Đang tải... (xem toàn văn)
Các bài toán về phương trình mặt phẳng và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Cho mặt phẳng ( ) Nếu vectơ n 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( ) thì n là vectơ pháp tuyến (VTP[.]
Các tốn phương trình mặt phẳng cách giải I LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Cho mặt phẳng ( ) Nếu vectơ n có giá vng góc với mặt phẳng ( ) n vectơ pháp tuyến (VTPT) ( ) Chú ý: +) Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) kn (k 0) VTPT mặt phẳng ( ) +) Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT +) Nếu u, v có giá song song nằm mặt phẳng ( ) n = [u, v] VTPT ( ) Phương trình tổng quát mặt phẳng Phương trình: Ax + By + Cz + D = với A + B2 + C2 gọi phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét: +) Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = có VTPT n = (A;B;C) +) Phương trình mặt phẳng qua điểm M0 (x ;y0 ;z0 ) nhận vectơ n = (A;B;C) khác làm VTPT là: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = x y z + + = Ở ( ) cắt a b c trục tọa độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) với abc II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA +) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến mặt phẳng Phương pháp giải: Cho mặt phẳng ( ) có phương trình Ax + By + Cz + D = Khi mặt phẳng ( ) có VTPT n = (A;B;C) Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 4y + = Vectơ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P)? A n = ( 2;4;0 ) B n1 = ( −1;2;0 ) C n = ( 0;2; − ) D n = ( 2; − 4;5) Hướng dẫn giải: Ta có (P): 2x – 4y + = có vectơ pháp tuyến n = ( 2; − 4;0 ) = −1 ( −1;2;0 ) Vậy vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n1 = ( −1;2;0 ) Chọn B Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm qua vectơ pháp tuyến Phương pháp giải: Cho mặt phẳng ( ) qua điểm M0 (x ;y0 ;z0 ) nhận vectơ n = (A;B;C) làm vectơ pháp tuyến Khi phương trình mặt phẳng ( ) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm A (2; 0; -2) nhận n = (1;2;3) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình A x + 2y + 3z + = B x + 2y + 3z – = C x – z + = D x – z – = Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 1(x – 2) + 2(y – 0) + 3[z – (-2)] = x + 2y + 3z + = Chọn A Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M song song với mặt phẳng (P) cho trước Phương pháp giải: +) Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) +) Từ viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M có vectơ pháp tuyến n () = n (P) Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng (Q) qua điểm A (1; 2; -1) song song với ( ) : 3x + 4y – z + = có phương trình A 3x + 4y − z − 12 = B 3x + 4y − z + 10 = C 3x + 4y − z − 10 = D 3x + 4y − z + 12 = Hướng dẫn giải: ( ) có vectơ pháp tuyến n () = ( 3;4; − 1) Do ( Q ) // ( ) n ( Q ) = ( 3;4; −1) Vì (Q) qua A (1; 2; -1) nên phương trình mặt phẳng (Q) là: 3(x – 1) + 4(y – 2) – 1(z + 1) = 3x + 4y – z – 12 = Chọn A Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) Phương pháp giải: Gọi n ( ) , n ( P ) , n ( Q ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) , (P), (Q) Vì mặt phẳng ( ) vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) nên ta có n ( ) ⊥ n ( P ) n ( ) = n ( P ) ,n ( Q ) n ⊥ n (Q) () Từ viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M có vectơ pháp tuyến n ( ) tính phía Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + = (Q): 5x – 4y + 3z + = Gọi (R) mặt phẳng qua gốc toạ độ O vng góc với (P) (Q) Khi phương trình mặt phẳng (R) A 2x – y + 2z = B 2x + y – 2z = C 2x + y – 2z + = D 2x – y – 2z = Hướng dẫn giải: Gọi n1 , n , n véctơ pháp tuyến (P), (Q), (R) Theo ta có n1 = ( 3; −2;2 ) , n = ( 5; −4;3) Vì mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) nên ta có: n ⊥ n1 n = n1 ,n = ( 2;1; −2 ) n ⊥ n Vì (R) mặt phẳng qua gốc toạ độ O (0; 0; 0) nên phương trình mặt phẳng (R) là: 2(x – 0) + 1(y – 0) – 2(z – 0) = 2x + y – 2z = Chọn B Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) Phương pháp giải: Gọi n ( ) , n ( P ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) mặt phẳng (P) Vì mặt phẳng ( ) qua A, B vng góc với mặt phẳng (P) nên ta có: n ( ) ⊥ n ( P ) n ( ) = n ( P ) ,AB n ( ) ⊥ AB Từ viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B) có vectơ pháp tuyến n ( ) tính phía Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) qua A (2; -1; 4), B (3; 2; -1) vng góc với mặt phẳng (Q): x + y + 2z – = Khi mặt phẳng (P) có phương trình A 11x + 7y – 2z – 21 = B 11x + 7y + 2z + 21 = C 11x – 7y – 2z – 21 = D 11x – 7y + 2z + 21 = Hướng dẫn giải: Ta có: AB = (1;3; −5) , vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) n Q = (1;1;2) Mặt phẳng (P) qua A, B vuông góc với mặt phẳng (Q) nhận AB,n Q = (11; −7; −2) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình: 11(x – 2) – 7(y + 1) – 2(z – 4) = 11x – 7y – 2z – 21 = Chọn C Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A, B, C cho trước Phương pháp giải: Gọi n ( ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ) Vì mặt phẳng ( ) qua A, B, C nên ta có n ( ) ⊥ AB n ( ) = AB,AC n ( ) ⊥ AC Từ viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A (hoặc B, C) có vectơ pháp tuyến n ( ) tính phía Ví dụ 6: Cho M (0; 3; -5), N (1; 0; 6), E (-4; 3; 0) Phương trình mặt phẳng (MNE) là: A 15x + 49y + 12z − 87 = B 15x + 49y − 12z − 207 = C 15x + 49y + 12z + 87 = D 5x + 13y + 4z − 19 = Hướng dẫn giải: Ta có MN = (1; − 3;11) , ME = ( −4;0;5 ) nên MN,ME = ( −15; − 49; − 12 ) = − (15;49;12 ) Suy phương trình mặt phẳng (MNE) có vectơ pháp tuyến n = (15;49;12 ) Vì mặt phẳng (MNE) qua N (1; 0; 6) nên phương trình mặt phẳng (MNE) 15(x – 1) + 49(y – 0) + 12(z – 6) = 15x + 49y + 12z – 87 = Chọn A Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) ( abc ) (Phương trình đoạn chắn) Phương pháp giải: Nếu mặt phẳng ( ) qua ba điểm A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) ( abc ) phương trình ( ) có dạng () : x y z + + =1 a b c Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2) A x y z + + =1 -3 −4 B x y z − + =1 -3 −2 C x y z + + =1 −4 D x y z + + =1 -3 −2 Hướng dẫn giải: Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; -2), phương trình mặt phẳng (P) là: x y z + + =1 -3 −2 Chọn D Dạng 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, mặt phẳng (P) qua điểm A, B tạo với mặt phẳng (Q) góc bằng Viết phương trình mặt phẳng (P) Phương pháp giải: + Gọi phương trình mặt phẳng (P) ax + by + cz + d = ( a + b2 + c2 ) + Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) (Q) n P = ( a;b;c ) , n Q + Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm hai mối liên hệ a, b, c, d ( ) + Áp dụng điều kiện góc hai mặt phẳng cos = cos n P ;n Q = n P n Q , tìm nP nQ mối liên hệ a, b, c, d, khử điều kiện để tìm mối liên hệ a, b (hoặc b, c; a, c) + Từ mối liên hệ a, b ta chọn a để tìm b suy phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 0; 0) N (0; 0; -1), mặt phẳng (P) qua điểm M, N tạo với mặt phẳng (Q): x – y – = góc 450 Phương trình mặt phẳng (P) y = A 2x − y − 2z − = y = B 2x − y − 2z + = 2x − y − 2z + = C 2x − y − 2z − = 2x − 2z + = D 2x − 2z − = Hướng dẫn giải: Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) (Q) n P = ( a;b;c ) , n Q Suy n Q (1; −1;0 ) + Gọi phương trình mặt phẳng (P) ax + by + cz + d = ( a + b2 + c2 ) + (P) qua M (1; 0; 0) a + d = (1) (P) qua N (0; 0; -1) -c + d = (2) Từ (1) (2) suy a + c = hay c = -a + (P) hợp với (Q) góc 450 ( ) cos n P ,n Q = cos450 a−b a + b + ( −a ) 2 a−b a + b2 + c2 = =1 | a − b |= 2a + b2 ( a − b ) = 2a + b2 a = a + 2ab = a ( a + 2b ) = a = −2b Với a = c = 0, chọn b = ta phương trình (P): y = Với a = -2b chọn b = -1 suy a = 2, phương trình mặt phẳng (P): 2x – y – 2z – = Chọn A Dạng 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm A, B, C Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) bằng d Phương pháp giải: + Gọi phương trình mặt phẳng (P) ax + by + cz + d = ( a + b2 + c2 ) + Mặt phẳng (P) qua A, B nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P) tìm hai mối liên hệ a, b, c, d + Áp dụng điều kiện khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ax + byC + cz C + d d ( C; ( P ) ) = C = d tìm mối liên hệ a, b, c, d; khử điều 2 a +b +c kiện để tìm mối liên hệ a, b (hoặc b, c; a, c) + Từ mối liên hệ a, b chọn để tìm b suy phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (-1; 1; 0), B (0; 0; -2) C (1; 1;1 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) 5x − y + 3z + = A 7x + 5y + z + = x − y + z + = B 7x + 5y + z + = 5x − y + 3z + = C x − y + z + = x − y + z − = D 7x + 5y + z − = Hướng dẫn giải: + Gọi n = (a;b;c) véctơ pháp tuyến (P) + Gọi phương trình mặt phẳng (P) ax + by + cz + d = ( a + b2 + c2 ) + (P) qua A (-1; 1; 0) -a + b + d = Suy b + d = a (1) (P) qua B (0; 0; -2) -2c + d = Suy d = 2c (2) Từ (1) (2) suy b = a – d = a – 2c d ( C; ( P ) ) = a+b+c+d a +b +c | 2a + c | a + ( a − 2c ) + c 2 2 = = | 2a + c |= 2a + 5c − 4ac ( 2a + c ) = ( 2a + 5c2 − 4ac ) 2a − 16ac + 14c2 = a = c ( a − c )( a − 7c ) = a = 7c + a = c chọn a = c = phương trình mặt phẳng (P) : x – y + z + = + a = 7c chọn a = ; c = phương trình mặt phẳng (P) : 7x + 5y + z + = Chọn B III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2x + 3z – = Vectơ vectơ pháp tuyến ( ) ? A n = ( 2;3; − 1) B n = ( 2;3;0 ) C n = ( −2;0; − 3) D n = ( 2;0; − 3) Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (3; -2; 1) B (5; -4; 3) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình A x – y + z + = B x – y + z + 11 = C x – y + z – = D x – y + z – = Câu Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua điểm M (1; 2; 3) song song với mặt phẳng (P): x – 2y + z – = có phương trình A x – 2y + z = B x + 2y + 3z = C x – 2y + z + = D x – 2y + z – = Câu Phương trình mặt phẳng qua ba điểm M (0; 1; 2), N (-3; 0; 8), E (4; -5; 0) là: A 19x + 9y + 11z – 23 = B 19x + 15y + 11z – 37 = C 19x + 9y + 11z – 31 = D -17x + 9y + 11z – 31 = Câu Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (4; 3; 2), B (-1; -2; 1), C (-2; 2; -1) Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC A x – 4y – 2z – = B x – 4y – 2z + = C x – 4y + 2z + = D x + 4y – 2z – = Câu 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Mặt phẳng (P) qua điểm A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; -2) có phương trình A -2x + y + z – = B -2x – y – z + = C -2x + y – z – = D -2x + y – z + = Câu 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi ( ) mặt phẳng qua hình chiếu A (5; 4; 3) lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng ( ) x A + y + z =0 B 12x + 15y + 20z + 60 = C 12x + 15y + 20z – 60 = D x + y + z − 60 = Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – = (Q): x – y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P) (Q) cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (R) x − z + = A x − z − = x − z + = B x − z − = x − y + = C x − y − = x − y + = D x − y − = Câu 9: Trong không gian Oxyz biết mặt phẳng ax + by + cz + = qua A (1; 2; 3) vng góc với hai mặt phẳng (P): x + y + z – = 0, (Q): 2x – y + z – = Giá trị a + b - c A B C D Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho A (1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z – 15 = Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A khoảng 3 A x + y + z – 15 = x + y + z + = B x + y + z − 15 = C x + y + z + = x + y + z + = D x + y + z − = ĐÁP ÁN Câu Đáp án C D A C B C B A B 10 C ... nên phương trình mặt phẳng (Q) là: 3(x – 1) + 4(y – 2) – 1(z + 1) = 3x + 4y – z – 12 = Chọn A Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng (P) (Q) Phương. .. − 12 ) = − (15;49 ;12 ) Suy phương trình mặt phẳng (MNE) có vectơ pháp tuyến n = (15;49 ;12 ) Vì mặt phẳng (MNE) qua N (1; 0; 6) nên phương trình mặt phẳng (MNE) 15(x – 1) + 49(y – 0) + 12( z... + 2y + 3z – = C x – z + = D x – z – = Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 1(x – 2) + 2(y – 0) + 3[z – (-2)] = x + 2y + 3z + = Chọn A Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng ( )