BÀI 1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT I Đạo hàm tại một điểm 1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b) Nếu tồn tại giới hạn (hữ[.]
BÀI ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A LÝ THUYẾT I Đạo hàm điểm Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x thuộc (a; b) Nếu tồn giới hạn f x f x0 (hữu hạn) : lim giới hạn gọi đạo hàm hàm số y= f(x) x x0 x x0 điểm x0 kí hiệu f'(x0) Vậy f ' x f x x0 x lim x f x0 x0 * Chú ý: Đại lượng ∆x = x- x0 gọi số gia đối số x0 Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) – f(x0) gọi số gia tương ứng hàm số y lim Như vậy: y ' x x x Quy tắc tính đạo hàm định nghĩa: Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa, ta có quy tắc sau đây: + Bước 1: Giả sử ∆x số gia đối số x0 tính: ∆y= f(x0 + ∆x) – f( x0) + Bước 2: Lập tỉ số y x + Bước 3: Tìm lim y x x Ví dụ Cho hàm số y 2x , có x số gia đối số x = Khi Lời giải Tập xác định hàm số cho là: D ; Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có: y x y f Khi đó: lim x x y x x 2 y x 2.2 x 1 x 1 1 lim x x x lim 1 x 1 lim x x x 1 x x x x lim x f 0 x 2 x 1 x 1 Vậy f’(2) = Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Định lý Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm x0 liên tục điểm Chú ý: + Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn x0 hàm số khơng có đạo hàm điểm + Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm Ví dụ Chẳng hạn hàm số y x x liên tục x = khơng có x x đạo hàm Ta nhận xét đồ thị hàm số đường liền, bị gãy điểm O(0;0) hình vẽ sau: Ý nghĩa đạo hàm f (x) a) Ý nghĩa hình học đạo hàm: +) Định lí: Đạo hàm hàm số y= f(x) điểm x = x0 hệ số góc tiếp tuyến M0T đồ thị hàm số y= f( x) điểm M0(x0; f(x0)) +) Định lí: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0(x0; f(x0)) là: y – y0= f’(x0) ( x- x0) y0= f(x0) Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y = x3 – 3x2 + điểm có hồnh độ x = Lời giải Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = Do hệ số góc tiếp tuyến Ta có: y(3) = Vậy phương trình tiếp tuyến đường cong điểm có hồnh độ x = là: y = 9(x – 3) + = 9x – 27 + = 9x – 25 b) Ý nghĩa vật lý đạo hàm: +) Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định phương trình: s= s(t); với s= s(t) hàm số có đạo hàm Vận tốc tức thời thời điểm t0 đạo hàm hàm số s= s(t) t 0: v(t0) = s’(t0) +) Cường độ tức thời: Nếu điện lượng Q truyền dây dẫn hàm số thời gian: Q= Q(t) ( hàm số có đạo hàm) cường độ tức thời dòng điện thời điểm t0 đạo hàm hàm số Q= Q(t) t0: I(t0) = Q’(t0) Ví dụ Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t + 6t+ 10 t đơn vị giây; s quãng đường đơn vị m Tính vận tốc tức thời xe thời điểm t= Lời giải Phương trình vận tốc xe v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s) ⇒ Vận tốc tức thời xe thời điểm t= là: V(3)= 2.3+ = 12 (m/s) Chọn A II Đạo hàm khoảng Hàm số y = f(x) gọi có đạo hàm khoảng (a; b) có đạo hàm điểm x khoảng Khi ta gọi hàm số f’: a;b x f' x đạo hàm hàm số y = f(x) khoảng (a;b), kí hiệu y’ hay f’(x) Ví dụ Hàm số y = x2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – khoảng có đạo hàm y ' x Hàm số y khoảng x2 ;0 0; B BÀI TẬP Bài Cho hàm số: y x2 x (C) x f (x) a) Hãy tính đạo hàm định nghĩa hàm số cho x = b) Viết phương trình tiếp tuyến hàm số (C) điểm A(1;-2) Lời giải a) Tập xác định hàm số cho là: D \ Giả sử ∆x số gia đối số x0 = Ta có: y f x x 2 x f 1 x 1 x x x x x x x 12 1 ; x x x x 2 x x x Khi đó: lim x x x y x y x lim x x x x x x x x x x x x Vậy f’(1) = - b) Bằng định nghĩa ta tính được: y’(1) = -5 Do hệ số góc tiếp tuyến -5 Ta có: y(1) = - Vậy phương trình tiếp tuyến đường cong điểm A(1;-2) là: y = -5(x – 1) - = -5x + - = -5x + x x Bài Chứng minh hàm số f (x) x x khơng có đạo hàm x = 0 liên tục điểm Lời giải Ta có f(0) = Trước hết, ta tính giới hạn bên phải tỉ số f x lim x x f 0 x lim x x Giới hạn bên trái tỉ số f x x lim x f x x x x x f , ta có: f Ta có: lim x x 2 (với x 0) f x lim x x f 0 x lim x x lim x x x x lim x x f x x Vì giới hạn hai bên khác nên không tồn lim x 2 f Điều chứng tỏ hàm số đạo hàm điểm x = Ta có: lim f (x) x lim x x lim x x x limf (x) x lim x x lim f (x) 2 Do hàm số liên tục x = Vậy hàm số liên tục x = khơng có đạo hàm x = Bài Cho biết điện lượng truyền dây dẫn theo thời gian biểu thị hàm số Q(t) = 2t2 + t, t tính giây (s) Q tính theo Culong (C) Tính cường độ dịng điện thời điểm t = 4s Lời giải Cường độ dòng điện t = là: I(4) = Q’(4) Đạo hàm hàm Q(t) t = 17 Vậy cường độ dòng điện t = 17 A Bài Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: a) y 2x , biết hệ số góc tiếp tuyến ; b) y = x3 + 2x điểm có hồnh độ Lời giải f x x0 x a) lim x f x0 x0 lim x x0 2x x 2x x0 lim x x0 x x0 x x0 2x 2x lim x 2x x0 2x 2x 1 2x 2x 2x 1 x0 y(4) 2.4 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho là: x y f x b) lim x x lim x x x 3 f 2 lim x x2 x 2x 3 x x3 2x x 23 2.2 lim lim x x x 2x x3 2x 12 x 14 Ta có y(2) = 12 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho là: y = 14(x – 2) + 12 = 14x – 28 + 12 = 14x – 16 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho y = 14x – 16 ... f’(2) = Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Định lý Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm x0 liên tục điểm Chú ý: + Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn x0 hàm số khơng có đạo hàm điểm + Một hàm số liên tục... – 27 + = 9x – 25 b) Ý nghĩa vật lý đạo hàm: +) Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định phương trình: s= s(t); với s= s(t) hàm số có đạo hàm Vận tốc tức thời thời điểm t0 đạo hàm hàm số... hay f’(x) Ví dụ Hàm số y = x2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – khoảng có đạo hàm y '' x Hàm số y khoảng x2 ;0 0; B BÀI TẬP Bài Cho hàm số: y x2 x (C) x f (x) a) Hãy tính đạo hàm định nghĩa hàm số cho x