Bài 3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 100 SGK Toán lớp 11 Hình học Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), người ta phải làm[.]
Bài 3: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 100 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α), người ta phải làm nào? Lời giải: Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α), người ta phải chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (α) Hoạt động trang 100 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng d vng góc với a b Khi đường thẳng d có vng góc với mặt phẳng xác định hai đường thẳng song song a b khơng? Lời giải: Khơng nội dung định lí yêu cầu a b cắt Ví dụ: trường hợp d, a, b thuộc mặt phẳng (α) mà a // b, d ⊥ a , d ⊥ b d ( ) d khơng vng góc (α) B Bài tập Bài tập trang 104 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng (α) Các mệnh đề sau hay sai? a) Nếu a // (α) b ⊥ ( ) a ⊥ b b) Nếu a // (α) b ⊥ a b ⊥ ( ) c) Nếu a // (α) b // (α) b // a d) Nếu a ⊥ ( ) b ⊥ a b // (α) Lời giải: a) Đúng b a (α) b) Sai b song song cắt (α) b a (α) c) Sai xảy trường hợp b cắt a b chéo a b a (α) d) Sai xảy trường hợp b () a b (α) Bài tập trang 104 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC vng góc với mặt phẳng (ADI) b) Gọi AH đường cao tam giác ADI, chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (BCD) Lời giải: a) Tam giác ABC cân A nên ta có đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường cao, đó: AI ⊥ BC Tương tự ta có: DI ⊥ BC Ta có: AI ⊥ BC DI ⊥ BC AI,DI ADI ( ) AI DI = I Vậy BC ⊥ (ADI) b) Ta có AH đường cao tam giác ADI nên AH ⊥ DI Mặt khác: BC ⊥ (ADI) mà AH (ADI) nên AH ⊥ BC Ta có: AH ⊥ BC AH ⊥ DI ID,BC ( BCD ) BC DI = {I} Vậy AH ⊥ (BCD) Bài tập trang 104 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O có SA = SB = SC = SD Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); b) Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng (SBD) đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Lời giải: a) SA = SC nên tam giác SAC cân S O giao hai đường chéo hình bình hành nên O trung điểm AC BD Do SO vừa trung tuyến đồng thời đường cao tam giác SAC hay SO ⊥ AC Chứng minh tương tự ta được: SO ⊥ BD Ta có: SO ⊥ AC SO ⊥ BD SO ⊥ (ABCD) AC BD = O AC,BD (ABCD) b) ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD AC ⊥ BD AC ⊥ SO AC ⊥ (SBD) SO BD = O SO,BD (SBD) BD ⊥ AC BD ⊥ SO BD ⊥ (SAC) Ta có: SO AC = O SO,AC (SAC) Bài tập trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H chân đường vng góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: a) H trực tâm tam giác ABC 1 1 = + + b) 2 OH OA OB OC2 Lời giải: A H C O E B a) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) nên OH ⊥ (ABC) OH ⊥ BC Mặt khác: OA ⊥ OB,OA ⊥ OC OA ⊥ (OBC) OA ⊥ BC BC ⊥ OH BC ⊥ (OAH) BC ⊥ OA OA OH = O Mà AH (OAH) BC ⊥ AH (1) OB ⊥ OA OB ⊥ (OAC) Ta có: OB ⊥ OC Mà AC (OAC) OB ⊥ AC OH ⊥ (ABC) OH ⊥ AC OB ⊥ AC AC ⊥ (OBH) AC ⊥ BH (2) Do OH ⊥ AC Từ (1) (2) ta có tam giác ABC có AH ⊥ BC BH ⊥ AC AH BH = H Suy H trực tâm tam giác ABC b) Trong mặt phẳng (ABC) gọi E = AH BC OH ⊥ (ABC) OH ⊥ AE AE (ABC) OA ⊥ (OBC) Ta có: OA ⊥ OE OE (OBC) OAE vuông O có đường cao OH 1 = + (hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông OAE) OH OA OE BC ⊥ (OAH) Lại có: BC ⊥ OE OE (OAH) Mà OB ⊥ OC nên OBC vuông O có OE đường cao 1 = + 2 OE OB OC2 1 1 1 = + = + + (điều phải chứng minh) OH OA OE OA OB2 OC Bài tập trang 105 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm AC BD, S điểm nằm mặt phẳng (α) cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) SO ⊥ ( ) ; b) Nếu mặt phẳng (SAB) kẻ SH vng góc với AB H AB vng góc với mặt phẳng (SOH) Lời giải: a) SA = SC SAC cân S O trung điểm AC suy SO đường trung tuyến đồng thời đường cao tam giác cân nên SO ⊥ AC Chứng minh tương tự ta có: SO ⊥ BD Ta có: SO ⊥ BD SO ⊥ AC SO ⊥ (ABCD) BD AC = {O} BD,AC (ABCD) hay SO ⊥ () b) SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ AB SO ⊥ AB SH ⊥ AB AB ⊥ (SOH) SO SH = S SO,SH (SOH) Vậy AB ⊥ (SOH) Bài tập trang 105 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I K hai SI SK = điểm lấy hai cạnh SB SD cho Chứng minh: SB SD a) BD ⊥ SC ; b) IK ⊥ ( SAC ) Lời giải: a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ BD Lại có ABCD hình thoi nên BD ⊥ AC BD ⊥ SA BD ⊥ (SAC) Do đó: BD ⊥ AC SA,AC (SAC) BD ⊥ SC SI SK = b) Vì suy IK // BD (theo định lý Ta -lét đảo) SB SD Mà BD ⊥ (SAC) IK ⊥ (SAC) Bài tập trang 105 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có tam giác ABC vng B Trong mặt phẳng SM SN = (SAB) kẻ AM vng góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho SB SC Chứng minh rằng: a) BC ⊥ ( SAB ) AM ⊥ ( SBC ) ; b) SB ⊥ AN Lời giải: a) SA ⊥ (ABC) SA ⊥ BC (1) Tam giác ABC vuông B nên BC ⊥ AB (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ (SAB) BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ AM (3) AM ⊥ SB (giả thiết) (4) Từ (3) (4) suy AM ⊥ (SBC) b) AM ⊥ (SBC) nên AM ⊥ SB (5) SM SN = nên theo định lí ta lét ta có: MN // BC SB SC BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SB Ta có: BC ⊥ SB MN ⊥ SB (6) BC ∥ MN Từ (5) (6) suy SB ⊥ (AMN) suy SB ⊥ AN Bài tập trang 105 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho điểm S khơng thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu (α) điểm H Với điểm M (α) khơng trùng với H, ta gọi SM đường xiên đoạn HM hình chiếu đường xiên Chứng minh rằng: a) Hai đường xiên hai hình chiếu chúng nhau; b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên lớn có hình chiếu lớn ngược lại, đường xiên có hình chiếu lớn lớn Lời giải: a) Gọi SN đường xiên khác SH ⊥ HM SHM, SHN vuông H SH ⊥ () SH ⊥ HN Xét hai tam giác vng SHM SHN có SH cạnh chung Nếu SM = SN SHM = SHN (cạnh huyền - cạnh góc vng) HM = HN Ngược lại HM = HN SHM = SHN (hai cạnh góc vng) SM = SN b) Xét tam giác vng SHM SHN có SH cạnh chung Giả sử SN > SM Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vuông SHM SHN ta được: HN = SN − SH suy HN > HM 2 HM = SM − SH Phần đảo chứng minh tương tự SN = HN + SH suy SN > SM 2 SM = HM + SH ... a) Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD); b) Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng (SBD) đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Lời giải: a) SA = SC nên tam giác SAC cân S O giao hai đường. .. O giao điểm AC BD, S điểm nằm mặt phẳng (α) cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) SO ⊥ ( ) ; b) Nếu mặt phẳng (SAB) kẻ SH vng góc với AB H AB vng góc với mặt phẳng (SOH) Lời giải: a) SA =... IK ⊥ (SAC) Bài tập trang 105 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) có tam giác ABC vng B Trong mặt phẳng SM SN = (SAB) kẻ AM vng góc với SB M Trên