Đang tải... (xem toàn văn)
Ôn tập chương 3 A Lý thuyết 1 Nguyên hàm và tính chất 1 1 Nguyên hàm Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của ) Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f([.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Nguyên hàm tính chất 1.1 Nguyên hàm - Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng ) Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F’(x) = f(x) với x K Ví dụ - Hàm số F(x) = sinx + nguyên hàm hàm số f(x) = cosx khoảng ; F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với x ; x 2 5 nguyên hàm hàm số f (x) x 3 (x 3) khoảng (; 3) (3; ) - Hàm số F(x) 5 x f (x) với x (; 3) (3; ) Vì F'(x) x (x 3) - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K với số C, hàm số G(x) = F(x) + C nguyên hàm f(x) K - Định lí Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, với C số Do F(x) C; C họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu: f (x)dx F(x) C - Chú ý: Biểu thức f(x)dx vi phân nguyên hàm F(x) f(x), dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx Ví dụ a) Với x ; ta có: x 3dx x4 C; b) Với x ; ta có: ex dx e x C ; c) Với x 0; ta có: 2 x dx x C 1.2 Tính chất nguyên hàm - Tính chất f '(x)dx f (x) C Ví dụ (4 )'dx ln 4.dx x x x C - Tính chất kf (x)dx k. f (x)dx (k số khác 0) - Tính chất f (x) g(x)dx f (x) dx g(x) dx Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số f (x) 3x 2sin x khoảng ; Lời giải: Với x ; ta có: (3x 2sin x)dx 3x 2dx sin xdx x 2.(cosx) + C = x 2cosx + C 1.3 Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Ví dụ a) Hàm số y x có nguyên hàm khoảng 0; 2 23 xdx x dx x C x x C 3 b) Hàm số y = có nguyên hàm khoảng ; 0; x x dx ln x C 1.4 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp 0dx C ax a dx ln a C (a 0;a 1) dx x C cosx dx = x x dx α 1 x α α 1 C (α 1) sin x + C sin xdx cosx + C x dx ln x C cos2 x dx tan x C e dx e sin x dx cot x C x x C Ví dụ Tính: a) 3x x dx b) (5ex 4x )dx Lời giải: a) 3x x dx 3x dx xdx 3 x dx x dx x 43 3x 3x x x C C 5 b) (5ex 4x )dx (5ex 16.4x )dx 5 e x dx 16. x dx 4x 5.e 16 C ln x - Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xác định Phương pháp tính ngun hàm 2.1 Phương pháp đổi biến số - Định lí Nếu f (u)du F(u) C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục thì: f (u(x)).u '(x)dx F(u(x)) C Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có: f (ax b)dx F(ax b) C a Ví dụ Tính (3x 2)3 dx Lời giải: u4 Ta có: u du C nên theo hệ ta có: (3x 2)4 (3x 2) dx C Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến u (u = u(x)) sau tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu cách thay u u(x) Ví dụ Tính sin x.cos2 xdx Lời giải: Đặt u = cosx Suy ra: du = – sinx dx Khi đó, nguyên hàm cho trở thành: 2 u (du) u du u3 C Thay u = cosx vào kết ta được: sin x.cos xdx cos3 x C 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần - Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K thì: u(x).v'(x).dx u(x).v(x) u '(x).v(x)dx - Chú ý Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv Nên đẳng thức viết dạng: udv uv vdu Đó cơng thức ngun hàm phần Ví dụ Tính a) x ln xdx ; b) x sin xdx ; c) (5 x).ex dx Lời giải: a) x ln xdx du dx u ln x x Đặt dv xdx v x Ta có: x2 x2 x ln xdx ln x x dx x2 x2 x2 ln x xdx ln x C 2 2 x2 x2 ln x C b) x sin xdx ; ux du dx Đặt dv sin xdx v cosx Khi đó: x sin xdx x.cosx + cos x dx x.cosx + sin x + C c) (5 x).e x dx u x du dx Đặt x x dv e dx v e Khi đó: (5 x).e dx (5 x).e e dx x (5 x).ex ex dx x x (5 x).ex ex C Khái niệm tích phân 3.1 Diện tích hình thang cong - Cho hàm số y = f(x) liên tục, khơng đổi dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b gọi hình thang cong - Ta xét tốn tìm diện tích hình thang cong bất kì: Cho hình thang cong giới hạn đường thẳng x = a; x = b (a < b); trục hoành đường cong y = f(x), f(x) hàm số liên tục, khơng âm đoạn [a; b] Với x a;b , kí hiệu S(x) diện tích phần hình thang cong nằm hai đường thẳng vng góc với Ox a b Ta chứng minh S(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) có số C cho S(x) = F(x) + C Vì S(a) = nên F(a) + C = hay C = – F(a) Vậy S(x) = F(x) – F(a) Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích hình thang cần tìm là: S(b) = F(b) – F(a) 3.2 Định nghĩa tích phân Cho f(x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định b đoạn [a; b]) hàm số f(x), kí hiệu f (x)dx a b Ta cịn dùng kí hiệu F(x) a để hiệu số F(b) – F(a) b Vậy f (x)dx F(x) a F(b) F(a) b a b Ta gọi dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f(x)dx biểu thức dấu a tích phân f(x) hàm số dấu tích phân - Chú ý Trong trường hợp a = b a > b, ta quy ước: a b a a a b f (x)dx 0; f (x)dx f (x)dx Ví dụ x2 a) (x 2)dx 2x ; 0 π π b) (2 cos x)dx 2x sin x (π 1) π 1 - Nhận xét b b a a a) Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu f (x)dx hay f (t)dt Tích phân phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t b) Ý nghĩa hình học tích phân b Nếu hàm số f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] tích phân f (x)dx a diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị f(x), trục Ox hai đường b thẳng x = a; x = b Vậy S f (x)dx a Tính chất tích phân - Tính chất 1: b b k.f (x)dx k f (x)dx a (k số) a - Tính chất 2: b b b a a a f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx π Ví dụ Tính: (3x 4sin x)dx Lời giải: Ta có: π π π 0 (3x 4sin x)dx 3 xdx sin xdx x2 π π 4cos x 3π 3π (4 4) 8 2 - Tính chất b c b a a c f (x)dx f (x)dx f (x)dx (a < c < b) π x dx sin t.cost dt 0 π π 0 cos t.cost dt cos t.cost dt π π cos tdt (1 cos2t)dt 0 π sin 2t π π t 2 0 4 - Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép đổi biến số dạng sau: b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Để tính f (x)dx , ta chọn hàm số a u = u(x) làm biến số mới, đoạn [a; b], u(x) có đạo hàm liên tục u(x) α; β Giả sử viết: f(x) = g(u(x)) u’(x) với x a; b với g(u) liên tục đoạn α; β b u(b) a u(a ) Khi đó, ta có: f (x)dx g(u)du π Ví dụ Tính x.sin x dx Lời giải: Đặt t = x2 Suy ra: dt = 2xdx xdx Đổi cận: dt x t π π Ta có: π π x.sin x dx sin t dt π 1 1 π sin t.dt (cost) 2 5.2 Phương pháp tính tích phân phần - Định lí Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] thì: b b u(x).v'(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx b a a b a b Hay udv uv a vdu b a a Ví dụ Tính I x sin xdx Lời giải: u x Đặt ta có dv sin xdx du dx v cos x Do I x sin xdx x cos x cos xdx e1 Ví dụ Tính I |02 x ln(x 1)dx sin x |02 Lời giải: du dx u ln(x 1) x 1 Đặt ta có dv xdx v x e1 I e1 e1 x 1 x ln(x 1)dx ln(x 1) (x 1)dx 0 e2 2e x x e01 2 e2 2e e2 4e e2 2 Tính diện tích hình phẳng 6.1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b], b trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b xác định: S f (x) dx a y y f (x) O a c1 c2 c3 b x Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = 5x4 + 3x2, trục hoành hai đường thẳng x = 0; x = Lời giải: Diện tích hình phẳng cần tính là: 1 S 5x 3x dx 5x 3x dx 0 x5 x3 6.2 Hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục đoạn [a; b] hai đường thẳng x = a; x = b xác định: b S f (x) g(x) dx (*) a - Chú ý Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Muốn ta giải phương trình: f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c; d (c < d) Khi đó, f(x) – g(x) không đổi dấu đoạn [a; c]; [c; d]; [d; b] Trên đoạn đó, chẳng hạn [a; c] ta có: c c a a f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = 0; x = đồ thị hai hàm số y = x – y = x2 – Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong: x – = x2 – x0 x x2 x 1 0;2 Diện tích hình phẳng cho là: 2 S x (x 1) dx x x dx 0 x x dx x x dx (x x )dx (x x )dx 1 x x3 x x3 3 1 0 2 1 6 Tính thể tích 7.1 Thể tích vật thể Cắt vật thể (H) hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với trục Ox x = a; x = b (a < b) Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox điểm x (a x b) cắt (H) theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] Khi đó, thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng (P) (Q) xác b định công thức: V S(x)dx a 7.2 Thể tích khối chóp khối chóp cụt a) Cho khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h Khi đó, thể tích khối chóp V B.h b) Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy B; B’ chiều cao h Thể tích khối chóp cụt là: V h B B.B' B' Thể tích khối trịn xoay - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường cong y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox: b V π f (x)dx a Ví dụ Cho hình phẳng giới hạn đường cong y x , trục hoành hai đường thẳng x = 0; x = Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình quanh trục Ox Lời giải: Thể tích khối trịn xoay cần tính là: 2 x5 32π V π x dx π 5 0 B Bài tập tự luyện Bài Trong cặp hàm số sau, hàm số nguyên hàm hàm số lại x4 10 ; b) e–2x + – 2e–2x a) x3 Lời giải: x4 x a) Ta có: 10 10 x x4 10 nguyên hàm hàm số f(x) = x3 –2x b) Ta có: (e + 2)’ = – 2e–2x nên F(x) = e–2x + nguyên hàm hàm số Do đó, F(x) = f(x) = – 2e–2x Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f (x) 2x e x ; b) f(x) = sinx + cosx Lời giải: a) 2x e dx 2xdx e e dx x 2 x x e2 e x C b) f(x) = sinx + cosx (sin x cosx ) dx sin xdx cosx dx cos x sin x C Bài Sử dụng phương pháp đổi biến, tính: a) (2x 3).(x 3x)7 dx ; b) (3x 2x)sin(x x 1)dx ; c) 4x.e2x 1dx Lời giải: a) (2x 3).(x 3x)7 dx ; Đặt t = x2 + 3x Suy ra: dt = (2x + 3)dx t8 Khi đó, nguyên hàm cho trở thành: t dt C Thay t = x2 + 3x vào kết ta được: (x 3x)8 (2x 3).(x 3x) dx C b) (3x 2x)sin(x x 1)dx Đặt t = x3 – x2 + Suy ra: dt = (3x2 – 2x)dx Khi đó, nguyên hàm cho trở thành: sin tdt cost C Thay t = x3 – x2 + vào kết ta được: (3x 2x)sin(x x 1)dx cos(x x 1) C c) e dx e.e dx e (2e) dx (*) 2x 1 x 2x 2x 2x Đặt t = 2x dt = 2dx Nguyên hàm trở thành: dt e (2e) t e (2e) C 2 ln(2e) t Thay t = 2x vào kết ta được: e x e (2e)2x dx C ln(2e) 2x Bài Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm phần, tính: a) (x 2).sin xdx ; b) (x 1).ln xdx Lời giải: a) (x 2).sin xdx u x 2 du dx Đặt dv sin xdx v cos x Khi đó: (x 2).sin xdx (x 2).cos x cos xdx (x 2).cosx + sin x + C b) (x 1).ln xdx du dx u ln x x Đặt dv (x 1)dx v x x x2 x2 (x 1).ln xdx x ln x x dx x x2 x x ln x 1 dx 2 x2 x2 x ln x x C Bài Tính tích phân sau: x 4x 1 x dx ; a) b) sin x dx Lời giải: x2 2 x 4x a) dx x dx 4x x 1 1 1 11 = 8 2 b) sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x 2 = 1 1 2 ... 3) .(x 3x)7 dx ; Đặt t = x2 + 3x Suy ra: dt = (2x + 3) dx t8 Khi đó, nguyên hàm cho trở thành: t dt C Thay t = x2 + 3x vào kết ta được: (x 3x)8 (2x 3) .(x 3x) dx C b) (3x... số f(x) = x3 –2 x b) Ta có: (e + 2)’ = – 2e–2x nên F(x) = e–2x + nguyên hàm hàm số Do đó, F(x) = f(x) = – 2e–2x Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f (x) 2x e x ; b) f(x) = sinx + cosx Lời... trịn xoay cần tính là: 2 x5 32 π V π x dx π 5 0 B Bài tập tự luyện Bài Trong cặp hàm số sau, hàm số nguyên hàm hàm số lại x4 10 ; b) e–2x + – 2e–2x a) x3 Lời giải: x4 x a)