Lý thuyết cấp số nhân (mới 2022 + bài tập) – toán 11

Bài 4 Cấp số nhân A Lý thuyết I Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi[.]

Bài Cấp số nhân A Lý thuyết I Định nghĩa - Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân - Nếu (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có cơng thức truy hồi: un + = un q với n  * - Đặc biệt Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, …., 0,… Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1, u1, u1, …., u1,… Khi u1 = với q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, 0,…, - Ví dụ Dãy số hữu hạn sau cấp số nhân: 2, 4, 8, 16, 32 với số hạng đầu u1 = công bội q = II Số hạng tổng quát - Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng qt un xác định công thức: un = u1.qn - với n ≥ - Ví dụ Cho cấp số nhân (un) với u1 = – 1; q = – a) Tính u6; b) Hỏi 128 số hạng thứ Lời giải: a) Ta có: u6 = u1 q5 = –1 (– 2)5 = 32 b) Ta có: un = u1.qn - nên 128 = – (– 2)n -  (– 2)n - = – 128 = (– 2)7  n – = nên n = Vậy 128 số hạng thứ III Tính chất số hạng cấp số nhân - Định lí: Trong cấp số nhân, bình phương số hạng (trừ số hạng đầu cuối) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: u 2k  u k 1.u k 1 ; k  ( hay u k  u k 1.u k 1 ) IV Tổng n số hạng đầu cấp số nhân - Định lí: Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q ≠ Đặt Sn = u1 + u2 + …+ un u1 (1  q n ) Khi đó: Sn  1 q - Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1, u1, u1,….u1,….Khi đó, Sn = n.u1 Ví dụ Cho cấp số nhân (un) biết u1 = 3; u2 = Tính tổng số hạng đầu tiên? Lời giải: Ta có: u2 = u1.q nên = 3q Suy ra, cơng bội q = Khi đó, tổng số hạng là: u1 (1  q8 ) 3.(1 38 ) S8    9840 1 q 3 B Bài tập tự luyện Bài Cho cấp số nhân (un) với u4 = 108 u2 = Viết số hạng tổng quát cấp số nhân; biết q > ? Lời giải: Theo đầu ta có: u  108 u1.q3  108 (1)   u   u 1.q  (2)  Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: u1 q 108  hay q2 = 36 u1q Suy ra; q = (vì q > 0) Thay vào (2) ta được: u1 = nên u1  Do đó, số hạng tổng quát cấp số nhân cho là: u n  n Bài Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân Tìm bốn số đó? Lời giải: Khi chèn thêm số vào số 160 5, ta cấp số nhân với: u1 = 160 u6 = Vì u6 = u1.q5 nên = 160.q5 1  q5  q  32 Khi đó: 1 u  160  80; u 160.   40; 2 1 1 u 160.   20;u 160.  10 2 2 u 6 Bài Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn  Tính u1? S3  43 Lời giải: u 6 Ta có:  S3  43 u1q   u1q      u1 (1  q )  u1 (1  q  q )  43   q  43   u  (1) u1q    q   u1  u1 q u1q  43 u  u q u q  43 (2)  1 Thế (1) vào (2) ta được: 6  q  q  43 q q q Suy ra: + 6q + 6q2 = 43q  6q2 – 37q + = q   q   + Với q = u1   6 + Với q   u1   36 6 Vậy u1 = u1 = 36 u  u  120 Bài Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  Tính S7? u  u  60  Lời giải: u  u  120 Ta có:   u  u  60   u1q  u1q  120 u1q (1  q )  120 (1)   2    u1q  u1q  60  u1q (1  q )  60 (2) Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được: q = Thay q = vào (1) ta được: u1 23 (1 + 22) = 120 nên u1 = u1 (1  q ) 3.(1  27 )   381 Khi đó: S7  1 q 12 Vậy S7 = 381  ... được: 6  q  q  43 q q q Suy ra: + 6q + 6q2 = 43q  6q2 – 37q + = q   q   + Với q = u1   6 + Với q   u1   36 6 Vậy u1 = u1 = 36 u  u  120 Bài Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn ... IV Tổng n số hạng đầu cấp số nhân - Định lí: Cho cấp số nhân (un) với công bội q ≠ Đặt Sn = u1 + u2 + ? ?+ un u1 (1  q n ) Khi đó: Sn  1 q - Chú ý: Nếu q = cấp số nhân u1, u1, u1,….u1,….Khi... số hạng tổng quát cấp số nhân cho là: u n  n Bài Giữa số 160 chèn vào số để tạo thành cấp số nhân Tìm bốn số đó? Lời giải: Khi chèn thêm số vào số 160 5, ta cấp số nhân với: u1 = 160 u6 = Vì