Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian A Lý thuyết I Phương trình tham số của đường thẳng Định lí Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ 1 2 3a[.]
Bài Phương trình đường thẳng khơng gian A Lý thuyết I Phương trình tham số đường thẳng - Định lí: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) nhận vectơ a a1;a ;a làm vectơ phương Điều kiện cần đủ để điểm M(x; x x a 1t y; z) nằm đường thẳng ∆ có số thực t thỏa mãn: y y0 a t z z a t - Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0 ; y0; z0) nhận vectơ a a1;a ;a làm vectơ phương x x a 1t y y0 a t z z a t Trong đó, t tham số - Chú ý: Nếu a1 ; a2; a3 khác ta viết phương trình ∆ dạng tắc sau: x x y y0 z z a1 a2 a3 Ví dụ Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A(1; 2;2) có vecto phương u (1;2; 1) Lời giải: x t Phương trình tham số ∆ là: y 2t z 2 t Ví dụ Viết phương trình tham số đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2; 1) Lời giải: Đường thẳng AB nhận AB (2;1; 1) làm vecto phương x 2t Phương trình tham số AB là: y t z t II Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt chéo Điều kiện để hai đường thẳng song song Gọi a (a1; a ;a );a ' (a '1; a '2 ;a '3 ) vecto phương d d’ Lấy điểm M(x0; y0; z0) d a k.a ' Ta có: d song song với d’ M d ' a k.a ' Đặc biệt: d trùng với d’ khi: M d ' Ví dụ Chứng minh hai đường thẳng sau song song với nhau: x 2t x 4t d : y 3t ; d ' : y 6t z 2t z 2t Lời giải: Đường thẳng d có vecto phương u (2; 3;1) qua M(3; 2; 2) Đường thẳng d’ có vecto phương v(4; 6; 2) Ta thấy: v 2u; M d' Do đó, hai đường thẳng song song với Điều kiện để hai đường thẳng cắt - Hai đường thẳng d d’ cắt hệ phương trình ẩn t t’ sau: x ta1 x '0 t '.a '1 y0 ta y'0 t '.a '2 (I) z ta z ' t '.a ' 3 Có nghiệm - Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t0 ; t’0), để tìm giao điểm M0 d d’ ta thay t0 vào phương trình tham số d thay t’0 vào phương trình tham số d’ Ví dụ Tìm giao điểm hai đường thẳng: x t x t ' d : y t ; d ' : y t ' z t z3 Lời giải: Xét hệ phương trình: t t ' t t ' 2 t t ' t t ' t 1; t ' 1 t t 1 Suy ra, d cắt d’ điểm A(4; 1; 3) Điều kiện để hai đường thẳng chéo Hai đường thẳng d d’ chéo a; a ' không phương x ta1 x '0 t '.a '1 hệ phương trình y0 ta y'0 t '.a '2 vô nghiệm z ta z ' t '.a ' 3 Ví dụ Xét vị trí tương đối hai đường thẳng: x t x 4t ' d : y 3t ; d ' : y 6t ' z 2t z 2t ' Lời giải: Đường thẳng d có vecto phương a (1; 3;1) Đường thẳng d’ có vecto phương a '(4; 6; 2) Ta thấy, không tồn số thực k để a k a ' nên hai đường thẳng d d’ cắt chéo Xét hệ phương trình: t 1 4t ' (1) 2 3t 6t ' (2) (I) t 2t ' (3) Giải hệ phương trình (1) (2) ta được: t =2; t’ = -1 Thay vào (3) ta thấy khơng thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vơ nghiệm Vậy hai đường thẳng d d’ chéo - Nhận xét: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường x x a 1t thẳng d: y y0 a t z z a t Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = ( t ẩn ) (1) - Nếu phương trình (1) vơ nghiệm d (P) khơng có điểm chung Vậy d// (P) - Nếu phương trình (1) có nghiệm t = t0 d cắt (P) điểm M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3) - Nếu phương trình (1) có vơ số nghiệm d thuộc (P) x 1 2t Ví dụ Xét vị trí tương đối đường thẳng d : y t mặt phẳng (P): z t 2x – y – z = Lời giải: Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được: 2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = + 4t + t + – t = 4t + = t = - Suy đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) M( -1; 1; - 3) B Bài tập tự luyện Bài Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp: a) Đi qua hai điểm A( -2; 0; 1) B(1; 1; 1) x 1 2t b) Đi qua A( -2; 1; 1) song song với đường thẳng y t z t c) Đi qua M(0; -2; 1) vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y – z + = Lời giải: a) Đường thẳng AB qua điểm A(-2; 0; 1) nhận vecto AB(3; 1; 0) làm vecto x 3t phương nên có phương trình: y t z 1 b) Đường thẳng cho có vecto phương a (2; 1;1) Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng vecto phương d a (2; 1;1) x 2t Phương trình tham số d y t z 1 t c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: n(1;2; 1) Vì d vng góc với (P) nên vecto phương d n(1;2; 1) x t Phương trình tham số d y 2 2t z t Bài Xét vị trí tương đối hai đường thẳng sau: x 2t x t ' a) d : y t ; d ' : y t ' ; z 1 t z t ' x 2t x t ' b) d : y 2t ; d ' : y t ' z 4t z t ' Lời giải: a) Đường thẳng d d’ có vecto phương là: a (2; 1; 1) ; a ' (1;1;1) Không tồn số thực k để a k.a ' nên hai đường thẳng cắt chéo 2t t ' (1) ; (I) Xét hệ phương trình: t t ' (2) t t ' (3) 2 Giải hệ phương trình (1) (2) ta được: t ; t ' 3 Thay vào (3) ta thấy khơng thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm nên hai đường thẳng cho chéo b) Đường thẳng d d’ có vecto phương là: a (2; 2; 4) ; a ' (1; 1; 2) Đường thẳng d qua điểm M(-2; 1;1) Ta thấy: a 2.a ' điểm M không thuộc đường thẳng d’ nên hai đường thẳng song song với Bài Tìm số điểm chung đường thẳng d mặt phẳng (P) biết: x t a) d: y 2t (P): x – y + 2z = z x 2 t b) d: y 2 t (P): x +2z – = z 2t Lời giải: a) Lấy điểm M( 1+ t; -2t; 4) thuộc d Thay tọa độ M vào (P) ta được: + t – (- 2t) + = + t + 2t + = 3t t = -3 Suy đường thẳng d cắt (P) M( -2; 6; 4) b) Lấy điểm M( - 2- t; - + t; 2t) thuộc d Thay tọa độ M vào (P) ta được: - – t + 2.2t – = 3t – = t = Suy ra, đường thẳng d cắt (P) M( -4; 0; 4) ... 2x – y – z = Lời giải: Lấy điểm M( 1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được: 2( 1+ 2t) – (- t) – (- 2+ t) = + 4t + t + – t = 4t + = t = - Suy đường. .. phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường x x a 1t thẳng d: y y0 a t z z a t Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = ( t ẩn ) (1) - Nếu phương trình (1)... phương nên có phương trình: y t z 1 b) Đường thẳng cho có vecto phương a (2; 1;1) Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng vecto phương d a (2; 1;1) x 2t Phương