Các dạng toán về phương trình đường thẳng và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ a khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song[.]
Các dạng tốn phương trình đường thẳng cách giải I LÝ THUYẾT Vectơ phương đường thẳng - Vectơ a khác vectơ – không gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d - Nếu a vectơ phương đường thẳng d vectơ ka với k vectơ phương đường thẳng d đường thẳng d có vơ số vectơ phương vectơ phương phương - Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d vectơ phương a Phương trình tham số – Phương trình tắc đường thẳng - Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( x ; y ;z ) có vectơ phương a = ( a1;a ;a ) (với a12 + a 22 + a 32 ) phương trình có dạng x = x + a 1t d : y = y0 + a t t tham số z = z + a t - Nếu a1a 2a ta viết phương trình đường thẳng d dạng tắc x − x y − y0 z − z = = sau: d : a1 a2 a3 II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Xác định vectơ phương (VTCP) đường thẳng Phương pháp giải: x = x + at Đường thẳng (d) : y = y + bt ( t z = z + ct ) , (d) : qua M ( x ; y ;z ) có VTCP u = ( a;b;c ) u VTCP d ku VTCP d x − x y − y0 z − z = = d a b c Một số dạng thường gặp: +) d qua hai điểm A, B AB VTCP d +) ( d ) ⊥ ( P ) : Ax + By + Cz + D = (A; B; C) VTCP d +) ( d ) () mà ( ) có VTCP u u VTCP d +) ( d ) = ( P ) ( Q ) u = n P ,n Q VTCP d +) ( d ) ⊥ ( d1 ) ( d ) ⊥ ( d ) u = u d1 ,u d2 VTCP d +) ( d ) (P) ( d ) ⊥ ( ) u = n P ,u VTCP d Ví dụ 1: Trong khơng gian cho A (1; 1; 0) B (0; 1; 2) Vectơ sau VTCP đường thẳng AB? A c = (1;2; ) B a = ( −1;0;2 ) C b = ( −1;1;2 ) D d = ( −1;0; −2 ) Hướng dẫn giải: Một vectơ phương đường thẳng AB AB = ( −1;0;2 ) Chọn B Ví dụ 2: Cho (P): 3x – y + 2z – = (Q): x + 3y – 2z + = Biết d giao tuyến (P) (Q), VTCP d là: A u = ( −2; 4;5 ) B u = ( 3; −1; ) C u = (1;3; −2 ) D u = ( 5; 4; −2 ) Hướng dẫn giải: (P) có vectơ pháp tuyến n ( P ) = ( 3; − 1;2 ) (Q) có vectơ pháp tuyến n ( Q ) = (1;3; − ) Vì d là giao tuyến (P) (Q) nên ta có u d = n P ,n Q = ( −4;8;10 ) = ( −2;4;5) Ta chọn VTCP u = ( −2; 4;5 ) Chọn A Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm biết vectơ phương Phương pháp giải: a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( x o ; y o ;z o ) có vectơ phương u = ( u1;u ;u ) x = x o + u1t +) Phương trình tham số đường thẳng là: y = y o + u t ( t z = z + u t o +) Phương trình tắc đường thẳng là: ) x − x y − yo z − zo = = u1 u2 u3 b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B +) Xác định vectơ phương u = AB +) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A có VTCP AB c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng d +) Xác định vectơ phương đường thẳng u = u d +) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M có VTCP u Chú ý: Các trường hợp đặc biệt Nếu đường thẳng song song với trục Ox có VTCP u = i = (1; 0; ) Nếu đường thẳng song song với trục Oy có VTCP u = j = ( 0; 1; ) Nếu đường thẳng song song với trục Oz có VTCP u = k = ( 0; 0; 1) d) Loại 4: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( ) +) Xác định vectơ phương đường thẳng u = n +) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M có VTCP u Chú ý: Các trường hợp đặc biệt Nếu vng góc với mặt phẳng (Oxy) có VTCP u = k = ( 0;0;1) Nếu vng góc với mặt phẳng (Oxz) có VTCP u = j = ( 0;1;0 ) Nếu vuông góc với mặt phẳng (Oyz) có VTCP u = i = (1;0;0 ) Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M (1; 2; -3) có vectơ phương u = ( 3; − 2;7 ) x = + 3t A y = − 2t z = −3 + 7t x = + t B y = −2 + 2t z = − 3t x = −3 + 7t C y = − 2t z = + 3t x = + 3t D y = + 2t z = + 7t Hướng dẫn giải: x = + 3t Phương trình tham số đường thẳng là: y = − 2t z = −3 + 7t Chọn A Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (2; 3; -1), B (1; 2; 4), phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B x = + t A y = + 2t z = −1 + 4t x = + 2t B y = + 3t z = − t x = − t C y = − t z = −1 + 5t x = −1 + 2t D y = −1 + 3t z = − t Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua điểm A nhận AB = ( −1; − 1;5 ) làm vectơ phương x = − t Nên phương trình đường thẳng d là: y = − t z = −1 + 5t Chọn C Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng x + y−5 z −2 = = qua điểm M (4; -2; 2) song song với đường thẳng d : x = + 4t A y = −2 + 2t z = + 3t x = + 4t B y = − 2t z = + 2t x = − 2t C y = −2 + 5t z = + 2t x = + 4t D y = − 2t z = + 2t Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có vectơ phương u d = ( 4;2;3) Vì đường thẳng song song với đường thẳng d nên u = u d = ( 4;2;3) x = + 4t Vì qua điểm M nên ta có phương trình đường thẳng là: y = −2 + 2t z = + 3t Chọn A Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng qua điểm A (-2; 4; 3) vng góc với mặt phẳng ( ) : 2x – 3y + 6z + 19 = A x −2 y+4 z+3 = = −3 B x+2 y+3 z−6 = = C x + y−4 z −3 = = −3 D x +2 y−3 z+6 = = Hướng dẫn giải: Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến n = ( 2; − 3;6 ) Vì đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ) nên u = n = ( 2; − 3;6 ) Vì qua điểm A (-2; 4; 3) nên phương trình đường thẳng là: x + y−4 z −3 = = −3 Chọn C Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm, cắt d1 thỏa mãn điều kiện khác a) Loại 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M ( x o ; y o ;z o ) , vng góc cắt đường thẳng d Phương pháp giải: Gọi H = ( ) d Tìm tọa độ điểm H từ điều kiện MH.u d = đường thẳng qua điểm M H Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (2; 3; -1) đường x y z−3 Gọi đưởng thẳng qua M, vng góc cắt d Viết thẳng ( d ) : = = phương trình A x − y + z +1 = = −5 32 B x + y + z −1 = = 32 C x − y − z +1 = = −32 D x − y − z +1 = = 32 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d có vectơ phương u d = ( 2;4;1) Gọi N giao điểm d Vì N d N (2t; 4t; + t) Suy MN = ( 2t − 2; 4t − 3; t + ) Vì ⊥ d MN.u d = ( 2t − ) + ( 4t − 3) + t + = t = 32 Khi đó: MN = − ; − ; = −7 ( 6;5; − 32 ) 7 Suy có vectơ phương u = ( 6;5; − 32 ) Mà qua M nên phương trình đường thẳng ( ) : x − y − z +1 = = −32 Chọn C b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với đường thẳng d cắt đường thẳng d Phương pháp giải: Gọi B = d Tìm tọa độ điểm B từ điều kiện AB.u d1 = đường thẳng qua điểm A, B Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -1; 3) hai đường x − y + z −1 x − y +1 z −1 = = , d2 : = = thẳng: d1 : −2 −1 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A vng góc với đường thẳng d cắt đường thẳng d A x −1 y +1 z − = = 4 B x −1 y +1 z − = = C x −1 y +1 z − = = −1 −1 D x −1 y +1 z − = = −2 Hướng dẫn giải: x = + t Gọi M = d d , d : y = −1 − t M ( t + 2, − t − 1, t + 1) z = + t Đường thẳng d nhận AM = ( t + 1; − t;t − ) VTCP Đường thẳng d có vectơ phương u1 = (1;4; − ) Ta có: d ⊥ d1 AM.u = ( t + 1) − 4t − ( t − ) = t = AM = ( 2; − 1; − 1) Đường thẳng d qua A (1; -1; 3) nhận AM = ( 2; − 1; − 1) VTCP nên phương trình đường thẳng d d : x −1 y +1 z − = = −1 −1 Chọn C Loại 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng d d Phương pháp giải: Gọi A, B giao điểm d d , d d Đường thẳng d qua M nên A, B, M thẳng hàng MA, MB phương MA = kMB Từ tìm A B Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (2; -1; -6) hai x −1 y −1 z +1 x + y +1 z − = = = = đường thẳng d1 : , d2 : Đường thẳng 2 −1 qua điểm M cắt hai đường thẳng d , d hai điểm A, B Độ dài đoạn thẳng AB A 38 B 10 C D 12 Hướng dẫn giải Vì A thuộc d1 : x −1 y −1 z +1 = = nên A (1 + 2t; – t; -1 + t) −1 Vì B thuộc d : x + y +1 z − = = nên B (-2 + 3t’; -1 + t’; + 2t’) Suy MA = ( 2t − 1;2 − t;5 + t ) , MB = ( −4 + 3t;t;8 + 2t ) Ta có A, B, M thẳng hàng 2t − = k ( 3t '− ) t = MA = kMB 2 − t = kt ' t ' = t + = k 2t '+ ( ) k = Với t = 1, t’ = ta A (3; 0; 0), B (4; 1; 6), suy AB = ( − 3) + 12 + 62 = 38 Chọn A III BÀI TẬP ÁP DỤNG x = + 2t Câu 1: Trong không gian cho đường thẳng d : y = − t Một vectơ phương z = d là: A u = ( 2; −1;2 ) B u = ( 3;0;2 ) C u = ( 2;0;2 ) D u = ( 2; −1;0 ) Câu 2: Trong không gian cho M (1; 2; 3) Gọi M1 , M hình chiếu M lên Ox, Oy Vectơ sau VTCP M1M ? A u = ( 0;2;0 ) B u = (1;2;0 ) C u = (1;0;0 ) D u = ( −1;2;0 ) Câu 3: Trong không gian cho điểm A (0; 1; 2) mặt phẳng (P): 2x – y + z – = x = + t Đường thẳng qua A, cắt d : y = −4t song song với (P) có VTCP là: z = A u = ( 2; −1;1) B u = (1;3;1) ( ) C u = 1;1; −1 D u = ( 2; 2;1) Câu 4: Trong không gian cho đường thẳng d có phương trình x−2 −1 = y = z −1 Một vectơ phương d A u = ( 0;2;1) B u = ( −2;0; −1) C u = ( −1;2;3) D u = (1;2;3) Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A (3; -2; 0), B (1; 1; 4), C (-5; 3; 2), viết phương trình đường thẳng AM với M trung điểm đoạn thẳng BC A x −3 y+2 z = = −6 −2 B x −3 y+2 z = = −2 C x+3 y+2 z = = −5 D x −3 y+2 z = = −5 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng d qua điểm M (5; -1; 3) vng góc với mặt phẳng (Oxy) x = + t A y = −1 + t z = x = B y = −1 z = + t x = 5t C y = − t z = + 3t x = + 5t D y = − t z = 3t Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; 4), B (-1; 5; 1), C (3; 2; 1) mặt phẳng ( ) : - x + 4y – 2z + = Phương trình phương trình đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với ( ) A x +1 y + z + = = −1 −2 B x +1 y − z + = = C x −1 y + z − = = D x −1 y − z − = = −1 −2 x y z+3 , điểm A Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho d : = = (3; 2; 1) Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt đồng thời vng góc với đường thẳng d x = + 3t A y = − 5t z = + 4t x = + 3t B y = − 5t z = + 4t x = + 9t C y = − 10t z = + 22t x = + 9t D y = − 10t z = + 22t Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M (-1; 2; -3) song song với đường thẳng x y +1 1− z d: = = 2 x = −1 + 2t A y = + 2t z = −3 + 3t x = + 2t B y = + 2t z = + 3t x = −1 + 2t C y = − 2t z = −3 − 3t x = −1 + 2t D y = + 2t z = −3 − 3t Câu 10: Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm A (3; -1; -4) cắt trục Oy song song với mặt phẳng (P): 2x + y = x − y −1 z + = = − A x − y +1 z + = = − −4 B x − y +1 z + = = C −3 x + y −1 z + = = D ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp D D B C D B D D A C án ... phương u = AB +) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A có VTCP AB c) Loại 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng d +) Xác định vectơ phương đường thẳng. .. +) Phương trình tham số đường thẳng là: y = y o + u t ( t z = z + u t o +) Phương trình tắc đường thẳng là: ) x − x y − yo z − zo = = u1 u2 u3 b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng. .. vectơ phương u = ( 6;5; − 32 ) Mà qua M nên phương trình đường thẳng ( ) : x − y − z +1 = = −32 Chọn C b) Loại 2: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A vng góc với đường thẳng d cắt đường