Bài 2 Phương trình mặt phẳng A Lý thuyết I Vecto pháp tuyến của mặt phẳng 1 Định nghĩa Cho mặt phẳng (α) Nếu vecto n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n được gọi là vecto pháp tuyến của (α)[.]
Bài Phương trình mặt phẳng A Lý thuyết I Vecto pháp tuyến mặt phẳng Định nghĩa: Cho mặt phẳng (α) Nếu vecto n có giá vng góc với mặt phẳng (α) n gọi vecto pháp tuyến (α) Chú ý Nếu n vecto pháp tuyến mặt phẳng kn (k 0) vecto pháp tuyến mặt phẳng Tích có hướng hai vectơ - Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a (a1;a ;a ) , b (b1;b2 ;b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b kí hiệu a,b , xác định a a a a1 a1 a a,b ; ; a 2b3 a 3b ;a 3b1 a1b3 ;a1b a 2b1 b2 b3 b3 b1 b1 b2 - Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) C(0; 1; 2) Hãy tìm tọa độ vecto pháp tuyến mặt phẳng (ABC) Lời giải: Ta có: AB ( 3;1; 1); AC ( 2;0; 3) Một vecto pháp tuyến mặt phẳng (ABC) : n AB; AC (3; 7;2) II Phương trình tổng quát mặt phẳng Định nghĩa - Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = A; B; C khơng đồng thời , gọi phương trình tổng quát mặt phẳng - Nhận xét a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = có vecto pháp tuyến n (A;B;C) b) Phương trình mặt phẳng qua điểm M (x0; y0; z0) nhận vectơ n (A;B;C) khác vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = Ví dụ Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = có vecto pháp tuyến n (2; -1; 3) Ví dụ Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1) Lời giải: Ta có: AB(2;0;2); BC (4;0;1) Một vecto pháp tuyến mặt phẳng (ABC) n AB; BC (0; 10;0) Phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) là: 0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = hay y – = Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = a) Nếu D = mặt phẳng (α) qua gốc tọa độ O b) - Nếu A 0,B 0,C mặt phẳng (α) song song chứa trục Ox - Nếu A 0,B 0,C mặt phẳng (α) song song chứa trục Oy - Nếu A 0,B 0,C mặt phẳng (α) song song chứa trục Oz c) - Nếu A = B = 0; C mặt phẳng (α) song song trùng với (Oxy) - Nếu A = C = 0; B mặt phẳng (α) song song trùng với (Oxz) - Nếu B = C = 0; A mặt phẳng (α) song song trùng với (Oyz) - Nhận xét: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : x y z Ở (α) cắt a b c trục tọa độ điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với abc Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1) Phương trình đoạn chắn mp(MNP) là: x y z 1 III Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) (β) có phương trình: (α): A1x + B1y + C1z + D1 = (β): A2x + B2y + C2z + D2 = Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến là: n1 (A ; B1;C1 ); n (A ; B2 ;C2 ) Điều kiện để hai mặt phẳng song song n k.n () / / () D1 kD2 (A ;B ;C ) k(A ; B2 ;C2 ) 1 D1 kD2 n k.n () () D1 kD2 (A ;B ;C ) k(A ; B2 ;C2 ) 1 D1 kD2 - Chú ý: Để (α) cắt (β) n1 k.n (A1;B1;C1 ) k(A ; B2 ;C2 ) Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 1; 2) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – = Lời giải: Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – = nên n (1; 1;2) Mặt phẳng (α) qua A(2;1; 2) nên có phương trình: 1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = hay x – y + 2z – = Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc () () n1 n A1A B1B2 C1C2 Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – = Lời giải: Ta có vecto pháp tuyến mặt phẳng (Q) là: n Q (1; 1;2) Và AB (1;1; 2) Vì n P n Q ; n P AB nên n P n Q ; AB (0;4;2) Phương trình mặt phẳng (P) là: 0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = hay 4y – 2z – = IV Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Định lí: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) tính: d(M ,( )) | Ax By0 Cz D | A B C 2 Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Lời giải: Theo công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta có: d(M; (P)) d(N; (P)) 2.2 2.0 1 (1) 2 2 2.1 2.1 1 22 (1)2 22 Ví dụ Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song cho phương trình: (P): x – 2y +2z + = (Q): x – 2y + 2z – 7= Lời giải: Ta biết khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P) Ta có: d((P);(Q)) d(A;(Q)) 3 2.0 2.0 12 (2)2 22 10 B Bài tập tự luyện Các tập sau xét khơng gian Oxyz Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) biết: a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) nhận n (2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) C (0; 0; - 3) c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) C(0; 2; 1) Lời giải: a) Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) là: 2(x – 0) + 1(y – 1) + 1.(z – 2) = hay 2x + y + z – = b) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) là: x y z 1 2 3 c) Ta có: AB(0; 1; 2);AC( 1;1; 1) Một vecto pháp tuyến mặt phẳng (P) : n AB; AC (3;2; 1) Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) là: 3(x – 1) + 2(y -1) – 1(z – 2) = hay 3x + 2y – z – = Bài Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn: a) Đi qua M(2; 1; 1) song song với mặt phẳng (Q): x – 2y + z – = b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) vng góc với mặt phẳng (Q); 2x + z – = Lời giải: a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên vecto pháp tuyến mặt phẳng (P) là: n P (1; 2;1) Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) là: 1( x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 1) = hay x – 2y + z – = b) Ta có: n Q (2;0;1); AB( 1; 4;1) Vecto pháp tuyến mặt phẳng (P) thỏa mãn: n P n Q ; n P AB n P n Q ;AB (4; 3; 8) Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) là: 4( x – 1) – 3( y -2) – 8(z – 0) = hay 4x – 3y – 8z + = Bài Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mặt phẳng sau: a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z – = 0; b) Mặt phẳng (Q): x + z – = c) Mặt phẳng (H): x – = Lời giải: Áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta được: a) d(M; (P)) b) d(M; (Q)) c) d(M; (H)) 2.(3) 2.2 3.1 1 22 22 (3) 3 1 12 02 12 3 0 2 9 17 ... pháp tuyến mặt phẳng (P) : n AB; AC (3;2; 1) Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) là: 3(x – 1) + 2(y -1) – 1(z – 2) = hay 3x + 2y – z – = Bài Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa... Phương trình tổng quát mặt phẳng (P) là: 4( x – 1) – 3( y -2) – 8(z – 0) = hay 4x – 3y – 8z + = Bài Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mặt phẳng sau: a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z –. .. Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A(2; 1; 2) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – = Lời giải: Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – = nên n (1; 1;2) Mặt phẳng (α)