Lý thuyết khoảng cách (mới 2022 + bài tập) toán 11

Bài 5 Khoảng cách A Lý thuyết I Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng 1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm O và đường thẳng a Trong mặt phẳng (O; a), gọi H là hì[.]

Bài Khoảng cách A Lý thuyết I Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O; a), gọi H hình chiếu vng góc O lên a Khi đó, khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a Kí hiệu: d(O; a) Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Tính khoảng cách từ B tới đường thẳng DB' Lời giải: B C A D H B C D A Từ giả thuyết ta suy ra: BD  BC2  CD2  a Gọi H hình chiếu B lên DB' ta có: BH = d (B, DB') Xét tam giác BB'D vng B ta có: 1 1    2  2 2 BH BB BD a 2a a   a Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  BH  Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) kí hiệu d(O; (α)) Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA  (ABC) , ∆ABC tam giác cạnh a tam giác SAB cân Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Lời giải: S H B A D C Gọi D trung điểm BC Do tam giác ABC nên AD  BC (1) Trong tam giác SAD, kẻ AH  SD (2) SA   ABC   SA  BC  AD  BC Do  (3) SA  AD  A     BC   SAD    SBC   SAD  Từ (2) (3), ta suy AH vng góc với (SBC) nên d(A ; (SBC))= AH Theo giả thiết, ta có SA = AB = a, AD  a) Tam giác SAD vuông nên a (đường cao tam giác cạnh 1 1     2 2 2 AH SA AD AH a 3a a    AH  AH 3a II Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng măt phẳng song song - Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm thuộc a đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d(a; (α)) Khoảng cách hai mặt phẳng song song - Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng - Kí hiệu: d((α); (β)) Như vậy: d((α); (β)) = d(M; (β)) = d(M’; (α)) III Đường vng góc chung khoảng cách hai đường thẳng chéo 1 Định nghĩa a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b vuông góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b b) Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b M; N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo - Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi (β) mặt phẳng chứa b song song với a; a’ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (β) Vì a// (β) nên a// a’ Do đó; a’ cắt b điểm N Gọi (α) mặt phẳng chứa a a’; ∆ đường thẳng qua N vng góc với (β) Khi đó, (α) vng góc (β) Như vậy.∆ nằm (α) nên cắt đường thẳng a M cắt đường thẳng b N.Đồng thời, ∆ vng góc với a b Do đó, ∆ đường vng góc chung a b Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC Lời giải : Do SAB   ABCD  BC  AB  BC  SAB Vì tam giác SAB nên gọi M trung điểm SA BM  SA nên BM đoạn vng góc chung BC SA Vậy d  SA;BC   BM  a Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SA= a Khoảng cách hai đường thẳng SB CD Lời giải : S A D B C Vì SA   ABCD   SA  AD SA  AD Ta có:   AD   SAB   d  D, SAB   DA AB  AD  CD   SAB   Vì CD // AB AB  SAB    Suy ra: CD // (SAB) nên : d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = DA = a, B Bài tập tự luyện Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vng góc với (ABC) SA = 3a Diện tích tam giác ABC 2a2; BC = a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? Lời giải: Kẻ AH vuông góc với BC 2.SABC 4a SABC  AH.BC  AH    4a BC a Ta có: SA   ABC  SA  BC Lại có: AH  BC nên BC  ( SAH) Suy ra: SH  BC khoảng cách từ S đến BC SH + Ta có tam giác vng SAH vng A nên ta có SH  SA  AH  (3a)2  (4a)2  5a Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy tam giác ABC vng A có BC = 2a, AB  a Khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') là: Lời giải: B C A H B C A Ta có AA’//(BCC’B’) nên khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') Hạ AH  BC  AH   BCCB Ta có 1 1 1    2  2 2 2 2 2 AH AB AC 3a BC  AB 3a a 3a  AH  a a Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ B đến (SCD) Lời giải: Vậy khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') S K A D H B M C Gọi H, M trung điểm AB CD Suy HM =1, SH  SM  2 Vì tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) nên SH   ABCD  Vì AB//CD nên AB// (SCD) Do d (B; (SCD)) = d(H; (SCD)) = HK với HK  SM (SHM) 1 21 Ta có:    HK  2 HK SH HM Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) đáy tam giác vuông B, AB = SA= a Gọi H hình chiếu A SB Khoảng cách AH BC bằng: Lời giải: Ta có AH  SB  AH  HB BC  AB   BC   SAB   BC  AH (nên BC  BH ) BC  SA  Do đó, d(BC, AH) = HB Tam giác SAB vuông cân A, AH đường cao SB a2  a2 a  BH    2 a Vậy d  BC, AH   ... a mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm thuộc a đến mặt phẳng (α) Kí hiệu d(a; (α)) Khoảng cách hai mặt phẳng song song - Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt...  a Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng cịn lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng... (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) kí hiệu d(O; (α)) Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA  (ABC) , ∆ABC tam giác cạnh a tam giác SAB cân Tính khoảng cách h