Lý thuyết mặt cầu (mới 2022 + bài tập) – toán 12

Bài 2 Mặt cầu A Lý thuyết I Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu 1 Mặt cầu Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu t[.]

Bài Mặt cầu A Lý thuyết I Mặt cầu khái niệm liên quan đến mặt cầu Mặt cầu - Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng không đổi r (r > 0) gọi mặt cầu tâm O, bán kính r Ta kí hiệu mặt cầu tâm O, bán kính r S(O; r) hay viết tắt (S) Như ta có mặt cầu S(O; r) = {M| OM = r} - Nếu hai điểm C; D nằm mặt cầu S(O; r) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu - Dây cung AB qua tâm O gọi đường kính mặt cầu Khi đó, độ dài đường kính 2r - Một mặt cầu xác định biết tâm bán kính biết đường kính mặt cầu Ví dụ Cho tứ diện ABCD có O trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện Tìm tập hợp điểm M không gian thỏa mãn hệ thức MA  MB  MC  MD  a (với a > không đổi) Lời giải: Gọi E; F trung điểm cạnh AB CD Suy O trung điểm EF Ta có: MA  MB  MC  MD  2ME  2MF  4MO  MA  MB  MC  MD  MO  a a  MO  MO  Vậy tập hợp điểm M cần tìm khơng gian mặt cầu tâm O bán kính a r Điểm nằm nằm mặt cầu Khối cầu Cho mặt cầu tâm O bán kính r A điểm khơng gian - Nếu OA = r ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; r) - Nếu OA < r ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; r) - Nếu OA > r ta nói điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O; r) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O, bán kính r Biểu diễn mặt cầu - Ta thường dùng phép chiếu vng góc lên mặt phẳng để biểu diễn mặt cầu Khi đó, hình biểu diễn mặt cầu hình trịn - Muốn cho hình biểu diễn mặt cầu trực quan ta thường vẽ thêm hình biểu diễn số đường trịn nằm mặt cầu Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu Ta xem mặt cầu mặt tròn xoay tạo nên nửa đường trịn quay quanh trục chứa đường kính nửa đường trịn Khi đó, giao tuyến mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ trục mặt cầu gọi kinh tuyến mặt cầu, giao tuyến (nếu có) mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục gọi vĩ tuyến mặt cầu Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi hai cực mặt cầu II Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng (P) Khi h = OH khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) Ta có ba trường hợp sau: Trường hợp h > r Nếu M điểm mặt phẳng (P) OM ≥ OH Từ suy OM > r Vậy điểm M thuộc mặt phẳng (P) nằm mặt cầu Do đó, mặt phẳng (P) khơng có điểm chung với mặt cầu 2 Trường hợp h = r - Trong trường hợp điểm H thuộc mặt cầu S (O; r) Khi đí, với điểm M thuộc mp(P) khác với H ta ln có: OM > OH = r nên OM > r Như vậy, H điểm chung mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Khi ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H - Điểm H gọi tiếp điểm mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P), mp(P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu Vậy ta có: - Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) điểm H (P) vng góc với bán kính OH điểm H Trường hợp h < r - Trong trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn tâm H; bán kính r '  r2  h2 - Đặc biệt h = tâm O mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu S(O; r) đường tròn tâm O bán kính r Đường trịn gọi đường trịn lớn Mặt phẳng qua tâm O mặt cầu gọi mặt phẳng kính mặt cầu III Giao mặt cầu với đường thẳng.Tiếp tuyến mặt cầu Cho mặt cầu S(O; r) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu vng góc tâm O ∆ d = OH khoảng cách từ O đến ∆ Nếu d > r ∆ khơng cắt mặt cầu S(O; r), với điểm M thuộc ∆ ta có OM > r điểm M thuộc ∆ nằm mặt cầu Nếu d = r điểm H thuộc mặt cầu S(O; r) Khi đó, với điểm M thuộc ∆ khác H ta ln có: OM > OH = r nên OM > r - Như H điểm chung mặt cầu S(O; r) đường thẳng ∆ Khi đó, ta nói đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H Điểm H gọi tiếp điểm ∆ mặt cầu Đường thẳng ∆ gọi tiếp tuyến mặt cầu - Vậy: Điều kiện cần đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) điểm H ∆ vng góc với bán kính OH điểm H Nếu d < r đường thẳng ∆ cắt mặt cầu S(O; r) hai điểm M; N phân biệt Hai điểm giao điểm đường thẳng ∆ với đường tròn giao tuyến mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (O; ∆) - Đặc biệt, d = đường thẳng ∆ qua tâm O căt mặt cầu hai điểm A; B Khi đó, AB đường kính mặt cầu - Nhận xét: a) Qua điểm A nằm mặt cầu S(O; r) có vơ số tiếp tuyến mặt cầu Tất tiếp tuyến vng góc với bán kính OA mặt cầu A nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu điểm A b) Qua điểm A nằm mặt cầu S(O; r) có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu cho Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A Khi độ dài đoạn thẳng kẻ từ A đến tiếp điểm - Chú ý: Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, cịn nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu IV Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu - Mặt cầu bán kính r có diện tích là: S  4r - Khối cầu bán kính r tích là: V  r - Chú ý: a) Diện tích S mặt cầu bán kính r bốn lần diện tích hình trịn lớn mặt cầu b) Thể tích V khối cầu bán kính r thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu có chiều cao bán kính khối cầu - Ví dụ Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính Khi thể tích khối tròn xoay sinh bao nhiêu? Lời giải: Cho hình trịn đường kính 4a quay quanh đường kính ta khối cầu có đường kính 4a hay bán kính R = 2a 4 32 Thể tích khối cầu là: V  R    2a   a 3 B Bài tập tự luyện Bài Tính diện tích mặt cầu có đường kính AB = a? Lời giải: Vì mặt cầu có đường kính AB = a nên có bán kính R a Diện tích mặt cầu có bán kính R là: a S  4πR  4π    πa 2 Bài Gọi V thể tích khối lập phương, V’ thể tích khối cầu nội tiếp khối lập phương Khi tỉ số Lời giải: V ? V Gọi cạnh hình lập phương a Vì khối cầu nội tiếp khối lập phương nên đường kính khối cầu cạnh hình lập phương a Thể tích khối lập phương V = a3 Suy bán kính khối cầu R  Thể tích khối cầu: 4  a  a V  r      3 2 Vậy V a3   V a  Bài Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (α) Biết khoảng cách từ O đến (α) R Khi thiết diện tạo mặt phẳng (α) với S(O; R) đường trịn có đường kính bao nhiêu? Lời giải: Gọi H hình chiếu O xuống mp(α) Ta có: d(O;(α))  OH  R  R nên (α) cắt S(O; R) theo đường tròn C(H; r) Bán kính đường trịn C(H; r) r  R  OH  R Suy đường kính 2r  R Bài Cho mặt cầu S(O; R), A điểm mặt cầu (S) (P) mặt phẳng qua A cho góc OA (P) 600 Tính diện tích đường trịn giao tuyến Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc O (P) : + H tâm đường tròn giao tuyến (P) (S) +  OA; (P)    OA; AH   600 Bán kính đường trịn giao tuyến: r  HA OA.cos600  Suy diện tích đường trịn giao tuyến: πR R S  πr  π.   2 R ... giao tuyến (nếu có) mặt cầu với mặt phẳng vng góc với trục gọi vĩ tuyến mặt cầu Hai giao điểm mặt cầu với trục gọi hai cực mặt cầu II Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Gọi... chung mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P) Khi ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) H - Điểm H gọi tiếp điểm mặt cầu S(O; r) mặt phẳng (P), mp(P) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu. .. tâm O mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu S(O; r) đường trịn tâm O bán kính r Đường tròn gọi đường tròn lớn Mặt phẳng qua tâm O mặt cầu gọi mặt phẳng kính mặt cầu