Ôn tập chương A Lý thuyết 1 Khối lăng trụ và khối chóp Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp[.]
Ôn tập chương A Lý thuyết Khối lăng trụ khối chóp - Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt - Khối lăng trụ phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ - Tên khối lăng trụ hay khối chóp đặt theo tên hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn Ví dụ Ứng với hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH ta có khối lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH; ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD ta có khối chóp tứ giác S.ABCD - Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… hình lăng trụ (hình chóp hay hình chóp cụt) theo thứ tự đỉnh; cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… khối lăng trụ (khối chóp hay khối chóp cụt) tương ứng - Điểm không thuộc khối lăng trụ gọi điểm khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ gọi điểm khối lăng trụ Điểm hay điểm khối chóp, khối chóp cụt định nghĩa tương tự Khái niệm hình đa diện khối đa diện 2.1 Khái niệm hình đa diện Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất sau: a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác - Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện - Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện - Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện - Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng Ví dụ - Các hình khối đa diện - Các hình khơng phải khối đa diện Hai đa diện 3.1 Phép dời hình khơng gian - Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ xác định gọi phép biến hình khơng gian - Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý - Ví dụ Trong khơng gian, phép biến hình sau gọi phép dời hình : a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , phép biến hình, biến điểm M thành điểm M’ cho MM' v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M khơng thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phẳng trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng (H) c) Phép đối xứng tâm O, phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng (H) d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (hay phép đối xứng qua trục ∆) phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng ∆ thành nó, biến điểm M không thuộc ∆ thành điểm M’ cho ∆ đường trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình (H) thành ∆ gọi trục đối xứng (H) Nhận xét: + Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình + Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H’) 3.2 Hai hình - Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Đặc biệt, hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện thành đa diện - Ví dụ Phép đối xứng tâm O biến đa diện (H) thành đa diện (H’) Phép đối xứng trục ∆, biến đa diện (H’) thành đa diện (H”) Do đó, phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép dời hình biến hình (H) thành hình (H”) Từ đó, suy hình (H); (H’) (H”) 4 Phân chia lắp ghép khối đa diện Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện (H1) (H2) cho (H1) (H2) khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) (H2), hay lắp ghép hai khối đa diện (H1) (H2) với để khối đa diện (H) - Ví dụ Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta xét hai khối chóp tam giác S.ABC S.ACD Ta thấy rằng: + Hai khối chóp S.ABC S.ACD khơng có điểm chung + Hợp hai khối chóp S.ABC S.ACD khối chóp S.ABCD Vậy khối chóp S.ABCD phân chia thành hai khối chóp tam giác S.ABC S.ACD - Nhận xét Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Khối đa diện lồi Khối đa diện lồi (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện xác định (H) gọi đa diện lồi Ví dụ Các khối chóp tam giác, tứ giác, khối lăng trụ tam giác, khối lăng trụ tứ giác… khối đa diện - Người ta chứng minh rằng, khối đa diện khối đa diện lồi miềm ln nằm phía mặt phẳng chứa mặt Khối đa diện - Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {p; q} Từ định nghĩa ta thấy mặt khối đa diện đa giác - Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó loại {3; 3}; loại {4; 3}; loại {3; 4}; loại {5; 3} loại {3; 5} Tùy theo số mặt chúng, năm loại khối đa diện kể theo thứ tự gọi khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện (hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt khối hai mươi mặt Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Loại Tên gọi {3; 3} Tứ diện {4; 3} Số đỉnh Số cạnh Số mặt Lập phương 12 {3; 4} Bát diện 12 {5; 3} Mười hai mặt 20 30 12 {3; 5} Hai mươi mặt 12 30 20 Ví dụ Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác tổng mặt phải số chẵn Lời giải: Gọi số cạnh số mặt đa diện c m Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số 3m 3m 2c cạnh đa diện c Do đó, 3m chia hết cho mà khơng chia hết m phải chia hết cho 2, nghĩa m số chẵn Vậy khối đa diện có mặt tam giác tổng mặt phải số chẵn Khái niệm thể tích khối đa diện Người ta chứng minh rằng: đặt tương ứng cho khối đa diện (H) số dương V(H) thỏa mãn tính chất sau: a) Nếu (H) khối lập phương có cạnh V(H) = b) Nếu hai khối đa diện (H1) (H2) V(H1) = V(H2) c) Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) (H2) thì: V(H) = V(H1) + V(H2) Số dương V(H) nói gọi thể tích khối đa diện (H) Số gọi thể tích hình đa diện giới hạn khối đa diện (H) Khối lập phương có cạnh gọi khối lập phương đơn vị - Định lí : Thể tích khối hình chữ nhật tích ba kích thước Thể tích khối lăng trụ Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là: V = B.h Ví dụ Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: C' A' B' A C I B Gọi I trung điểm BC Ta có; ∆ABC nên AB 3; AI BC Suy ra: A'I BC (định lí đường vng góc) AI Ta có: S A 'BC 2S BC.A'I A'I A 'BC BC Vì AA' (ABC) AA' AI Xét tam giác A’AI có : AA' A'I2 AI2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA' = AI.BC AA’ = Thể tích khối chóp Định lí Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là: V B.h Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích hình chóp Lời giải : S C A 60 o a M B Gọi M trung điểm BC Vì tam giác ABC nên AM BC SA BC (định lí đường vng góc) Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 600 Tam giác ABC cạnh a nên đường cao AM Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan600 = a 3a 1 1 a3 Vậy V = B.h SABC.SA AM.BC.SA 3 B Bài tập tự luyện Bài Cho hình sau: Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm nó), hình đa diện? Lời giải: Trong hình có hình hình đa diện Vì hình hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất sau: a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Bài Hãy phân chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành khối tứ diện? Lời giải: A D B C D' A' B' C' Với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta phân chia thành khối tứ diện sau: DA’D’C’; A’ABD; C’BCD; BA’B’C’ BDCA’ Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh hình chóp A.A’B’C’D’ C’.ABCD b) Chứng minh hình lăng trụ ABC.A’B’C’ AA’D’.BB’C’ Lời giải: A D B C O D' A' B' C' Gọi O tâm hình lập phương a) Các hình chóp A.A’B’C’D’ C’.ABCD qua phép đối xứng tâm O, hình chóp A.A’B’C’D’ biến thành hình chóp C’.CDAB (hay hình chóp C’.ABCD) b) Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ AA’D’.BB’C’ qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ AA’D’.BB’C’ Bài Cho bốn hình sau, hỏi có hình đa diện lồi? Lời giải: Trong bốn hình cho có hình hình đa diện lồi Bài Cho khối tứ diện ABCD Chứng ming rằng: a) Trọng tâm mặt khối chóp đỉnh tứ diện b) Các trung điểm cạnh khối đỉnh khối tám mặt Lời giải: a) Gọi Q M trung điểm CD; CB Gọi G1; G2; G3; G4 trọng tâm tam giác ABC; ACD; ABD BCD Gọi a độ dài cạnh tứ diện, ta có 2 a a G1G MQ 3 Tương tự; G1G4 = G1G3 = G2G3 = G2G4 = G3G4 = diện cạnh a nên G1G2G3G4 tứ a b) Gọi N; P; R; S trung điểm cạnh AD; AB; AC; BD Theo tính chất đường trung bình, ta có: a Do trung điểm cạnh khối đỉnh khối tám mặt QM = QN = QS = QR = PM = PN = PS = PR = Bài Chứng minh tâm mặt hình lập phương đỉnh bát diện Lời giải: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Giả sử độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a Gọi M; N; P; Q; E; F tâm mặt hình lập phương Ta có: AC a MN a AC 2 Tương tự ta tính được: MP = MQ = ME = MF = NP = NQ = NE = NF = PQ = PE = PF= QE = QF = EF = a 2 Do đó, MNPQEF bát diện Bài Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: C' D' A' B' 4a 5a C D A B Vì ABCD.A'B'C'D' lăng trụ đứng nên tam giác BDD’ vng D, ta có: BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 Suy : BD = 3a Vì ABCD hình vng AB BD 3a 2 9a Suy diện tích đáy ABCD : SABCD AB Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải: S D A B H a C Gọi H trung điểm AB Vì ∆ SAB SH AB Mà (SAB) (ABCD) nên SH (ABCD) Ta có tam giác SAB cạnh a nên SH Diện tích đáy ABCD S = a2 a Suy thể tích khối chóp cho : a3 V SABCD.SH Bài Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC a , SA vng góc với đáy ABC, SA = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: S N C G A M I B a) Ta có: ∆ ABC vng cân B có AC a AB a Diện tích tam giác ABC SABC Vậy thể tích khối chóp S ABC là: a3 VS.ABC SABC SA b) Gọi I trung điểm BC Vì G trọng tâm, ta có : SG SI Vì BC // mp(α) MN // BC Suy : SM SN SG SB SC SI VS.AMN SM SN VS.ABC SB SC a2 BA.BC 2 2a Vậy: VS.AMN VS.ABC 27 ... gọi {3; 3} Tứ diện {4; 3} Số đỉnh Số cạnh Số mặt Lập phương 12 {3; 4} Bát diện 12 {5; 3} Mười hai mặt 20 30 12 {3; 5} Hai mươi mặt 12 30 20 Ví dụ Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác tổng... phương có cạnh V(H) = b) Nếu hai khối đa diện (H1) (H2) V(H1) = V(H2) c) Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1) (H2) thì: V(H) = V(H1) + V(H2) Số dương V(H) nói gọi thể tích khối... nên đường cao AM Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan600 = a 3a 1 1 a3 Vậy V = B.h SABC.SA AM.BC.SA 3 B Bài tập tự luyện Bài Cho hình sau: Mỗi hình gồm số hữu hạn đa giác phẳng (kể điểm