50 bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng toán 11

Bài tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Toán 11 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1 Đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì A a vuông góc với mặt phẳng (P) B a không[.]

Bài tập Đường thẳng vng góc với mặt phẳng - Toán 11 I Bài tập trắc nghiệm Bài 1: Đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng phân biệt mặt phẳng (P) : A a vng góc với mặt phẳng (P) B a khơng vng góc với mặt phẳng (P) C a khơng thể vng góc với mặt phẳng (P) D a vng góc với mặt phẳng (P) Lời giải: Đáp án: D Phương án A sai có trường hợp a ⊥ b ⊂ (P); a⊥c ⊂ (P); b // c Phương án B sai xảy trường hợp a ⊥ b ⊂ (P); a⊥ c ⊂ (P); b ∩ c ≠ ∅, a⊥(P) Bài 2: Mệnh đề sau sai? A a // (P) b ⊥ (P) b ⊥ a B a // (P) b ⊥ a b ⊥ (P) C a ⊂ (P) b ⊥ (P) b ⊥ a D a ⊂ (P), a ⊆(P) b ⊥ a b ⊥ (P) Lời giải: Đáp án: Bài 3: Mệnh đề sau đúng? A hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với C đường thẳng mặt phẳng vng góc với mặt phẳng song song với D đường thẳng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng Lời giải: Đáp án: B Phương án A sai xảy trường hợp hai đường thẳng vng góc với Phương án C sai xảy trường hợp đường thẳng thuộc mặt phẳng Phương án D sai đường thẳng khơng đồng phẳng Bài 4: Mệnh đề sau sai? A hai đường thẳng vng góc mơt mặt phẳng song song trùng B hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với C hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với D hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Lời giải: Đáp án: C Bài 5: Các đường thẳng vng góc với đường thẳng thì: A thuộc mặt phẳng B vng góc với C song song với mặt phẳng D song song với Lời giải: Đáp án: C Bài 6: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ a) AA’ vng góc với mặt phẳng A (CDD’C’) B (BCD) C (BCC’B’) D (A’BD) b) AC vuông góc với mặt phẳng A (CDD’C’) B (A’B’C’D’) C (BDD’B’) D (A’BD) c) Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (A’BD) là: A trung điểm BD B trung điểm A’B C trung điểm A’D D tâm O tam giác BDA’ Lời giải: Đáp án: a - B, b - C, c - D b Phương án A sai AC khơng vng góc với CD ⊂ (CDD’C’) Phương án B sai AC // (A’B’C’D’) Phương án C AC ⊥ BD , AC⊥ BB’ BD, BB’ ⊂ (BDD’B’) c Phương án D BD ⊥ (AMA') BD ⊥ AM BD ⊥ A’M ⇒ BD ⊥ AO BA’ ⊥ (AND) BA’ ⊥ DN A’B ⊥ AN ⇒ A’B ⊥ AO AO ⊥ (A’BD) ⇒ O hình chiếu A (A’BD) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thoi tâm O SA = SC, SB = SD a) Lời giải sau đúng? Chứng minh SO ⊥ (ABCD) D Cả ba phương án sai b) Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng A (SAC) B (SBD) C (ABCD) D (SDC) Lời giải: Đáp án: a - C, b - B a) Phương án A sai DO khơng phải hình chiếu SO (ABCD) Phương án B sai SA SC, SB SD đơi nên hình chóp S.ABCD khơng phải hình chóp Phương án C b) Loại phương án A C AC thuộc (SAC) (ABCD) Phương án B vì: AC ⊥ BD (hai đường chéo hình thoi) AC ⊥ SO(vì tam giác SAC cân S), nên AC ⊥ (SBD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi tâm O SA = SC, SB= SD a) Đường thẳng DB khơng vng góc với đường thẳng sau đây? A AC B SA C SB D SC b) Đường thẳng BC vng góc với đường thẳng A SA B SB C SC D SO Lời giải: Đáp án: a - C, b - D a) Dễ thấy BD ⊥ AC (tính chất hình thoi), BD ⊥ SC BD ⊥ SA DB ⊥ (SAC) Vì phương án C b) Phương án D: BC ⊥ SO SO ⊥ (ABCD) (xem ví dụ 1) Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông SA ⊥ (ABCD) a) Tam giác SBC là: A Tam giác thường B Tam giác cân C Tam giác D Tam giác vuông b) Tam giác SOD là: A Tam giác thường B Tam giác cân C Tam giác D Tam giác vuông Lời giải: Đáp án: a - D, b - D a) Tam giác SBC tam giác vng B : AB hình chiếu SB (ABCD), mà BC ⊥ AB (do ABCD hình vng) ⇒ BC ⊥ SB (theo định lí ba đường vng góc) ⇒ tam giác SBC tam giác vuông b) Tam giác SDO tam giác vng O AO hình chiếu SO (ABCD) , mà DO ⊥ AO (do ABCD hình vng) ⇒ DO ⊥ SO (theo định lí ba đường vng góc) ⇒ tam giác SOD tam giác vng Bài 10: Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác cạnh a, AB vuông góc với (BCD) AB = 2a a) Gọi M trung điểm AD K trung điểm BD Góc CM với mặt phẳng (BCD) là: b) Tang góc CM với mặt phẳng (BCD) bằng: c) Tang góc AC với mặt phẳng (ABD) bằng: d) Tang góc AK với mặt phẳng (ABC) bằng: Lời giải: Đáp án: a - C, b - A, c - C, d - C a) Loại phương án A B BC CD khơng phải hình chiếu CM (BCD) Phương án C : ⇒ CK hình chiếu CM mặt phẳng (BCD) Góc CM mặt phẳng (BCD) góc Phương án A : Góc AC với mặt phẳng (ABD) góc CK ⊥ (ABD) nên AK hình chiếu AC mặt phẳng (ABD) Phương án C : d) Để xác định AK với mặt phẳng (ABC) từ K dựng KN ⊥ BC ⇒ KN ⊥ (ABC) KN vng góc với BC AB Gọi P trung điểm BC, tam giác BCD nên DP vng góc BC Lại có: KN ⊥ BC nên DP // KN Vì K trung điểm BD nên N trung điểm BP Ta có: Vậy phương án C II Bài tập tự luận có lời giải Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD, có AB, BC, CD đơi vng góc với AB = a, BC = b, CD = c a) Khẳng định sau đúng? AB ⊥ (ACD) BC ⊥ (ACD) CD ⊥ (ABC) AD ⊥ (BCD) b) Độ dài AD bằng? c) Điểm cách điểm A, B, C, D là? Lời giải: Phương án A sai có AB ⊥ CD Phương án B sai có BC ⊥ CD Phương án C vì: Phương án D sai AD khơng vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng (BCD) b Ta có Tam giác ABD vng B nên c xem hình bên CD ⊥ (ABC) CD ⊥ BC AB ⊥ CD AB ⊥ (BCD) AB ⊥ BC AB ⊥ CD Phương án A sai tam giác ABC khơng vng góc C nên trung điểm AB không cách ba điểm A, B, C Phương án B sai tam giác ABC khơng vng góc A nên trung điểm AB không cách ba điểm A, B, C Phương án C vì: tam giác ACD vng góc C nên trung điểm K AD cách ba điểm A, C, D; tam giác ABD vng góc B nên trung điểm K AD cách ba điểm A, B, D Phương án D sai tam giác CBD khơng vng góc B nên trung điểm Cd không cách đuề ba điểm B, C, D Bài 2: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi I hình chiếu điểm O mặt phẳng (ABC) a) Tam giác ABC là? b) Điểm I là? Lời giải: a Giả sử tam giác ABC vng A B có hai đường thẳng BO BA vng góc với mặt phẳng (OCA) Điều vơ lí, tam giác ABC khơng thể tam giác vng Từ O hạ OH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ AB (theo định lí ba đường vng góc) Vì điểm H nằm hai điểm A B nên tam giác ABC khơng thể có góc tù Suy ABC có ba góc nhọn b giả sử AI CI cắt CB K H ⇒ AB ⊥ (OCH) ⇒ AB ⊥ CH Chứng tương tự ta có CB ⊥ AK ⇒I trực tâm tam giác ABC Bài 3: Cho hình chop S.ABC có ABC tam giác cạnh a SA= SB = SC = b gọi G trọng tâm tam giác ABC Một mặt phẳng (P) qua A vng góc với SC, cắt SC K a) Độ dài SG là? b) Điều kiện để điểm K nằm hai điểm S C là? c) Nếu là? Lời giải: thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (P) a Giả sử H chân đường vng góc hạ tự S xuống mặt phẳng (ABC) Khi đó, SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ H ≡ G Vì tam giác ABC cạnh a nên: b điểm K nằm hai điểm S C c Nếu Sa, SB, SC đơi vng góc ⇒ SC ⊥ (SAB) Do (P) ≡ (SAB), hay thiết diện hình chóp S.ABC cắt mặt phẳng (P) tam giác SAB Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC a) Mặt phẳng (BKH) vng góc với đường thẳng nào? b) Đường thẳng HK vng góc với mặt phẳng nào? Lời giải: a Vì K trực tâm ∆SBC nên BK ⊥ SC (1) Vì H trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC Mặt khác BH ⊥ SA ⊥ (ABC) nên BH ⊥ (SAC) ⇒ BH ⊥ SC (2) b Từ (1) va (2) suy SC ⊥ (BHK) Vì BC ⊥ (ASG) ⇒ BC ⊥ HK SC ⊥ (BHK) ⇒ SC ⊥ HK Suy HK ⊥ (SBC) Bài 5: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Nếu I hình chiếu điểm O mặt phẳng (ABC) I là? Lời giải: Giả sử AI CI cắt CB AB K H ⇒ AB ⊥ (OCH) ⇒ AB ⊥ CH Chứng minh tương tự ta có CB ⊥ AK ⇒ I trực tâm tam giác ABC Bài 6: Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB BC, CD đơi vng góc a) Đường thẳng AB vng góc với? b) Đường vng góc chung AB CD là? Lời giải: a AB ⊥ (BCD) AB ⊥ BC AB ⊥ CD b Phương án A sai AB Cd khơng vng góc với Phương án B BC⊥ AB (do AB ⊥ (BCD); BC ⊥ CD (giả thiết) Bài 7: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD; góc BAC góc BAD 600 Gọi M, N trung điểm AB CD Đường thẳng CD vng góc với mặt phẳng? Lời giải: Phương án A sai CD ⊥ (ABD) CD ⊥ AD Nhưng tam giác ACD cân A nên CD khơng thể vng góc với AD Phương án B sai tương tự CD khơng thể vng góc với AC Phương án C CD ⊥ AN (AN đường trung tuyến tam giác cân CAD A) CD ⊥ MN ⇒ CD ⊥ (ABN) Phương án D sai CD khơng vng góc với MD chứng minh Bài 8: Cho điểm S có hình chiếu H mặt phẳng (P) a) Với điểm M (P) ta có? b) Với hai điểm M N (P) cho SM ≤SN, ta có: Lời giải: a Phương án A sai M trùng với H SM = SH Phương án B M trùng với H SM = SH; M ≠ H SM > SH Phương án C, D sai khơng xảy trường hợp SM < SH Bài 10: Tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác ABC là? Lời giải: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, MO đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) O Ta có: OA, OB, OC hình chiếu đường xiên MA, MB, MC Vì OA = OB = OC ⇒ MA = MB = MC Vậy đường thẳng MO tập hợp điểm cách ba đỉnh A, B, C tam giác ABC III Bài tập vận dụng Bài Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α), người ta phải làm nào? Bài Cho mặt phẳng (α) hai đường thẳng a, b Các mệnh đề sau hay sai? a) Nếu a // (α), b ⊥(α) a ⊥b b) Nếu a // (α), b ⊥a b ⊥(α) c) Nếu a // (α), b // (α) b // a d) Nếu a ⊥(α), b ⊥a b ⊥(α) Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC vng góc với mặt phẳng (ADI) b) Gọi AH đường cao tam giác ADI, chứng minh AH vng góc với mặt phẳng (BCD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O có SA = SB = SC = SD Chứng minh rằng: a) Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) b) Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng (SBD) đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Bài Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB OC đơi vng góc Gọi H chân đường vng góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh : a) H trực tâm tam giác ABC Bài Trên mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi S điểm nằm mặt phẳng (α) cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng: a) SO ⊥(α) b) Nếu mặt phẳng (SAB) kẻ SH vng góc với AB H AB vng góc với mặt phẳng (SOH) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I K hai điểm lấy hai cạnh SB SD cho Chứng minh: a) BD ⊥ SC b) IK ⊥mp(SAC) Bài Cho tứ diện SABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vng B Trong mp(SAB), kẻ AM vng góc với SB M Trên cạnh SC lấy điểm N cho Bài Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (SAB), AM ⊥ (SBC) b) SB ⊥ AN Bài 10 Cho điểm S khơng thuộc mặt phẳng (α) có hình chiếu (α) điểm H Với điểm M (α) không trùng với H, ta gọi SM đường xiên đoạn HM hình chiếu đường xiên Bài 11 Chứng minh rằng: a) Hai đường xiên hai hình chiếu chúng nhau; .. .Bài 3: Mệnh đề sau đúng? A hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với C đường thẳng mặt phẳng vng góc với. .. rằng: a) Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) b) Đường thẳng AC vng góc với mặt phẳng (SBD) đường thẳng BD vng góc với mặt phẳng (SAC) Bài Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB OC đơi vng góc. .. với đường thẳng thứ ba song song với C hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với D hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Lời giải: Đáp án: C Bài