Lý thuyết và bài tập về khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng Toán 11

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN

MỘT MẶT PHẲNG TOÁN 11

1 Định nghĩa

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P là khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là

hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng  P

Kí hiệu: d M , P MH

2 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp:

Để tính được khoảng từ điểm M đến mặt phẳng   thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được

hình chiếu của điểm M trên  

TH1:

- Dựng AK    SAK      SAK và     SAKSK

- Dựng AH SKAH   d A ,   AH

TH2:

- Tìm điểm H  sao cho AH/ /  d A ,  d H ,  

TH3:

- Tìm điểm H sao cho AH  I

- Khi đó:    

 

 ,   ,    ,   ,

d H



Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông

(tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông) là:

Nếu tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và có đường cao OH thì

OH OA OB OC

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB2 ,a BCa Các cạnh bên của

hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Khoảng cách từ A đến mp (SCD) là:

7

a

2

Hướng dẫn giải:

Ta có     





SO AC

SO ABCD

SO BD

5



AO

2

2

Gọi H là trung điểm     





CD OH

CD SO

Kẻ OKSH tại K:OK SCD 

3

3

2

2 3





SO OH

a

Chọn đáp án D

3 Bài tập

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, ABa AD, 2a ; cạnh bên SAa và vuông

góc với đáy Khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng SBD là: 

A

3

a

3

a

2

a

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức đường cao của tứ diện vuông SABD

vuông tại A, ta có d A SBD ;   AH với

3

   AH  a

Chọn đáp án B

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết

hình chóp S.ABC có thể tích bằng a3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

65



195



65



195



d

Hướng dẫn giải:

Gọi các điểm như hình vẽ

Ta có AI BC SA, BC suy ra BC AK AK dA SBC, 

Trong tam giác vuông SAI ta có 1 2  12  12

AK AS AI Vậy

65



AS AI a

d AK

AS AI

Chọn đáp án C

Câu 3: Khối chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân tại B và ABa SA ABC Góc giữa cạnh bên 

SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Khi đó khoảng cách từ A đến (SBC) là:

2

a

C 3

3

a

D 3

2

a

Hướng dẫn giải:

2

,

3



a

Chọn đáp án D

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = BC = 2a , ABC1200, SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A

2

 a

4

 a

4

 a

2

 a

d

Hướng dẫn giải:

2

+ Mặt khác, SB SA2 AB2 a 13

+ Áp dụng công thức hê-rông ta có

2

1 4



SBC

a

(Chú ý: Nhập vào máy tính biểu thức và ấn = ta có kết quả

1

+ Vậy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC là 

3

2

2



SBC

d

Chọn đáp án D

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đá; BC9 ,m AB10 ,m AC17m

Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3 Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

A 21

2



4



4



5



d

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức He-rong ta tính được diện tích tam giác ABC bằng

p p AB p AC p BC với

2

 

 AB BC CA

p

1

3

 ABC  

Kẻ AHBC AI, SH khi đó ta có d A SBC,   AI

Đặt BH x ta có AB2BH2  AC2CH2 AH thay các dữ liệu bài toán đã cho vào ta tính

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 12 12 1 2 25 24

   AI 

Chọn đáp án D

Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết

khoảng cách từ A đến (SBD) bằng 6

7

a

Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) bằng:

A 6

7

a

7

a

14

a

7

a

Hướng dẫn giải:

Với bài toán này ta thấy A và C đối xứng nhau qua tâm O Ta nhớ

đến hệ quả sau:

Cho mặt phẳng (P) và đoạn thẳng MN Với MN P I thì

 

Khi đó áp dụng vào bài toán ta thấyACSBDO

do vậy áp dụng hệ quả trên ta được :    

;

OC

;

7

d C SBD  a

Chọn đáp án A

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 SA vuông góc với đáy và SC = 3a Khoảng cách từ điểm A đến mp(SCD) là:

A 2

12

a

B 2

2

a

C 6

2

a

D 2

6

a

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu của A lên SD

SA ABCD SA CD ,

CD AD CD SAD SAD SCD mà

SAD  SCDSD

nên AHSCD, do đó d A SCD ,   AH

Hình vuông ABCD cạnh a 3 có đường chéo ACa 3 2a 6

Tam giác SAC vuông tại A theo định lí Pytago ta tính được

3

SAa

Tam giác SAD vuông tại A có AH là đường cao nên

hay

      AH  a

Chọn đáp án C

Câu 8: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABa AC, a 3 Tam giác

SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC 

A 39

13

a

13

a

2

 a

Hướng dẫn giải:

Gọi H là trung điểm của BC , suy ra SH BCSHABC 

Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK AC

Kẻ HESK ESK 

Khi đó d B SAC , 2d H SAC , 

13



HE

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , D600và SA vuông góc với

ABCD Biết thể tích của khối chóp  S ABCD bằng

3

2

a

Tính khoảng cách k từ A đến mặt phẳng

SBC 

5

5



5

3



k a

Hướng dẫn giải:

Diện tích đáy

2

3 2



ABCD

a S

3

2

3

2

a

a

    1



BC AM

BC SAM

    2



BC SBC , Từ  1 và

  2  SAM  SBC 

Kẻ AH SM AH d A SBC ,   Xét SAM vuông tại A Ta có

2

Chọn đáp án B

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy có tất cả các cạnh bằng a và có tâm là O gọi M là trung

điểm của OA Tính khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SCD)

6

 a

4

 a

2

 a

Hướng dẫn giải:

Kẻ OH CD H CD , kẻ  OK SH K SH Ta chứng 

minh được rằng OK SCD 

Vì  ,   ,   

MO

MC

Trong tam giác SOH ta có:

6



OH OS a OK

OH OS

Vậy  , 

 

a

Chọn đáp án B

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí