Lý thuyết sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số A Lý thuyết I Tính đơn điệu của hàm số 1 Nhắc lại định nghĩa Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K[.]

Bài Sự đồng biến, nghịch biến hàm số A Lý thuyết I Tính đơn điệu hàm số Nhắc lại định nghĩa - Định nghĩa: Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f(x) xác định K Ta nói: Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K với cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f(x1) nhỏ f(x2), tức x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1; x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f(x1) lớn f(x2), tức x1 < x2  f(x1) > f(x2) - Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K - Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy: a) f(x) đồng biến K  f(x) nghịch biến K  f (x )  f (x1 ) 0 ; x1;x  K; (x1  x ) x  x1 f (x )  f (x1 )  ; x1;x  K; (x1  x ) x  x1 b) Nếu hàm số đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải 2 Tính đơn điệu dấu đạo hàm - Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K a) Nếu f’(x) > với x thuộc K hàm số f(x) đồng biến K b) Nếu f’(x) < với x thuộc K hàm số f(x) nghịch biến K - Chú ý: Nếu f’(x) = với x K f(x) khơng đổi K Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y = x2 + 2x – 10; b) y  x 5 2x  Lời giải: a) Hàm số cho xác định với x Ta có đạo hàm y’ = 2x + Và y’ = x = – Lập bảng biến thiên:  x f’(x)  –1 – + – 11 f(x) Vậy hàm số cho đồng biến khoảng  1;   nghịch biến khoảng   ;  1 b) y  x 5 2x  Hàm số cho xác định với x  Ta có: y'  13  x  (2x  3) 3  3  Do đó, hàm số cho nghịch biến khoảng  ;   ;    2  2  - Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f (x)   f (x)  0 ; x  K Và f’(x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến (nghịch biến) K Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = x3 – 6x2 + 12x – 10 Lời giải: Hàm số cho xác định với x Ta có: y’ = 3x2 – 12x + 12 = 3(x – 2)2 Do đó; y’ = x = y’ > với x  Theo định lí mở rộng, hàm số cho luôn đồng biến II Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Quy tắc - Bước Tìm tập xác định - Bước Tính đạo hàm f’(x) Tìm điểm xi ( i = 1; 2; …; n) mà đạo hàm không xác định - Bước Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên - Bước Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Áp dụng Ví dụ Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = x4 – 2x2 – Lời giải: Hàm số cho xác định với x Ta có: y’ = 4x3 – 4x  x0 y’ =   x   Bảng biến thiên: Vậy hàm số cho đồng biến (– 1; 0) (1; ) Hàm số nghịch biến  ;  1 (0; 1) Ví dụ Cho hàm số y   x  6x  9x  Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số Lời giải: Hàm số cho xác định với x Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – x  Và y’ =   x 3 Bảng biến thiên: Vậy hàm số cho đồng biến (1; 3); nghịch biến (; 1) (3;  ) B Bài tập tự luyện Bài Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) y = – x4 + 2x2 + 2; b) y = x3 – 3x2 + 1; c) y  x x1 Lời giải: a) Hàm số cho xác định với x Ta có: y’ = – 4x3 + 4x  x0 y'    x    Bảng biến thiên x  –1 f’(x) + – f(x)  + – Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (;  1) (0; 1) Nghịch biến khoảng (–1; 0) (1; ) b) Hàm số cho xác định với x Ta có: y’ = 3x2 – 6x Và y'   x  0;x  Bảng biến thiên: x  f’(x) + f(x)  – + –3 Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (; 0) (2; ) Nghịch biến khoảng (0; 2) c) y  x x1 Hàm số cho xác định với x   Ta có: y'  ; x   (x 1) Ta thấy với x khác – y’ > Do đó, hàm số cho đồng biến khoảng   ;  1 (1; ) x2 1 Bài Chứng minh hàm số y  đồng biến khoảng xác định x Lời giải: Hàm số cho xác định với x  2x.x  1.(x  1) x 1  ; x  Ta có: y'  x2 x Ta thấy, với x ≠ y’ > Do đó, hàm số cho đồng biến khoảng   ;  (0; ) (đpcm) Bài Chứng minh hàm số y  8x  x đồng biến khoảng (0; 4); nghịch biến khoảng (4; 8) Lời giải: Điều kiện: 8x  x    x  y'  (8x  x )' 8x  x   2x 8x  x y'   x  Bảng biến thiên: x f’(x) + f(x) – 0 Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (0; 4) nghịch biến khoảng (4; 8) (đpcm)  ... đồng biến, nghịch biến hàm số y = x4 – 2x2 – Lời giải: Hàm số cho xác định với x Ta có: y’ = 4x3 – 4x  x0 y’ =   x   Bảng biến thiên: Vậy hàm số cho đồng biến (– 1; 0) (1; ) Hàm số nghịch. .. biến thiên: Vậy hàm số cho đồng biến (1; 3); nghịch biến (; 1) (3;  ) B Bài tập tự luyện Bài Xét đồng biến, nghịch biến hàm số sau: a) y = – x4 + 2x2 + 2; b) y = x3 – 3x2 + 1; c) y  x x1... biến  ;  1 (0; 1) Ví dụ Cho hàm số y   x  6x  9x  Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số Lời giải: Hàm số cho xác định với x Ta có: y’ = – 3x2 + 12x – x  Và y’ =   x 3 Bảng biến