Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A Lý thuyết I Định nghĩa Đường thẳng d được gọi là vuông góc vơi mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) Khi d vuông góc v[.]
Bài Đường thẳng vng góc với mặt phẳng A Lý thuyết I Định nghĩa - Đường thẳng d gọi vng góc vơi mặt phẳng (α) d vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) - Khi d vng góc với (α) ta cịn nói (α) vng góc với d d (α) vng góc với kí hiệu d () II Điều kiện để đường thẳng vng góc mặt phẳng - Định lí: Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng - Hệ Nếu đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng góc với cạnh thứ ba tam giác Ví dụ Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ABC ABD tam giác Gọi I trung điểm AB Chứng minhh AB vng góc với mặt phẳng (CDI) Lời giải Khi đó; AB (CDI) I trung điểm AB Thật vậy, ABC ABD tam giác nên đường trung tuyến đồng thời đường cao : CI AB; DI AB Suy AB (CDI) III Tính chất - Tính chất Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng Người ta gọi mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB - Tính chất Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước IV Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng - Tính chất a) Cho hai đường thẳng song song.Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với - Tính chất a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với - Tính chất a) Cho đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với Đường thẳng vng góc với (α) vng góc với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng ( khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA Gọi I; J; K trung điểm AB, BC SB Chứng minh: a) (IJK) // (SAC) b) BD (SAC) c) BD (IJK) Lời giải: a) Tam giác ABC có IJ Là đường trung bình tam giác nên IJ // AC (1) Tam giác SAB có IK đường trung bình tam giác nên IK// SA (2) Từ (1) (2) suy ra: (IJK) // (SAC) b) Do BD AC; BD SA Mà BD, AC (SAC) nên BD (SAC) c)Do BD (SAC) (IJK) // ( SAC) nên BD (IJK) V Phép chiếu vng góc định lí ba đường vng góc Phép chiếu vng góc (ABCD) Cho đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) Phép chiếu song song theo phương ∆ lên mặt phẳng (α) gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α) Nhận xét: Phép chiếu vng góc lên mặt phẳng trường hợp đặc biệt phép chiếu song song nên có đầy đủ tính chất phép chiếu song song Định lí ba đường vng góc Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) b đường thẳng không thuộc (α) đồng thời khơng vng góc với (α) Gọi b’ hình chiếu vng góc b (α) Khi đó, a vng góc với b a vng góc với b’ Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) + Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (α) 900 + Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc d hình chiếu d’ (α) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (α) Khi d không vuông góc với (α) d cắt (α) điểm O, ta lấy điểm A tùy ý d khác điểm O Gọi H hình chiếu vng góc A lên (α) góc d (α) AOH - Chú ý: Nếu góc d mặt phẳng (α) ta ln có: 00 900 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cạnh huyền BC = a Hình chiếu vng góc S lên ( ABC) trùng với trung điểm BC Biết SB = a Tính số đo góc SA ( ABC) Lời giải: Gọi H trung điểm BC Vì tam giác ABC vng góc A có đường trung tuyến AH nên suy a AH BH CH BC 2 a Ta có: SH ABC SH SB2 BH SA, ABC (SA; AH) SAH SH 60 AH B Bài tập tự luyện tan Bài Cho hình chóp S ABC có SA (ABC) tam giác ABC vuông B , AH đường cao tam giác SAB Chứng minh: a) BC (SAB) b) AH (SBC) Lời giải: a) Do SA (ABC) BC ⊂ ( ABC) nên SA BC Ta có: BC AB BC SA BC (SAB) AB; SA (SAB) b)Vì BC (SAB) BC AH Lại có; SB AH AH (SBC) Bài Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đơi vng góc Gọi H hình chiếu O lên ( ABC) Chứng minh : a) OA BC 1 1 b) OH OA OB2 OC2 c) H trực tâm tam giác ABC Lời giải : a) Ta có: OA OB OA OC OA b) Hạ OBC OI BC OH AI Ta có: OI BC BC OA OA BC BC OAI BC OH OH ABC Xét tam giác AOI vng O có OH đường cao : 1 1 1 2 2 OH OA OI OA OB OC2 AB OC c) Ta có: AB OCH AB HC AB OH Tương tự BC OH Từ (1) (2) suy ra: H trực tâm tam giác ABC Bài Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác SBC ABC Chứng minh: a) BC (SAH) b) HK (SBC) c) SH ; AK BC đồng quy Lời giải: a) Ta có BC SA,BC SH BC (SAH) b)Ta có CK AB,CK SA CK (SAB) CK SB Mặt khác có CH SB nên suyra SB (CHK) SB HK Tương tự, SC HK nên HK (SBC) c) Gọi M giao điểm SH BC Do BC (SAH) BC AM hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK Suy ra, SH, AK BC đồng quy Bài Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a a Tính góc SC ( ABCD) SA ABCD Biết SA Lời giải : Ta có: SA ABCD SA AC SC; ABCD (SC; CA) SCA + Do ABCD hình vng cạnh a a AC AB2 BC2 a 2,SA SA tan 30 AC ... góc đường thẳng mặt phẳng - Tính chất a) Cho hai đường thẳng song song .Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với. .. Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với - Tính chất a) Cho đường thẳng a mặt phẳng. .. góc với (α) Gọi b’ hình chiếu vng góc b (α) Khi đó, a vng góc với b a vng góc với b’ Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) + Trường hợp đường thẳng d vng góc với