Ôn tập chương A Lý thuyết 1 Sự tạo thành mặt tròn xoay Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường C Khi quay mặt phẳng (P) quanh ∆ một góc 360 0 thì mỗi điểm M trên đường C vạc[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Sự tạo thành mặt trịn xoay Trong khơng gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ đường C Khi quay mặt phẳng (P) quanh ∆ góc 3600 điểm M đường C vạch đường tròn có tâm O thuộc ∆ nằm mặt phẳng vng góc với ∆ Như vậy, quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ∆ đường C tạo thành hình gọi mặt trịn xoay Đường C gọi đường sinh mặt tròn xoay Đường thẳng ∆ gọi trục mặt trịn xoay Mặt nón trịn xoay 2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O tạo thành góc β với 00 < β < 900 Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Người thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng ∆ trục, đường thẳng d đường sinh góc 2β gọi góc đỉnh mặt nón 2.2 Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay a) Cho tam giác OIM vuông I Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình nón Hình tròn tâm I sinh điểm thuộc cạnh IM quay quanh trục OI gọi mặt đáy hình nón, điểm O gọi đỉnh hình nón Độ dài đoạn OI gọi chiều cao hình nón, khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy Độ dài đoạn OM gọi độ dài đường sinh hình nón Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón b) Khối nón trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Người gọi tắt khối nón trịn xoay khối nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón Những điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón ứng với khối nón gọi điểm khối nón Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng 2.3 Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay a) Một hình chóp gọi nội tiếp hình nón đáy hình chóp đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình nón đỉnh hình chóp đỉnh hình nón Khi đó, ta cịn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp - Định nghĩa: Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón - Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay nửa tích độ dài đường trịn đáy độ dài đường sinh Sxq rl (r bán kính đường trịn đáy, l độ dài đường sinh) - Người ta gọi tổng diện tích xung quanh diện tích đáy diện tích tồn phần hình nón - Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình nón trịn xoay diện tích xung quanh , diện tích tồn phần khối nón giới hạn hình nón - Nếu cắt mặt xung quanh hình nón trịn xoay theo đường sinh trải dài mặt phẳng ta hình quạt có bán kính độ dài đường sinh hình nón cung trịn có độ dài chu vi đường trịn đáy hình nón Ta xem diện tích hình quạt diện tích xung quanh hình nón Ví dụ Một hình nón trịn xoay có đường cao h = 20, bán kính đáy r = 25 a) Tính diện tích xung quanh hình nón đ cho b) Tính diện tích tồn phần hình nón đ cho Lời giải: a) Ta có: SA AO2 SO2 202 252 41 (Pitago tam giác vng S O) Diện tích xung quanh hình nón: Sxq .r.l .OA.SA .25.5 41 125 41 b) Diện tích tồn phần hình nón: Stp rl r .OA.SA .OA .25.5 41 .252 125( 41 5) 2.4 Thể tích khối nón trịn xoay a) Định nghĩa Thể tích khối nón trịn xoay giới hạn thể tích khối chóp nội tiếp khối nón số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính thể tích khối nón trịn xoay Gọi V thể tích khối nón trịn xoay có diện tích đáy B chiều cao h, ta có cơng thức: V B.h Như vậy, bán kính đáy r B r , đó: V r h Ví dụ Trong khơng gian, cho tam giác ABC cân A, AB a 10, BC = 2a Gọi H trung điểm BC Tính thể tích V hình nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AH Lời giải: Đường sinh l AB a 10 Bán kính đáy r BC a đường cao h l2 r 3a Thể tích hình nón tạo thành V r h a 3 Mặt trụ tròn xoay 3.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay mặt trụ Đường thẳng ∆ gọi trục, đường thẳng l đường sinh r bán kính mặt trụ 3.2 Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay a) Xét hình chữ nhật BCD Khi quay hình xung quanh đường thẳng chứa cạnh – giả sử B; đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay cịn gọi tắt hình trụ - Khi quay quanh AB; hai cạnh AD BC vạch hai hình trịn gọi hai đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Độ dài đoạn CD gọi độ dài đường sinh hình trụ, phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ Khoảng cách AB hai mặt phẳng song song chứa hai đáy gọi chiều cao hình trụ b) Khối trụ trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ Khối trụ trịn xoay cịn gọi tắt khối trụ Những điểm khơng thuộc khối trụ gọi điểm khối trụ Những điểm thuộc khối trụ không thuộc hình trụ gọi điểm khối trụ Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính hình trụ theo thú tự mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính khối trụ tương ứng 3.3 Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay a) Một hình lăng trụ gọi nội tiếp hình trụ hai đáy hình lăng trụ nội tiếp hai đường trịn đáy hình trụ Khi đó, ta cịn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ - Định nghĩa: Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay giới hạn diện tích xung quanh hình lăng trụ nội tiếp hình trụ số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ - Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tích độ dài đường trịn đáy độ dài đường sinh: Sxq 2rl ( r bán kính hình trụ, l độ dài đường sinh hình trụ) - Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ trịn xoay diện tích xung quanh, diện tích tồn phần khối trụ giới hạn hình trụ Nếu cắt mặt xung quanh hình trụ theo đường sinh, trải mặt phẳng ta hình chữ nhật có cạnh đường sinh l cạnh chu vi đường tròn đáy Độ dài đường sinh l chiều cao h hình trụ Khi đó, diện tích hình chữ nhật diện tích xung quanh hình trụ Ví dụ Cho hình vng BCD cạnh Gọi M; N trung điểm B CD Quay hình vng ABCD xung quanh MN Tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành Lời giải Quay hình vng BCD xung quanh MN ta hình trụ hình vẽ AB 4;h AD Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành: Khi đó, bán kính hình trụ: r Sxq 2rh 64 3.4 Thể tích khối trụ trịn xoay a) Định nghĩa Thể tích khối trụ trịn xoay giới hạn thể tích khối lăng trụ nội tiếp khối trụ số cạnh đáy tăng lên vơ hạn b) Cơng thức tính thể tích khối trụ trịn xoay Gọi V thể tích khối trụ trịn xoay có diện tích đáy B chiều cao h, ta có cơng thức: V = B.h Như vậy, bán kính đáy r B r , đó: V r 2h - Ví dụ Khối trụ có thiết diện qua trục hình vng cạnh a = tích là? Lời giải Thiết diện qua trục khối trụ hình vng BCD hình vẽ Hình vuông cạnh a = nên B = 2r = Suy ra, bán kính hình trụ r = Chiều cao hình trụ h = D = Thể tích hình trụ: V r 2h 2 Mặt cầu khái niệm liên quan đến mặt cầu 4.1 Mặt cầu - Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r (r > 0) gọi mặt cầu tâm O, bán kính r Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r S(O; r) hay viết tắt (S) Như ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r} - Nếu hai điểm C; D nằm mặt cầu S(O; r) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu - Dây cung B qua tâm O gọi đường kính mặt cầu Khi đó, độ dài đường kính 2r - Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu Ví dụ Cho tứ diện BCD có O trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện Tìm tập hợp điểm M không gian thỏa m n hệ thức MA MB MC MD a (với a > không đổi) Lời giải: Gọi E; F trung điểm cạnh AB CD Suy O trung điểm EF Ta có: MA MB MC MD 2ME 2MF 4MO MA MB MC MD MO a a MO MO Vậy tập hợp điểm M cần tìm khơng gian mặt cầu tâm O bán kính a r 4.2 Điểm nằm nằm mặt cầu Khối cầu Cho mặt cầu tâm O bán kính r A điểm khơng gian - Nếu O = r ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; r) - Nếu O < r ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; r) - Nếu O > r ta nói điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O; r) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O, bán kính r 4.3 Biểu diễn mặt cầu - Ta thường dùng phép chiếu vng góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu Khi đó, hình biểu diễn mặt cầu hình trịn - Muốn cho hình biểu diễn mặt cầu trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn số đường tròn nằm mặt cầu 4.4 Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu Ta xem mặt cầu mặt tròn xoay tạo nên nửa đường trịn quay quanh trục chứa đường kính nửa đường trịn Khi đó, giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu gọi kinh tuyến mặt cầu, giao tuyến (nếu có) mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục gọi vĩ tuyến mặt cầu Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi hai cực mặt cầu 5 Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) Khi h = OH khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) Ta có ba trường hợp sau: 5.1 Trường hợp h > r Nếu M điểm mặt phẳng (P) OM ≥ OH Từ suy OM > r Vậy điểm M thuộc mặt phẳng (P) nằm mặt cầu Do đó, mặt phẳng (P) khơng có điểm chung với mặt cầu 5.2 Trường hợp h = r - Trong trường hợp điểm H thuộc mặt cầu S (O; r) Khi đí, với điểm M thuộc mp(P) khác với H ta ln có: OM > OH = r nên OM > r Như vậy, H điểm chung mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Khi ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H - Điểm H gọi tiếp điểm mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P), mp(P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu Vậy ta có: - Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) điểm H (P) vng góc với bán kính OH điểm H 5.3 Trường hợp h < r - Trong trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H; bán kính r ' r2 h2 - Đặc biệt h = tâm O mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu S(O; r) đường trịn tâm O bán kính r Đường tròn gọi đường tròn lớn Mặt phẳng qua tâm O mặt cầu gọi mặt phẳng kính mặt cầu Giao mặt cầu với đường thẳng.Tiếp tuyến mặt cầu Cho mặt cầu S(O; r) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu vng góc tâm O ∆ d = OH khoảng cách từ O đến ∆ (1) Nếu d > r ∆ khơng cắt mặt cầu S(O; r), với điểm M thuộc ∆ ta có OM > r điểm M thuộc ∆ nằm mặt cầu (2) Nếu d = r điểm H thuộc mặt cầu S(O; r) Khi đó, với điểm M thuộc ∆ khác H ta ln có: OM > OH = r nên OM > r - Như H điểm chung mặt cầu S(O; r) đường thẳng ∆ Khi đó, ta nói đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H Điểm H gọi tiếp điểm ∆ mặt cầu Đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu - Vậy: Điều kiện cần đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) điểm H ∆ vng góc với bán kính OH điểm H (3) Nếu d < r đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S(O; r) hai điểm M; N phân biệt Hai điểm giao điểm đường thẳng ∆ với đường tròn giao tuyến mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (O; ∆) - Đặc biệt, d = đường thẳng ∆ qua tâm O căt mặt cầu hai điểm ; B Khi đó, B đường kính mặt cầu - Nhận xét: a) Qua điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) có vơ số tiếp tuyến mặt cầu Tất tiếp tuyến vng góc với bán kính OA mặt cầu A nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm A b) Qua điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đ cho Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh Khi độ dài đoạn thẳng kẻ từ đến tiếp điểm - Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, cịn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu - Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S 4r - Khối cầu bán kính r tích là: V r - Chú ý: a) Diện tích S mặt cầu bán kính r bốn lần diện tích hình trịn lớn mặt cầu b) Thể tích V khối cầu bán kính r thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu có chiều cao bán kính khối cầu - Ví dụ Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính Khi thể tích khối trịn xoay sinh bao nhiêu? Lời giải: Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính ta khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a 4 32 Thể tích khối cầu là: V R 2a a 3 B Bài tập tự luyện Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA vng góc với đáy, SC a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay Tính thể tích khối nón trịn xoay Lời giải: Ta có: AC AB2 BC2 a SA SC2 AC2 6a 2a 2a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón có chiều cao S , bán kính đáy C, SC đường sinh tích là: 1 4a 2 V R h AC SA .2a 2a 3 3 Bài Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S, O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 a) Tính diện tích xung quanh hình nón b) Tính thể tích khối nón Lời giải: a) Gọi A điểm thuộc đường trịn đáy hình nón Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a góc đường sinh mặt phẳng đáy SAO 600 Trong tam giác vng SAO, ta có: OA SAcos600 a ; a 2 SO SA.sin 600 a Khi hình nón có: - Đường sinh l = SA = a a a - Bán kính đáy r = O = Diện tích xung quanh hình nón là: - Chiều cao h = SO = Sxq rl a a a (đvdt) b) Thể tích khối nón trịn xoay: 2 a a a V r h (đvtt) 3 12 Bài Cho hình chữ nhật BCD có B = a; góc BDC 300 Quay hình chữ nhật xung quanh cạnh D Tính diện tích xung quanh hình trụ tạo thành? Lời giải Khi quay hình chữ nhật xung quanh cạnh D ta hình trụ hình vẽ Ta có: r = AB = a; h = BC = CD.tan300 Suy h a Diện tích xung quanh hình trụ tạo thành là: 2a Sxq 2rh Bài Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a Mặt phẳng (P) song song với trục cách trục khoảng a Tính diện tích thiết diện trụ cắt (P) Lời giải Hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục hình vng cạnh 2a, OO’ = 2a Mặt phẳng (P) song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật có kích thước 2a a Kích thước lại r d a a , 2 2 r = a bán kính đáy d a khoảng cách từ trục đến mặt phẳng (P) Diện tích thiết diện S 2a.a 2a Bài Một hình thang vng BCD có đường cao AD , đáy nhỏ B = , đáy lớn CD Cho hình thang quay quanh CD, ta khối trịn xoay tích bao nhiêu? Lời giải Từ B kẻ BE vng góc với CD E Khi quay hình thang quanh CD ta khối tròn xoay gồm phần: V1 khối trụ có bán kính đáy AD chiều cao B = nên : V1 .2 4 khối trụ V2 khối nón có đáy BE đường cao EC nên : 1 V2 .2 4 3 Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: V V1 V2 4 Bài Tính diện tích mặt cầu có đường kính B = a? Lời giải Vì mặt cầu có đường kính B = a nên có bán kính R a Diện tích mặt cầu có bán kính R là: a S 4πR 4π πa 2 Bài Gọi V thể tích khối lập phương, V’ thể tích khối cầu nội tiếp khối lập phương Khi tỉ số V ? V Lời giải Gọi cạnh hình lập phương a Vì khối cầu nội tiếp khối lập phương nên đường kính khối cầu cạnh hình lập phương a Thể tích khối lập phương V = a3 Suy bán kính khối cầu R Thể tích khối cầu: 4 a a V r 3 2 V a3 Vậy V a Bài Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (α) Biết khoảng cách từ O đến (α) R Khi thiết diện tạo mặt phẳng (α) với S(O; R) đường trịn có đường kính bao nhiêu? Lời giải: Gọi H hình chiếu O xuống mp(α) R Ta có: d(O;(α)) OH R nên (α) cắt S(O; R) theo đường tròn C(H; r) Bán kính đường trịn C(H; r) r R OH R Suy đường kính 2r R Bài Cho mặt cầu S(O; R), điểm mặt cầu (S) (P) mặt phẳng qua cho góc O (P) 600 Tính diện tích đường tròn giao tuyến Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc O (P) : + H tâm đường tròn giao tuyến (P) (S) + OA; (P) OA; AH 600 Bán kính đường trịn giao tuyến: r HA OA.cos600 Suy diện tích đường trịn giao tuyến: R ... AC AB2 BC2 a SA SC2 AC2 6a 2a 2a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón có chiều cao S , bán kính đáy C, SC đường sinh tích là: 1 4a 2 V R h AC SA .2a 2a 3 3 Bài Cho... hình nón: Sxq .r.l .OA.SA .25 .5 41 125 41 b) Diện tích tồn phần hình nón: Stp rl r .OA.SA .OA .25 .5 41 .25 2 125 ( 41 5) 2. 4 Thể tích khối nón trịn xoay a) Định... xoay có đường cao h = 20 , bán kính đáy r = 25 a) Tính diện tích xung quanh hình nón đ cho b) Tính diện tích tồn phần hình nón đ cho Lời giải: a) Ta có: SA AO2 SO2 20 2 25 2 41 (Pitago tam