Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1 Nguyên hàm A Lý thuyết I Nguyên hàm và tính chất 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của ) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x[.]
Bài Nguyên hàm A Lý thuyết I Nguyên hàm tính chất Nguyên hàm - Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng ) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x K Ví dụ - Hàm số F(x) = sinx + nguyên hàm hàm số f(x) = cosx khoảng ; F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với x ; x 2 5 nguyên hàm hàm số f (x) x 3 (x 3) khoảng (; 3) (3; ) - Hàm số F(x) 5 x f (x) với x (; 3) (3; ) Vì F'(x) x (x 3) - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, với C số Do F(x) C; C họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu: f (x)dx F(x) C - Chú ý: Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x), dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx Ví dụ x a) Với x ; ta có: x 3dx C; 4 b) Với x ; ta có: ex dx e x C ; c) Với x 0; ta có: 2 x dx x C Tính chất nguyên hàm - Tính chất f '(x)dx f (x) C Ví dụ (4 )'dx ln 4.dx x x x C - Tính chất kf (x)dx k. f (x)dx (k số khác 0) - Tính chất f (x) g(x)dx f (x) dx g(x) dx Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số f (x) 3x 2sin x khoảng ; Lời giải: Với x ; ta có: (3x 2sin x)dx 3x 2dx sin xdx x 2.(cosx) + C = x 2cosx + C Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có ngun hàm K Ví dụ a) Hàm số y x có nguyên hàm khoảng 0; 2 23 xdx x dx x C x x C 3 b) Hàm số y = có nguyên hàm khoảng ; 0; x x dx ln x C Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp 0dx C ax a dx ln a C (a 0;a 1) dx x C cosx dx = x x dx α 1 x α α 1 C (α 1) sin x + C sin xdx cosx + C 1 x dx ln x C cos x dx tan x C e dx e sin x dx cot x C x x C Ví dụ Tính: a) 3x x dx b) (5ex 4x )dx Lời giải: a) 3x x dx 3x dx xdx 3 x dx x dx x 43 3x 3x x x C C 5 b) (5ex 4x )dx (5ex 16.4x )dx 5 e x dx 16. x dx 4x 5.e 16 C ln x - Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định II Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp đổi biến số - Định lí Nếu f (u)du F(u) C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục thì: f (u(x)).u '(x)dx F(u(x)) C Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có: f (ax b)dx a F(ax b) C Ví dụ Tính (3x 2)3 dx Lời giải: u4 Ta có: u du C nên theo hệ ta có: (3x 2)4 (3x 2) dx C Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến u (u = u(x)) sau tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) Ví dụ Tính sin x.cos2 xdx Lời giải: Đặt u = cosx Suy ra: du = – sinx dx Khi đó, nguyên hàm cho trở thành: u3 u (du) u du C 2 Thay u = cosx vào kết ta được: cos3 x sin x.cos xdx C 2 Phương pháp tính nguyên hàm phần - Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K thì: u(x).v'(x).dx u(x).v(x) u '(x).v(x)dx - Chú ý Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv Nên đẳng thức viết dạng: udv uv vdu Đó cơng thức ngun hàm phần Ví dụ Tính a) x ln xdx ; b) x sin xdx ; c) (5 x).ex dx Lời giải: a) x ln xdx du dx u ln x x Đặt dv xdx v x Ta có: x2 x2 x ln xdx ln x x dx x2 x2 x2 ln x xdx ln x C 2 2 x2 x2 ln x C b) x sin xdx ; ux du dx Đặt dv sin xdx v cosx Khi đó: x sin xdx x.cosx + cos x dx x.cosx + sin x + C c) (5 x).e x dx u 5 x du dx x x dv e dx v e Đặt Khi đó: (5 x).e dx (5 x).e e dx x x x (5 x).ex ex dx (5 x).ex ex C B Bài tập tự luyện Bài Trong cặp hàm số sau, hàm số nguyên hàm hàm số lại x4 10 ; a) x b) x 10 ; x c) e–2x + – 2e–2x Lời giải: x4 x a) Ta có: 10 10 x x4 Do đó, F(x) = 10 nguyên hàm hàm số f(x) = x3 b) Ta có: x 10 x 10 2 1x x Do đó, F(x) = x 10 nguyên hàm hàm số f(x) = x c) Ta có: (e–2x + 2)’ = – 2e–2x nên F(x) = e–2x + nguyên hàm hàm số f(x) = – 2e–2x Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: x 1 ; x a) f (x) b) f (x) 2x e x ; c) f(x) = sinx + cosx; d) f (x) x 1 Lời giải: a) Ta có: x 1 x dx dx x x x dx x dx x dx 32 x 2x C x x x C 3 b) 2x e dx 2xdx e e dx x 2 x x e2 e x C c) f(x) = sinx + cosx (sin x cosx ) dx sin xdx cosx dx cos x sin x C d) x 1 dx dx 1 (x 1).(x 1) x 1 (x 1) x 1 x 1 dx dx dx 2(x 1).(x 1) 2(x 1)(x 1) 2(x 1)(x 1) 1 dx dx 2(x 1) 2(x 1) 1 x 1 ln x ln x 1 C ln C 2 x 1 Bài Sử dụng phương pháp đổi biến, tính: a) (2x 3).(x 3x)7 dx ; b) (3x 2x)sin(x x 1)dx ; c) 4x.e2x 1dx Lời giải: a) (2x 3).(x 3x)7 dx ; Đặt t = x2 + 3x Suy ra: dt = (2x + 3)dx t8 Khi đó, nguyên hàm cho trở thành: t dt C Thay t = x2 + 3x vào kết ta được: (x 3x)8 (2x 3).(x 3x) dx C b) (3x 2x)sin(x x 1)dx Đặt t = x3 – x2 + Suy ra: dt = (3x2 – 2x)dx Khi đó, nguyên hàm cho trở thành: sin tdt cost C Thay t = x3 – x2 + vào kết ta được: (3x 2x)sin(x x 1)dx cos(x x 1) C c) e dx e.e dx e (2e) dx (*) x 2x 1 2x 2x Đặt t = 2x dt = 2dx Nguyên hàm trở thành: 2x dt e (2e) t e (2e) C 2 ln(2e) t Thay t = 2x vào kết ta được: e x e (2e)2x dx C ln(2e) 2x Bài Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính: a) (x 2).sin xdx ; b) (x 1).ln xdx Lời giải: a) (x 2).sin xdx u x 2 du dx Đặt dv sin xdx v cos x Khi đó: (x 2).sin xdx (x 2).cos x cos xdx (x 2).cosx + sin x + C b) (x 1).ln xdx du dx u ln x x Đặt dv (x 1)dx v x x x2 x2 (x 1).ln xdx x ln x x dx x x2 x x ln x 1 dx 2 x2 x2 x ln x x C ... 10 nguyên hàm hàm số f(x) = x3 b) Ta có: x 10 x 10 2 1x x Do đó, F(x) = x 10 nguyên hàm hàm số f(x) = x c) Ta có: (e–2x + 2)’ = – 2e–2x nên F(x) = e–2x + nguyên hàm hàm... x).ex ex dx (5 x).ex ex C B Bài tập tự luyện Bài Trong cặp hàm số sau, hàm số nguyên hàm hàm số lại x4 10 ; a) x b) x 10 ; x c) e–2x + – 2e–2x Lời giải: x4 x a) Ta có:... yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định II Phương pháp tính nguyên hàm Phương pháp đổi biến số - Định lí Nếu f (u)du F(u) C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục