BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC A LÝ THUYẾT I HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu 0 0 x x lim f x f x V[.]
BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC A LÝ THUYẾT I HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng K x0 ∈ K Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0 lim f x x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f x x0 f x0 2x x0 = x Giải Hàm số cho xác định \ Do hàm số xác định khoảng 1; lim f x x 2x x lim x 4 chứa x0 = Khi ta có: f Vậy hàm số y = f(x) liên tục x0 = II HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG Định nghĩa Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số y = f(x) gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục khoảng (a; b) lim f x x a f a , lim f x x f b b Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng Hàm số liên tục khoảng (a;b) Hàm số không liên tục khoảng (a; b) III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Định lí Giả sử y = f(x) y = g(x) hai hàm số liên tục điểm x0 Khi đó: a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) y = f(x).g(x) liên tục x0; b) Hàm số f x liên tục x0 g(x0) ≠ g x x2 Ví dụ Cho hàm số y f (x) 2x x tập xác định x x = Giải Tập xác định D - Nếu x = 3, ta có f(3) = 4, lim x x2 2x x lim x x 3 x x lim x x f Do f(x) liên tục x = - Nếu x f x ;3 , 3; x2 2x hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng x Vậy hàm số y = f(x) liên tục Định lí Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < 0, tồn điểm c ∈ (a; b) cho f(c) = Định lí phát biểu theo dạng khác sau: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < 0, phương trình f(x) = có nghiệm nằm khoảng (a, b) Ví dụ Chứng minh phương trình x5 – 3x – = ln có nghiệm Giải Xét hàm f(x) = x5 – 3x – Ta có: f(0) = - 7, f(2) = 19 Do f(0).f(2) = (-7).19 < Vì hàm số f(x) hàm đa thức nên liên tục Do hàm số f(x) liên tục [0;2] Từ suy phương trình f(x) = có nghiệm x Vậy phương trình cho ln có nghiệm B BÀI TẬP Bài Xét tính liên tục hàm số sau: a) f x 2x x = 1; x b) f x x 2 x x Lời giải ; a) Tập xác định D Hàm số f(x) xác định D x limf x x lim 2x x 1 D Ta có: f Vậy hàm số y = f(x) liên tục x0 = 1 x b) f x x 2 x x Tập xác định D - Nếu x = 2, ta có f(2) = 3, 0;2 lim x x x f 2 Do f(x) không liên tục x = - Nếu x f x x x 2 hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng ;2 , 2; Vậy hàm số y = f(x) liên tục không liên tục điểm x = ;2 , 2; Bài Chứng minh phương trình (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – = ln có nghiệm với giá trị tham số m Lời giải Xét hàm số f(x) = (1 – m2)(x + 1)3 + x2 – x – Ta có: f(-1) = (1 – m2)(-1 + 1)3 + (-1)2 – (-1) – = -1 f(-2) = (1 – m2)(-2 + 1)3 + (-2)2 – (-2) – = - + m2 + + – = m2 + f f ( 1).(m 2) y = f(x) hàm số đa thức nên liên tục Do hàm số liên tục đoạn [-2;-1] hay hàm số có nghiệm (-2;-1) Vậy phương trình cho ln có nghiệm Bài Tìm a để hàm số sau liên tục x = 2: a) f x 4x x x a x x4 b) f x 5x x x3 ax x x với giá trị m Lời giải a) Ta có f (2) a limf (x) x Hàm số liên tục điểm x b) Ta có : lim f (x) x lim ax x x Vậy a 2 limf (x) x lim x (4x) f (2) a x4 5x x3 x 4a (x 1)(x 2) lim x x 2x f (2) Hàm số liên tục x lim x lim f (x) 4a x 4x x 2 4x hàm số liên tục x = Vậy với a lim a lim f (x) lim f (x) x x hàm số liên tục x = 2 f (2) .. .Hàm số liên tục khoảng (a;b) Hàm số không liên tục khoảng (a; b) III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Định lí a) Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên. .. (-7).19 < Vì hàm số f(x) hàm đa thức nên liên tục Do hàm số f(x) liên tục [0;2] Từ suy phương trình f(x) = có nghiệm x Vậy phương trình cho ln có nghiệm B BÀI TẬP Bài Xét tính liên tục hàm số sau:... ( 1).(m 2) y = f(x) hàm số đa thức nên liên tục Do hàm số liên tục đoạn [-2;-1] hay hàm số có nghiệm (-2;-1) Vậy phương trình cho ln có nghiệm Bài Tìm a để hàm số sau liên tục x = 2: a) f x 4x