Lý thuyết khái niệm về mặt tròn xoay (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 1 Khái niệm về mặt tròn xoay A Lý thuyết I Sự tạo thành mặt tròn xoay Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường C Khi quay mặt phẳng (P) quanh ∆ một góc 360 0 thì mỗi điểm[.]

Bài Khái niệm mặt tròn xoay A Lý thuyết I Sự tạo thành mặt trịn xoay Trong khơng gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ đường C Khi quay mặt phẳng (P) quanh ∆ góc 3600 điểm M đường C vạch đường trịn có tâm O thuộc ∆ nằm mặt phẳng vng góc với ∆ Như vậy, quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ∆ đường C tạo thành hình gọi mặt tròn xoay Đường C gọi đường sinh mặt trịn xoay Đường thẳng ∆ gọi trục mặt trịn xoay II Mặt nón trịn xoay Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O tạo thành góc β với 00 < β < 900 Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt trịn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Người thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng ∆ trục, đường thẳng d đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh mặt nón 2 Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay a) Cho tam giác OIM vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình nón Hình trịn tâm I sinh điểm thuộc cạnh IM quay quanh trục OI gọi mặt đáy hình nón, điểm O gọi đỉnh hình nón Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón, khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy Độ dài đoạn OM gọi độ dài đường sinh hình nón Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón b) Khối nón trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Người gọi tắt khối nón trịn xoay khối nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón Những điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón ứng với khối nón gọi điểm khối nón Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng 3 Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay a) Một hình chóp gọi nội tiếp hình nón đáy hình chóp đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình nón đỉnh hình chóp đỉnh hình nón Khi đó, ta cịn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp - Định nghĩa: Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón - Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay nửa tích độ dài đường tròn đáy độ dài đường sinh Sxq  rl (r bán kính đường trịn đáy, l độ dài đường sinh) - Người ta gọi tổng diện tích xung quanh diện tích đáy diện tích tồn phần hình nón - Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh , diện tích tồn phần khối nón giới hạn hình nón - Nếu cắt mặt xung quanh hình nón trịn xoay theo đường sinh trải dài mặt phẳng ta hình quạt có bán kính độ dài đường sinh hình nón cung trịn có độ dài chu vi đường trịn đáy hình nón Ta xem diện tích hình quạt diện tích xung quanh hình nón Ví dụ Một hình nón trịn xoay có đường cao h = 20, bán kính đáy r = 25 a) ính diện tích xung quanh hình nón đ cho b) Tính diện tích tồn phần hình nón đ cho Lời giải: a) a có SA  AO2  SO2  202  252  41 (Pitago tam giác vng O) Diện tích xung quanh hình nón Sxq  .r.l  .OA.SA  .25.5 41  125 41 b) Diện tích tồn phần hình nón: Stp  rl  r  .OA.SA  .OA  .25.5 41  .252  125( 41  5) Thể tích khối nón trịn xoay a) Định nghĩa Thể tích khối nón trịn xoay giới hạn thể tích khối chóp nội tiếp khối nón số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính thể tích khối nón trịn xoay Gọi V thể tích khối nón trịn xoay có diện tích đáy B chiều cao h, ta có công thức: V  B.h Như vậy, bán kính đáy r B  r , V  r h Ví dụ Trong khơng gian, cho tam giác ABC cân A, AB  a 10, BC = 2a Gọi H trung điểm BC ính thể tích V hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH Lời giải: Đường sinh l  AB  a 10 Bán kính đáy r  BC a  đường cao h  l2  r  3a hể tích hình nón tạo thành V  r h  a III Mặt trụ tròn xoay Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ đường thẳng l sinh mặt trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay mặt trụ Đường thẳng ∆ gọi trục, đường thẳng l đường sinh r bán kính mặt trụ Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay a) Xét hình chữ nhật BCD Khi quay hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh – giả sử B; đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay cịn gọi tắt hình trụ - Khi quay quanh AB; hai cạnh AD BC vạch hai hình trịn gọi hai đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Độ dài đoạn CD gọi độ dài đường sinh hình trụ, phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ Khoảng cách AB hai mặt phẳng song song chứa hai đáy gọi chiều cao hình trụ b) Khối trụ trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ Khối trụ trịn xoay cịn gọi tắt khối trụ Những điểm không thuộc khối trụ gọi điểm khối trụ Những điểm thuộc khối trụ khơng thuộc hình trụ gọi điểm khối trụ Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính hình trụ theo thú tự mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính khối trụ tương ứng Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay a) Một hình lăng trụ gọi nội tiếp hình trụ hai đáy hình lăng trụ nội tiếp hai đường trịn đáy hình trụ Khi đó, ta cịn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ - Định nghĩa: Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình lăng trụ nội tiếp hình trụ số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ - Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tích độ dài đường tròn đáy độ dài đường sinh: Sxq  2rl ( r bán kính hình trụ, l độ dài đường sinh hình trụ) - Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ trịn xoay diện tích xung quanh, diện tích tồn phần khối trụ giới hạn hình trụ Nếu cắt mặt xung quanh hình trụ theo đường sinh, trải mặt phẳng ta hình chữ nhật có cạnh đường sinh l cạnh chu vi đường tròn đáy Độ dài đường sinh l chiều cao h hình trụ Khi đó, diện tích hình chữ nhật diện tích xung quanh hình trụ Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh Gọi M; N trung điểm AB CD Quay hình vng ABCD xung quanh MN ính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành Lời giải Quay hình vng ABCD xung quanh MN ta hình trụ hình vẽ AB  4;h  AD  Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành Khi đó, bán kính hình trụ r  Sxq  2rh  64 Thể tích khối trụ trịn xoay a) Định nghĩa Thể tích khối trụ trịn xoay giới hạn thể tích khối lăng trụ nội tiếp khối trụ số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính thể tích khối trụ trịn xoay Gọi V thể tích khối trụ trịn xoay có diện tích đáy B chiều cao h, ta có cơng thức: V = B.h Như vậy, bán kính đáy r B  r , V  r 2h - Ví dụ Khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh a = tích là? Lời giải: hiết diện qua trục khối trụ hình vng ABCD hình vẽ Hình vng cạnh a = nên AB = 2r = uy ra, bán kính hình trụ r = Chiều cao hình trụ h = D = hể tích hình trụ V  r 2h  2 B Bài tập tự luyện Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy, SC  a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay ính thể tích khối nón trịn xoay Lời giải: Ta có: AC  AB2  BC2  a  SA  SC2  AC2  6a  2a  2a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón có chiều cao đáy C, C đường sinh tích , bán kính 1 4a 2 V  R h  AC SA  .2a 2a  3 3 Bài Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 a) Tính diện tích xung quanh hình nón b) Tính thể tích khối nón Lời giải: a) Gọi A điểm thuộc đường tròn đáy hình nón Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a góc đường sinh mặt phẳng đáy SAO  600 Trong tam giác vng SAO, ta có: OA  SAcos600  a ; SO  SA.sin 600  a a  2 Khi hình nón có - Đường sinh l = SA = a a a - Bán kính đáy r = O = Diện tích xung quanh hình nón là: - Chiều cao h = SO = Sxq  rl   a a  a (đvdt) b) Thể tích khối nón trịn xoay: 1  a  a a V  r 2h     (đvtt)  3   12 Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; góc BDC  300 Quay hình chữ nhật xung quanh cạnh AD Tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành? Lời giải Khi quay hình chữ nhật xung quanh cạnh D ta hình trụ hình vẽ Ta có: r = AB = a; h = BC = CD.tan300 Suy h  a Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành 2a Sxq  2rh  Bài Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Mặt phẳng (P) song song với trục cách trục khoảng a ính diện tích thiết diện trụ cắt (P) Lời giải: Hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a, OO’ = 2a Mặt phẳng (P) song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật có kích thước 2a a Kích thước cịn lại r  d  a     a , 2 2 r = a bán kính đáy d  a khoảng cách từ trục đến mặt phẳng (P) Diện tích thiết diện S  2a.a  2a Bài Một hình thang vng ABCD có đường cao AD  , đáy nhỏ AB =  , đáy lớn CD   Cho hình thang quay quanh CD, ta khối trịn xoay tích bao nhiêu? Lời giải: B kẻ BE vng góc với CD E Khi quay hình thang quanh CD ta khối trịn xoay gồm phần: V1 khối trụ có bán kính đáy AD  chiều cao AB =  nên : V1  .2   4 khối trụ V2 khối nón có đáy BE   đường cao EC   nên : 1 V2  .2   4 3 Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính V  V1  V2  4 ... III Mặt trụ tròn xoay Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn. .. gọi mặt trụ tròn xoay Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay mặt trụ Đường thẳng ∆ gọi trục, đường thẳng l đường sinh r bán kính mặt trụ Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay a) Xét hình chữ... hình trụ, phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ Khoảng cách AB hai mặt phẳng song song chứa hai đáy gọi chiều cao hình trụ b) Khối trụ trịn xoay phần khơng