Lý thuyết hai mặt phẳng song song (mới 2022 + bài tập) toán 11

Bài 4 Hai mặt phẳng song song A Lý thuyết I Định nghĩa Hai mặt phẳng (α), (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung Khi đó ta kí hiệu (α) // (β) hoặc (β) // (α) II Tính chất Địn[.]

Bài Hai mặt phẳng song song A Lý thuyết I Định nghĩa Hai mặt phẳng (α), (β) gọi song song với chúng khơng có điểm chung Khi ta kí hiệu (α) // (β) (β) // (α) II Tính chất - Định lí Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song với mặt phẳng (β) (α) song song với (β) a,b     ,a  b  M   Ta có: a //         //     b //     - Định lí Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho - Hệ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) qua d có mặt phẳng song song với (α) - Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với - Hệ Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) Mọi đường thẳng qua A song song với (α) nằm mặt phẳng qua A song song với (α) - Định lí Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với    //     a           a // b  b         - Hệ Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng     //    a      A,b      A  a      B,b      B   AA  BB  AA           BB          Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm SA, SD AB Chứng minh: a) M, N, O, P đồng phẳng b) mp(MON) // mp(SBC) Lời giải: S M N P A B O D C a) Ta có MN đường trung bình tam giác SAD nên MN // AD (1) Và OP đường trung bình tam giác ABC nên OP // BC // AD (2) Từ (1) (2) suy MN // OP // AD nên điểm M, N, O, P đồng phẳng   MP // SB  OP // BC b) Vì  MP, OP  (MNOP)  SB, BC  (SBC) Suy ra, (MNOP) // (SBC) hay (MON) // (SBC) Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi I trung điểm A’B’ Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện hình gì? Lời giải: B' C' I M A' D' B A C D - Ta tìm giao tuyến mp(IBD) (A’B’C’D’) BD // B'D'   BD  (IBD); B'D'  (A 'B'C'D')  I chung  Suy ra, giao tuyến (IBD) với (A’B’C’D’) đường thẳng d qua I song song với BD - Trong mặt phẳng (A’B’C’D’), gọi M giao điểm d A’D’ Suy ra, IM // BD // B’D’ Khi thiết diện tứ giác IMDB tứ giác hình thang III Định lí Ta – let (Thalès) - Định lí (định lí Ta- let) Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ - Nếu d, d’ hai cát tuyến cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (  ) điểm A, B, C A’, B’, C’ thì: AB BC CA   A 'B' B'C' C'A ' IV Hình lăng trụ, hình hộp Cho hai mặt phẳng song song (α) (α’) Trên (α) cho đa giác lồi A1A2…An Qua đỉnh A1, A2, , An ta vẽ đường thẳng song song với cắt (α’) A'1,A'2 ,A'n Hình gồm hai đa giác A1A2…An, A'1 A'2 A'n hình bình hành A1A1’A2’A2; A2A2’A3’A3,…, AnAn’A1’A1 gọi hình lăng trụ kí hiệu A1A2…An A'1 A'2 A'n - Hai đa giác A1A2…An, A'1 A'2 A'n gọi hai mặt đáy hình lăng trụ - Các đoạn thẳng A1A’1, A2A2’,…., AnAn’ gọi cạnh bên hình lăng trụ - Các hình bình hành A1A1’A2’A2, A2A2’A3’A3, …, AnAn’A1’A1 gọi mặt bên hình lăng trụ - Các đỉnh hai đa giác gọi đỉnh hình lăng trụ - Nhận xét: + Các cạnh bên hình lăng trụ song song với + Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành + Hai mặt đáy hình lăng trụ hai đa giác Người ta gọi tên hình lăng trụ dựa vào tên đa giác đáy, chẳng hạn: + Hình lăng trụ có đáy hình tam giác gọi hình lăng trụ tam giác + Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp V Hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp S.A1A2…An ; mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy hình chóp cắt cạnh SA1, SA2, …,SAn A1’; A2’, , An’ Hình tạo thiết diện A1’A2’ An’ đáy A1A2…An hình chóp với tứ giác A1A1’A2’A2, A2A2’A3’A3,…, AnAn’A1’A1 gọi hình chóp cụt Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, cịn thiết diện A1’A2’ An’ gọi đáy nhỏ hình chóp cụt Các tứ giác A1A1’A2’A2, A2A2’A3’A3,…, AnAn’A1’A1 gọi mặt bên hình chóp cụt Các đoạn thẳng A1A’1, A2A2’,…., AnAn’ gọi cạnh bên hình chóp cụt - Tính chất hình chóp cụt (1) Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng (2) Các mặt bên hình thang (3) Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm B Bài tập tự luyện Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’ Chứng minh: B’C // (AHC’) Lời giải: C A M B A' C' H B' - Gọi M trung điểm AB Suy AMB’H hình bình hành Do đó, MB’// AH mà AH  mp(AHC') nên MB’// mp(AHC’) ( 1) - Vì MH đường trung bình hình bình hành ABB’A’ Suy MH song song BB’ nên MH song song CC’  MHC’C hình hình hành Suy ra: MC // HC’ mà HC'  mp(AHC') nên MC // (AHC’) ( 2) Từ (1) (2), suy (B’MC) // (AHC’) Suy ra, B’C // (AHC’) Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ tia Ax, By, Cz, Dt song song, hướng không nằm mp (ABCD) Mp(α) cắt Ax, By, Cz, Dt A’, B’, C’, D’ Chứng minh: a) mp (AA’B’B) // (DD’C’C) b) A’B’C’D’ hình bình hành c) OO’ // AA’ Trong O tâm hình bình hành ABCD, O’ giao điểm A’C’ B’D’ Lời giải: a) Ta có : AB // DC AA // DD      ABBA  //  DDCC  AB,AA   ABBA   DC,DD   DDCC   b) Tương tự câu a, ta chứng minh (ADD’A’) // (BCC’B’)      ABBA  AB   Vì      DCCD   CD  AB // CD (1)  ABBA //  DCCD       ADDA  AD       BCCB   CB   AD // CB  ADDA //  BCCB  (2) Từ (1), (2) suy tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành c) Do O O’ trung điểm AC A’C’ (tính chất hình bình hành) nên OO’ đường trung bình hình thang AA’C’C Do OO’// AA’ Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M N trung điểm BB’ CC’ Gọi ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (AMN) (A’B’C’) Chứng minh ∆ // BC Lời giải: C' A' B' N M A C B Do M N trung điểm BB’ CC’ nên MN đường trung bình hình bình hành BCC’B’ nên MN // B’C’ Ta có: MN  (AMN); B'C'  (A 'B'C')  MN // B'C'   (AMN)  (A 'B'C')    Suy ra: ∆ // MN // B’C’ (1) Lại có BCC’B’ hình bình hành nên BC // B’C’ (2) Từ (1) (2) suy ∆ // BC Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Tam giác SBD Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A C) Thiết diện (P) hình chóp hình gì? Lời giải: S P C B O I D N M A - Gọi MN giao tuyến mặt phẳng (P) mặt đáy (ABCD) (P) // (SBD)   Vì  (P)  (ABCD)  MN (SBD)  (ABCD)  BD  Suy MN // BD (tính chất) - Lập luận tương tự, ta có (P) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP // SD (P) cắt mp (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP // SB Vậy tam giác PMN đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện (P) hình chóp S.ABCD tam giác MNP  ... đường thẳng qua A song song với (α) nằm mặt phẳng qua A song song với (α) - Định lí Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với    //...- Hệ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) qua d có mặt phẳng song song với (α) - Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với - Hệ Cho điểm A không... trụ - Các đỉnh hai đa giác gọi đỉnh hình lăng trụ - Nhận xét: + Các cạnh bên hình lăng trụ song song với + Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành + Hai mặt đáy hình lăng trụ hai đa giác Người