Lý thuyết tích phân (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 2 Tích phân A Lý thuyết I Khái niệm tích phân 1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoàn[.]

Bài Tích phân A Lý thuyết I Khái niệm tích phân Diện tích hình thang cong - Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b gọi hình thang cong - Ta xét tốn tìm diện tích hình thang cong bất kì: Cho hình thang cong giới hạn đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành đường cong y = f(x), f(x) hàm số liên tục, không âm đoạn [a; b] Với x  a;b , kí hiệu S(x) diện tích phần hình thang cong nằm hai đường thẳng vng góc với Ox a b Ta chứng minh S(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Giả sử F(x) ngun hàm f(x) có số C cho S(x) = F(x) + C Vì S(a) = nên F(a) + C = hay C = – F(a) Vậy S(x) = F(x) – F(a) Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích hình thang cần tìm là: S(b) = F(b) – F(a) Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định b đoạn [a; b]) hàm số f(x), kí hiệu  f (x)dx a b Ta cịn dùng kí hiệu F(x) a để hiệu số F(b) – F(a) b Vậy  f (x)dx  F(x) a  F(b)  F(a) b a b Ta gọi  dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f(x)dx biểu thức a dấu tích phân f(x) hàm số dấu tích phân - Chú ý Trong trường hợp a = b a > b, ta quy ước: a b a a a b  f (x)dx  0;  f (x)dx    f (x)dx Ví dụ  x2  a)  (x 2)dx    2x     ;  0 π π b)  (2  cos x)dx   2x  sin x   (π  1)   π 1 - Nhận xét b b a a a) Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu  f (x)dx hay  f (t)dt Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t b) Ý nghĩa hình học tích phân b Nếu hàm số f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] tích phân  f (x)dx a diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị f(x), trục Ox hai b đường thẳng x = a; x = b Vậy S   f (x)dx a II Tính chất tích phân - Tính chất 1: b b  k.f (x)dx  k  f (x)dx a (k số) a - Tính chất 2: b b b a a a  f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx π Ví dụ Tính:  (3x  4sin x)dx Lời giải: Ta có: π π π 0  (3x  4sin x)dx  3 xdx   sin xdx π x  3π 3π 4cos x   (4  4)  8 2 π - Tính chất b c b  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx a a c Ví dụ Tính  x dx 2 Lời giải:  x   x  Ta có: x    x  x  Do đó; 2 2 2  x dx   x dx   x dx (a < c < b) 0    xdx   xdx 2 x  2 x2  2  (0  2)  (2  0)  III Phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến số - Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số x  φ(t) có đạo hàm liên tục đoạn  α; β cho φ(α)  a; φ(β)  b a  φ(t)  b t α; β b β a α Khi đó:  f (x)dx   f  φ(t) .φ'(t)dt Ví dụ Tính   x dx Lời giải: Đặt x = sint; suy ra: dx = costdt Đổi cận: x 0  t  π x 1  t  Ta có: π   x dx    sin t.cost dt 0 π π 0   cos t.cost dt   cos t.cost dt π π   cos tdt   (1  cos2t)dt 0 π  sin 2t  π π   t    0  2 0 4 - Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép đổi biến số dạng sau: b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Để tính  f (x)dx , ta chọn hàm a số u = u(x) làm biến số mới, đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục u(x)  α; β Giả sử viết: f(x) = g(u(x)) u’(x) với x   a; b với g(u) liên tục đoạn α; β b Khi đó, ta có:  f (x)dx  a u(b)  g(u)du u(a ) π Ví dụ Tính  x.sin x dx Lời giải: Đặt t = x2 Suy ra: dt = 2xdx  xdx  dt Đổi cận: x t π π Ta có: π  π x.sin x dx   sin t dt π 1  1  π   sin t.dt  (cost)      2   Phương pháp tính tích phân phần - Định lí Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] thì: b b  u(x).v'(x)dx u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx b a a a b b Hay  udv  uv a   vdu b a a  Ví dụ Tính I   x sin xdx Lời giải: u  x Đặt  ta có dv  sin xdx  du  dx   v   cos x  Do I   x sin xdx    x cos x   |02    cos xdx    sin x |02 e1 Ví dụ Tính I   x ln(x  1)dx Lời giải:  du  dx  u  ln(x  1) x 1 Đặt  ta có  dv  xdx  v  x   e1 I  e1 e1  x  1 x ln(x  1)dx  ln(x  1)    (x  1)dx  0  e2  2e  x     x 2  e1  e2  2e e2  4e  e2     2 B Bài tập tự luyện Bài Tính tích phân sau:  a) (x  1)dx ; x  4x 1 x dx ; b)  c)  sin 3xcosx dx ;   sin x dx d)   Lời giải: 1 1 0 0 x 3 a)  (x  1)dx =  (x  1)dx   x 3dx   dx  (  x) 10   x2 2 x  4x b)  dx    x   dx    4x  x  1 1 1  11 =   8      2    c)  sin3x cos xdx   sin4x  sin2x dx 0   2  1  =   sin4xdx   sin2xdx  0   1 1     cos4x  cos2x  2   =  1      cos2  cos     cos0  cos0     2    = 1 1 1       2 4 2    d)  sin x dx    sin xdx   sin xdx  cos x   cos x      2 = 1 1 2 Bài Sử dụng phương pháp đổi biến, tính: e x dx a) C   x ; e 1 2 b) D =   x xdx ;  sin2x dx  sin x c) F   Lời giải: e x dx ex  1 a) C   x x Đặt t  e   dt  e dx Đổi cận: Khi x = t = e – Khi x = t = e2 – Khi đó: e2 1 e2  dt C   ln t  ln  e  1  ln  e  1 t e 1 e 1 e2   ln  ln  e  1 e 1 2 b) D =   x xdx Đặt t   x  dt  2xdx  xdx   dt Đổi cận: Khi x = t = ; x = t = Khi đó: 1 12  32  D   tdt   t dt   t  20 2     1 t t   4.2    3  sin2x dx  sin x c) F   Đặt t  sin x  dt  2sin x cos xdx  sin2xdx Đổi cận: Khi x   sin   t  0; x   t 1 Khi đó: 1 dt  ln  t  ln  ln1  ln 1 t F Bài Sử dụng phương pháp tính tích phân phần, tính:  a) A = xdx 0 cos2 x ;  b) B = x cos xdx ; c) C   xe2x dx Lời giải: u  x du  dx  a) Đặt  dx    v  tan x dv  cos x     xdx  sin x dx A=  =  x tan x    tan xdx    cos x cos x 0 0  =  (ln cos x )       2   ln  ln1   ln  2   b) B = x cos xdx u  x du  2xdx  Đặt  dv  cos xdx  v  sin x  B=  x cos xdx = x sin x    2 x sin xdx     2 x sin xdx  * Tính : I =  xsinxdx u  x du  dx  Đặt  dv  sin xdx v   cos x  I=  xsinxdx  x cos x     0   cos xdx   x.cos x  sin x   2 2 x cos xdx 2 Thế I = vào B ta :  = du  dx u  x   c) Đặt   2x 2x dv  e dx  v  e   2x C = x.e dx = x.e 2x 1 1  e2  e2  e2   4 1 1   e2x dx  x.e2x 10  e2x 20 ...S(b) = F(b) – F(a) Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định b... a để hiệu số F(b) – F(a) b Vậy  f (x)dx  F(x) a  F(b)  F(a) b a b Ta gọi  dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f(x)dx biểu thức a dấu tích phân f(x) hàm số dấu tích phân - Chú ý Trong... Nhận xét b b a a a) Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu  f (x)dx hay  f (t)dt Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t b) Ý nghĩa hình học tích phân b Nếu hàm