Lý thuyết lũy thừa (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 1 Lũy thừa A Lý thuyết I Khái niệm lũy thừa 1 Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a a n = a a a a (n thừa số a[.]

Bài Lũy thừa A Lý thuyết I Khái niệm lũy thừa Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n số nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích n thừa số a an = a.a.a… a (n thừa số a) Với a ≠ 0, ta có: a0 = a  n  an Trong biểu thức am ; ta gọi a số, số nguyên m số mũ – Chú ý: 00 0–n khơng có nghĩa Lũy thừa với số mũ ngun có tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương Ví dụ Tính giá trị biểu thức: 3 3 1 1 A     42 24    2   27 Lời giải: 3 3 1 1 A     42 24    2   27 1 A     16  33 27 4 1 A  8.8  16  27 16 27 A = 64 + + = 66 Phương trình xn = b Đồ thị hàm số y = x2k + có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x3 đồ thị hàm số y = x2k có dạng tương tự đồ thị hàm số y = x4 Từ đó, ta có kết biện luận số nghiệm phương trình xn = b sau: a) Trường hợp n lẻ: Với số thực b, phương trình có nghiệm b) Trường hợp n chẵn: Với b < 0, phương trình vơ nghiệm Với b = , phương trình có nghiệm x = Với b > 0, phương trình có hai nghiệm đối Căn bậc n a) Khái niệm: Cho số thực b số nguyên dương n ( n  2) Số a gọi bậc n số b an = b Ví dụ Căn bậc ba 27 Căn bậc bốn 256 – – Từ định nghĩa kết biện luận số nghiệm phương trình xn = b; ta có: Với n lẻ b : Có bậc n b, kí hiệu n b Với n chẵn : + b < : không tồn bậc n b + b = 0: có bậc n b số + b > 0: có hai trái dấu; kí hiệu giá trị dương b) Tính chất bậc n Từ định nghĩa ta có tính chất sau: n a n b  n ab n a  b n   n n a m n a b  n am  a; n le an    a ;khi n chan n k a  nk a Ví dụ Rút gọn biểu thức: a) 3 ; n b ; giá trị âm  n b (5)4 b) Lời giải: a) 3  9.(3)  27   b) (5)4    Lũy thừa với số mũ hữu tỉ – Cho số thực a dương số hữu tỉ r  m ; m  ; n ; n  Lũy n m thừa a với số mũ r số ar xác định bởi: a r  a n  n a m Ví dụ 27  27  3  93  27 Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a số dương, α số vơ tỉ Ta thừa nhận rằng, ln có dãy số hữu tỉ (rn) có giới hạn α dãy số tương ứng  a rn  có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (rn) – Ta gọi giới hạn dãy số  a rn  thừa số a với số mũ α, kí hiệu aα a   lim a rn với   lim rn n   n   – Chú ý: Từ định nghĩa, ta có: 1  1; (  ) II Tính chất lũy thừa với số mũ thực Cho a; b số thực dương, α, β số thực tùy ý Khi đó, ta có: a  a   a  a  a    a a     a   (ab)  a  b   a a     b b Nếu a > a   a  α > β Nếu a < a   a  α < β Ví dụ Rút gọn biểu thức: a A 5 a 4 a  1 với a > 1 Lời giải: Với a > ta có: A 5 a a 4 a  1 1  a a(  2 4 1).( 1) 2 Ví dụ So sánh số   3 Lời giải: 1   Ta có: 1 2 Suy ra:   3 2 <   3 B Bài tập tự luyện Bài Tính 3 a) 32 ; 3 b) 125 : 27 ; 2 1 c)    0,16 8 Lời giải: a) 1 3 a6   a4 a 1 2   3 2 32 3  (2.32)  64 3  64  83  512  125  b) 125 : 27     27  3 2  125   2 25 125   3       3 27 27     3 1 c)   8 2  0,16 3 3  16   16    508 8    4      100 10 125  100      Bài Cho a, x số thực dương Viết biểu thức sau dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 2 a) a a ; 1 b) x x x ; c) a :a Lời giải: 2 2 3 a) a a  a a  a 1 2  3 1 a ; b) x x x x x c) 1  1  6 x x x x 12 a : a a : a a 5  Bài So sánh số sau: a  3  3 a)      10   10  1 b)   4 5 ;  1 Lời giải: a) Vì  1   10 5 2  3  3 Suy ra:   >    10   10  1 b) Ta có:   4 Vì > 1 Hay   4  4 3  1 nên  0: có