục Ox; Tiệm cận đứng trục Oy Đồ thị Đồ thị qua điểm (1; 1) B Bài tập tự luyện Bài Tìm điều kiện xác định hàm số 4 a) y (2x 8) ; b) y (x 5x 6) 2 ; c) y (4 x ) 5 Lời giải: a) Vì 4 số hữu tỉ nên điều kiện hàm số là: 2x – > hay x > b) Vì số vô tỉ nên điều kiện hàm số là: x x2 – 5x + > x c) Vì – số nguyên âm nên điều kiện hàm số – x2 > hay – < x < Bài Tính đạo hàm hàm số a) y x ; b) y (4 2x) ; c) y (x 2x 1) d) y (x 4x 2)4 Lời giải: 2 1 1 a) y' x x 3 5 5 1 2 4 b) y' (4 2x) (4 2x)' (4 2x) ( 2) (4 2x) ; 7 c) y' (x 2x 1) (x 2x 1) 1 (x 2x 1)' 1 (3x 4x) d) y’ = – 4.(x2 – 4x + 2)–4 – (x2 – 4x + 2)’ = – 4.(x2 – 4x + 2)–5 (2x – 4) Bài Hãy so sánh cặp số sau : a) (3,5)2,1 (3,5)3,4; b) ( 1)2,3 ( 1)3,1 c) (0,7) 2 Lời giải: a) Ta có: 3,5 > 2,1 < 3,4 Do đó; (3,5)2,1 < (3,5)3,4 b) Vì 2,3 < 3,1 Suy ra: ( 1)2,3 > ( 1)3,1 c) Ta có: (0,7) Nên (0,7) 2 2 1 2 (vì 0,7 < 1) < Bài Tìm điều điện a để biểu thức sau có nghĩa a) (a 1) b) (2 – a)– c) (2a 2)1 Lời giải: a) Ta có: số hữu tỉ nên để biểu thức cho có nghĩa a + > hay a > – b) Vì – số nguyên âm nên để biểu thức cho có nghĩa – a ≠ hay a ≠ c) Vì số vơ tỉ nên để biểu thức cho có nghĩa 2a – > hay a > ... Đồ thị hàm số lũy thừa y = xα qua điểm (1; 1) – Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định 2 Ví dụ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x... hay x > b) Vì số vơ tỉ nên điều kiện hàm số là: x x2 – 5x + > x c) Vì – số nguyên âm nên điều kiện hàm số – x2 > hay – < x < Bài Tính đạo hàm hàm số a) y x ; b) y (4 2x) ; c) y... (x 2x 1) 1 (x 2x 1)'' 1 (3x 4x) d) y’ = – 4.(x2 – 4x + 2 )–4 – (x2 – 4x + 2)’ = – 4.(x2 – 4x + 2 )–5 (2x – 4) Bài Hãy so sánh cặp số sau : a) (3,5)2,1 (3,5)3,4; b) ( 1)2,3 ( 1)3,1