Lý thuyết ứng dụng của tích phân trong hình học (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học A Lý thuyết I Tính diện tích hình phẳng 1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên[.]

Bài Ứng dụng tích phân hình học A Lý thuyết I Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b], b trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b xác định: S   f (x) dx a y y  f (x) O a c1 c2 c3 b x Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = 5x4 + 3x2, trục hoành hai đường thẳng x = 0; x = Lời giải: Diện tích hình phẳng cần tính là: 1 S   5x  3x dx    5x  3x  dx 0   x5  x3   2 Hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục đoạn [a; b] hai đường thẳng x = a; x = b xác định: b S   f (x)  g(x) dx (*) a - Chú ý Khi áp dụng công thức (*), cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Muốn ta giải phương trình: f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử phương trình có hai nghiệm c; d (c < d) Khi đó, f(x) – g(x) không đổi dấu đoạn [a; c]; [c; d]; [d; b] Trên đoạn đó, chẳng hạn [a; c] ta có: c c a a  f (x)  g(x) dx   f (x)  g(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = 0; x = đồ thị hai hàm số y = x – y = x2 – Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong: x – = x2 –  x0  x  x2     x 1 0;2 Diện tích hình phẳng cho là: 2 S   x   (x  1) dx   x  x dx 0   x  x dx   x  x dx   (x  x )dx   (x  x )dx 1  x x3   x x3         0 1    2   1 6 II Tính thể tích Thể tích vật thể Cắt vật thể (H) hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với trục Ox x = a; x = b (a < b) Một mặt phẳng tùy ý vng góc với Ox điểm x (a  x  b) cắt (H) theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] Khi đó, thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng (P) (Q) b xác định công thức: V   S(x)dx a Thể tích khối chóp khối chóp cụt a) Cho khối chóp có diện tích đáy B, chiều cao h Khi đó, thể tích khối chóp V  B.h b) Cho khối chóp cụt tạo khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy B; B’ chiều cao h Thể tích khối chóp cụt là: V  h B  B.B'  B'  III Thể tích khối trịn xoay - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường cong y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox: b V  π  f (x)dx a Ví dụ Cho hình phẳng giới hạn đường cong y  x , trục hoành hai đường thẳng x = 0; x = Tính thể tích khối trịn xoay thu quay hình quanh trục Ox Lời giải: Thể tích khối trịn xoay cần tính là: 2 x5 32π V  π  x dx  π  5 0 B Bài tập tự luyện Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y = x3 ; y = 4x; b) y = x3, trục hoành hai đường thẳng x = ; x = 3; c) y = x3 – 3x2 , trục hoành hai đường thẳng x = 1; x = 4; d) y = – x2; y = –x Lời giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị:  x0 x   x3 = 4x  x  4x    Diện tích hình phẳng cần tính là: S x  4x dx  2  x  4x  dx  2 x  4x  dx 0  x4  x4  2    2x     2x     2  0 b) Ta có x  đoạn [1; 3] nên diện tích hình phẳng cần tính là: 3 x4 S   x dx   x dx   20 1 3 x  c) Ta có x  3x     x  [1;4] Khi diện tích hình phẳng 4 S   x  3x dx   (x  3x )dx   (x  3x )dx 3 3  x4  x4  27 51 3    x     x3     4 4  1  3 d) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị :  x  1 – x2 = –x    x2  x  x, x [  1;2] Nên diện tích hình phẳng cần tính là:  x x3  S   (2  x  x )dx   2x      1  1 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P): y = x2 + 3, tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ x = trục tung? Lời giải: Ta có: y’ = 2x Suy ra: y’(2) = y(2) = Phương trình tiếp tuyến (P) điểm có hoành độ x = y = 4(x – 2) + = 4x – Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) tiếp tuyến: x2 + = 4x –  x2 – 4x + =  x  Diện tích hình phẳng cần tính là: 2 S   x   (4x  1)dx   x  4x 4 dx 0  x3     x  4x 4  dx    2x  4x    0 Bài Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh Ox a) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1; b) y = –x2 + 2x ; y = ; ln x ; y = 0; x = c) y = Lời giải: a) Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: 1 V  π  (x  1) dx  π   x  2x 1 dx 0  x x  23π  π   x     14 b) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: x  – x2 + 2x =   x  Theo công thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V  π  ( x  2x) dx  π  (x  4x  4x )dx  x 4x  16π  π   x4   15  0 c) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: ln x =  x = Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: V  π  ln xdx 1   u  ln x du  dx  * Đặt  x dv  dx   v  x 2 V  π  ln xdx  π.x ln x  π  dx 1  π.2ln π x  π.2ln  π ... tuyến: x2 + = 4x –  x2 – 4x + =  x  Diện tích hình phẳng cần tính là: 2 S   x   (4x  1)dx   x  4x 4 dx 0  x3     x  4x 4  dx    2x  4x    0 Bài Tính thể tích khối... đồ thị :  x  1 – x2 = –x    x2  x  x, x [  1;2] Nên diện tích hình phẳng cần tính là:  x x3  S   (2  x  x )dx   2x      1  1 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn...Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng x = 0; x = đồ thị hai hàm số y = x – y = x2 – Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong: x – = x2 –  x0  x  x2  