Lý thuyết hàm số mũ hàm số logarit (năm 2022 + bài tập)– toán 12

Bài 4 Hàm số mũ Hàm số logarit A Lý thuyết I Hàm số mũ 1 Định nghĩa Cho số thực dương a khác 1 Hàm số y = a x được gọi là hàm số mũ cơ số a Ví dụ 1 Các hàm số y = 2 x ;   x x1 y ; y 3 2      [.]

Bài Hàm số mũ Hàm số logarit A Lý thuyết I Hàm số mũ Định nghĩa Cho số thực dương a khác Hàm số y = ax gọi hàm số mũ số a x 1 Ví dụ Các hàm số y = ; y    ; y  2 x   x hàm số mũ Đạo hàm hàm số mũ et  1 t 0 t Ta thừa nhận công thức: lim – Định lí 1: Hàm số y = ex có đạo hàm x (ex)’ = ex – Chú ý: Công thức đạo hàm hàm hợp hàm số eu ( với u = u(x)) (eu)’ = u’ eu – Định lí 2: Hàm số y = ax ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x và: (ax)’ = ax ln a – Chú ý: Đối với hàm hợp y = au(x) ta có: (au)’ = au lnu u’ Ví dụ Hàm số y  2 x y'  2 x 2  2x 10  2x 10 có đạo hàm là: (x  2x  10)'.ln  2 x  2x 10 (2x 2)ln Khảo sát hàm số mũ y = ax ( a > a ≠ 1) y = ax ; a > y = ax ; < a < 1 Tập xác định: Tập xác định: Sự biến thiên Sự biến thiên y’ = ax.ln a > với x y’ = ax.ln a < với x Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim a x  0; lim a x   lim a x  ; lim a x  x  x  x  x  Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Bảng biến thiên: Bảng biến thiên: Đồ thị Đồ thị Bảng tóm tắt tính chất hàm số mũ y = ax ( a > 0; a ≠ 1) Tập xác định  ;    Đạo hàm y’ = ax lna Chiều biến thiên a > 1: Hàm số đồng biến < a < 1: Hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Ox tiệm cận ngang Đồ thị Đi qua điểm (0; 1) (1; a), nằm phía trục hồnh (y = ax > x  ) II Hàm số logarit Định nghĩa Cho số thực dương a khác Hàm số y = logax gọi hàm số logarit số a Ví dụ Các hàm số y = log5 x; y  log x; y  log x ; y = ln x hàm số logarit với số 5; ; e Đạo hàm hàm số logarit – Định lí Hàm số y = loga x (a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm x > (log a x)'  x ln a – Đặc biệt: (ln x)'  x – Chú ý: Đối với hàm hợp y = logau(x); ta có: (log a u)'  u' u ln a – Ví dụ Hàm số y = log4 (x2 + 2x – 7) có đạo hàm là: (x  2x  7)' 2x  (log (x  2x  7))'   (x  2x  7)ln (x  2x  7)ln Khảo sát hàm số logarit y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) y = loga x ; a > y = logax ; < a < 1 Tập xác định: (0; ) Tập xác định: (0; ) Sự biến thiên Sự biến thiên y'   0; x  x ln a y'  Giới hạn đặc biệt:  0; x  x ln a Giới hạn đặc biệt: lim log a x  ; lim log a x   ; x 0  x 0  lim log a x    lim log a x   x   x   Tiệm cận: Trục Oy tiệm cận đứng Tiệm cận: Trục Oy tiệm cận đứng Bảng biến thiên Bảng biến thiên Đồ thị Đồ thị Bảng tóm tắt tính chất hàm số y = logax (a > 0; a ≠ ) Tập xác định Đạo hàm Chiều biến thiên  0;   y'  x ln a a > 1: hàm số đồng biến < a< 1: hàm số nghịch biến Tiệm cận Trục Oy tiệm cận đứng Đồ thị Đi qua điểm (1; 0) (a; 1); nằm phía bên phải trục tung Nhận xét: Đồ thị hàm số y = ax y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với qua đường thẳng y = x Bảng đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ, logarit Hàm sơ cấp  x  ' x  1   1    x x '  x  '  1x Hàm hợp  u  ' u  1 u '   u '    u u u' u ' u '   ( ex)’ = ex ( eu)’ = eu u’ ( ax)’ = ax ln a ( au)’ = au ln a u’  ln x  '  1x  ln u  '  uu'  log x  '  x ln1 a  log u  '  u uln' a a a B Bài tập tự luyện Bài Tính đạo hàm hàm số a) y = x.ex + 2x b) y = 2x sinx + 4x + c) y  5(x  2x 3) x Lời giải: a) y’ = x’.ex + x (ex)’ + 2x.ln2 y’ = ex + xex + 2x.ln2 b) y’ = (2x)’ sinx + 2x (sinx)’ + 4x+ 2.ln4 (x + 2)’ = 2x ln2.sinx + 2x.cosx + 4x + 2.ln4 c) y'  5(x  5(x 2  2x 3) ln 5.(x  2x  3)'.x  5(x  2x 3) ln 5.(2x 2).x  2x.5(x 2  2x 3) (x )'  2x 3) Bài Tìm điều kiện xác định hàm số sau: a) y = log4 (x2 – 4); b) y = log3 (2x – x2); c) y  log x2  x Lời giải: x2 a) Điều kiện: x2 – >    x  2 b) Điều kiện: 2x – x2 > hay < x < x 1 c) Điều kiện: x2 – x >   x   Bài Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  log x ; x 1 b) y  log7 x  8x ; c) y  x log (x  4) Lời giải: a) y'  b) x 1 3  x 2   '  x 2 ln2  x   (x  2)ln (x  1) x 1 x     8x ln y'  x  8x ' (x  8x)' x  8x ln x  8x x4  (2x  8)  2 2(x  8x).ln (x  8x).ln 2 c) y'  2x log (x  4)  x  2x log (x  4)  (x  4)' (x  4).ln 2 2x (x  4).ln ... Hàm số logarit Định nghĩa Cho số thực dương a khác Hàm số y = logax gọi hàm số logarit số a Ví dụ Các hàm số y = log5 x; y  log x; y  log x ; y = ln x hàm số logarit với số 5; ; e Đạo hàm hàm... B Bài tập tự luyện Bài Tính đạo hàm hàm số a) y = x.ex + 2x b) y = 2x sinx + 4x + c) y  5(x  2x 3) x Lời giải: a) y’ = x’.ex + x (ex)’ + 2x.ln2 y’ = ex + xex + 2x.ln2 b) y’ = (2x)’ sinx +. .. Đồ thị hàm số y = ax y = loga x ( a > 0; a ≠ 1) đối xứng với qua đường thẳng y = x Bảng đạo hàm hàm số lũy thừa, mũ, logarit Hàm sơ cấp  x  '' x  1   1    x x ''  x  ''  1x Hàm hợp