Bài 2 Hai đường thẳng vuông góc A Lý thuyết I Tích vô hướng của hai vecto trong không gian 1 Góc giữa hai vecto trong không gian Định nghĩa Trong không gian, cho u; v là hai vecto khác vecto không Lấy[.]
Bài Hai đường thẳng vng góc A Lý thuyết I Tích vơ hướng hai vecto khơng gian Góc hai vecto khơng gian - Định nghĩa Trong không gian, cho u ; v hai vecto khác vecto- khơng Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm cho AB u; AC v Khi đó, ta gọi góc BAC (00 BAC 1800 ) góc hai vecto u ; v khơng gian Kí hiệu ( u ; v ) Tích vơ hướng hai vecto không gian - Định nghĩa: Trong khơng gian có hai vecto u ; v khác vecto- khơng Tích vơ hướng hai vecto u ; v số, kí hiệu u v , xác định công thức: u.v u v cos u; v Trường hợp u v ta quy ước: u v = Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA= SB= SC ASB BSC CSA Hãy xác định góc cặp vectơ SC AB ? Lời giải : S C A B Ta có SC.AB SC SB SA SC SB cos SC.SB SC.SB SC.SA SC SA cos SC.SA SC.SB.cos BSC SC.SA.cos ASC Vì SA= SB= SC ASB BSC CSA SC.AB Ta lại có: SC.SA cos SC,SA Do SC; AB SC SA cos SC,SA 90 II Vecto phương đường thẳng Định nghĩa Nếu a khác vecto - không gọi vecto phương đường thẳng d giá vecto a song song trùng với đường thẳng d Nhận xét a) Nếu a vecto phương đường thẳng d vecto ka (k 0) vecto phương d b) Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc đường thẳng d vecto phương c) Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vecto phương phương III Góc hai đường thẳng khơng gian Định nghĩa: Góc hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b Nhận xét a) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại b) Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b (u; v) góc hai đường thẳng a b 00 900 1800 900 1800 Nếu a b song song trùng góc chúng 00 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc AC DA’ Lời giải: D' A' C' B' D A C B Gọi a độ dài cạnh hình lập phương Khi đó, tam giác AB’C (AB’ = B’C= CA = a ) Do B'CA 600 Lại có, DA’ song song CB’ nên (AC ; DA’) = (AC ; CB’) = B'CA 600 IV Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa Hai đường thẳng gọi vng góc góc chúng 900 Ta kí hiệu hai đường thẳng a b vng góc với a b Nhận xét a) Nếu u; v vecto phương hai đường thẳng a b a b u.v b) Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng c) Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB= AC= AD BAC BAD 600 ; CAD 900 Gọi I J trung điểm AB CD Chứng minh hai đường thẳng AB IJ vng góc với Lời giải: A I B D J C Xét tam giác ICD có J trung điểm đoạn CD IJ IC ID Tam giác ABC có AB = AC BAC 600 nên tam giác ABC CI AB (1) Tương tự, ta có tam giác ABD nên DI AB ( 2) Từ (1) (2) ta có : 1 IJ.AB IC ID AB IC.AB ID.AB 2 IJ AB IJ AB B Bài tập tự luyện a ( I; J trung điểm BC AD) Tính số đo góc hai đường thẳng AB CD: Bài Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ A Lời giải: Gọi M; N trung điểm AC; BD Ta có: 1 a MI NI AB CD 2 MINJ hình thoi MI // AB // CD // NI Gọi O giao điểm MN IJ Ta có: MIN 2MIO Xét tam giác MIO vuông O, ta có: J M O B N I C D a IO cos MIO MIO 30 MIN 60 a MI 2 Mà: AB,CD IM,IN MIN 60 Bài Cho tứ diện ABCD có BA = CD Gọi I ; J ; E ; F trung điểm AC ; BC ; BD ; AD Tính góc ( IE ; JF) Lời giải : A F I D B E J C IF CD Ta có IF đường trung bình tam giác ACD Lại có JE đường trung bình tam giác BCD ( 1) CD JE CD ( 2) JE CD IF Từ (1) (2) suy : IF = JE IF// JE Suy ra, tứ giác IJEF hình bình hành IJ AB Mặt khác: Mà AB= CD nên IJ= JE JE CD Do IJEF hình thoi Suy ( IE ; JF) = 900 Bài Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng: A C B M D Lời giải : Gọi M trung điểm CD Tam giác ACD tam giác BCD tam giác ( ABCD tứ diện đều) có AM ; BM hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời đường cao CD AM 0; CD MB 0; Do CD.AB Suy AB CD AM MB CD.AM CD.MB CD nên số đo góc hai đường thẳng AB CD 900 ... B''CA 600 IV Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa Hai đường thẳng gọi vng góc góc chúng 900 Ta kí hiệu hai đường thẳng a b vng góc với a b Nhận xét a) Nếu u; v vecto phương hai đường thẳng a b... lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại b) Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b (u; v) góc hai đường thẳng a b 00 ... hai đường thẳng a b a b u.v b) Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng c) Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo Ví dụ Cho tứ diện ABCD