Bai giang phuong trinh duong thang trong khong gian le hong duc

lê hồng đức nhóm cự môn hình học 12 Phương trình đường thẳng Bài giảng trình bày cho c¸c em häc sinh b»ng viƯc sư dơng gi¸o ¸n điện tử Người thực hiện: Lê hồng đức Điện thoại: 0936546689 Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Tây Hồ Hà Nội Đ3 Phương trình đường thẳng A giảng phương trình tham số đường thẳng Định lý 1: Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) qua điểm M0(x0; y0; z0) vµ cã vtcp  a (a1; a2; a3) có phương trình: x x + a1 t =  (1) (d): = y y0 + a2t , t ∈  = z z + a t Vậy, ta được: Qua M (x ;y ;z )  ⇔ (d): (d):   vtcp a(a1 ;a ;a ) x x + a1 t =  y y0 + a2t , t ∈  = = z z + a t Phương trình (1) với điều kiện a12 + a 22 + a 32 > gọi phương trình tham số đường thẳng Hoạt động Chứng minh kết Thí dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d), biết: a (d) qua điểm A(1; 2; 3) có vtcp a (2; −1; 0) b (d) ®i qua hai điểm A(2; 1; 3) B(3; 1; 5) Giải a Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch: Cách (Sử dụng công thức): Đường thẳng (d) cho bëi: Qua A(1;2;3)  (d):  ⇔ (d):  vtcp a(2; − 1; 0) x= + 2t  y= − t , t ∈  z = Cách (Sử dụng phương pháp quĩ tÝch): §iĨm M(x; y; z) ∈ (d) khi: 2t x − = x= + 2t       AM // a ⇔ AM = ta ⇔ y − =− t ⇔ y= − t , t ∈  z − = z = Đó phương trình tham số đường thẳng (d) cần tìm Chú ý: Lời giải cách ý tưởng để chứng minh định lí b Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch: C¸ch (Sử dụng công thức): Đường thẳng (d) cho bởi: Qua A(2;1; − 3) ⇔ (d): (d):  Qua B(3; − 1; 5) Qua A(2;1; − 3)  ⇔ (d):   vtcp AB(1; − 2; 8) x= + t  y= − 2t , t ∈  z =−3 + 8t  C¸ch (Sư dơng phương pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z) (d) khi: t x= + t x − =       AM // AB ⇔ AM = tAB ⇔ y − =−2t ⇔ y= − 2t , t ∈  z =−3 + 8t z + = 8t   §ã phương trình tham số đường thẳng (d) cần tìm Hoạt động Viết phương trình đường thẳng (d), biÕt:  a (d) ®i qua ®iĨm A(3; −2; −1) có vtcp a (3; 1; 2) b (d) qua hai điểm A(3; 2; 6) B(5; 4; 2) phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho (1) suy ra: x − x0 y − y0 z − z0 = = (2) a1 a2 a3 Phương trình (2) với điều kiện a1a2a3 gọi phương trình tắc đường thẳng Vậy, ta được: x − x0 y − y0 z − z0 Qua M (x ;y ;z )  (d):  ⇔ (d): = = a3 a1 a2  vtcp a(a1 ;a ;a ) Tõ ®ã, ®­êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iĨm M1(x1; y1; z1) vµ M2(x2; y2; z2), ta cã: Qua M1 (x1 ;y1 ;z1 ) Qua M1 (x1 ;y1 ;z1 )  (d):  ⇔ (d):   vtcp M1 M (x − x1 ;y − y1 ;z − z1 ) Qua M (x ;y ;z ) x =x1 + (x − x1 )t x − x1 y − y1 z − z1  ⇔ (d): y =y1 + (y − y1 )t , t ∈  hc (d): = = x − x1 y − y1 z − z1 z =z + (z − z )t  ThÝ dơ 2: Trong kh«ng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phương trình: (P): 2x + 2y + z − = 0, (Q): 2x − y − z + = a Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Gọi (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) b HÃy tìm tọa độ điểm thuộc (d) xác định tọa độ vtcp (d) c Viết phương trình tham số tắc đường thẳng (d) Giải  a Gäi n P , n Q theo thø tự vtpt mặt phẳng (P), (Q), ta cã:     n P (2; 2; 1), n Q (2; −1; −1) ⇒ n P vµ n Q không phương (P) (Q) = (d) b Đường thẳng (d) gồm điểm M(x; y; z) thỏa mÃn hệ phương trình: 2x + 2y + z − = ⇒ A(0; −1; 6) ∈ (d)  2x − y − z + = Gọi u vtcp đường thẳng (d), ta cã:   u ⊥ n P     1 2  ; ;    ⇔ u =  n P , n Q  =   = (−1; 4; −6)  −1 −1 −1 2 −1  u ⊥ n Q c Ta cã: x = −t Qua A(0; − 1;6)   ⇔ (d): y =−1 + 4t , t ∈  (d):   vtcp u(−1;4; − 6) z= − 6t   x y +1 z − hc (d):= = −1 Chú ý: Nếu thí dụ câu b) để "Viết phương trình tham số tắc đường thẳng (d)" cách giải c) thực theo cách sau: Cách 1: Tọa độ điểm thuộc đường thẳng (d) thỏa mÃn hệ phương trình: 2x + 2y + z − = ⇒ A(0; −1; 6) ∈ (d) vµ B(−1; 3; 0) ∈ (d)  2x − y − z + = Khi ®ã, ta được: Qua A(0; 1;6) Qua A (d) :  (d) :   vtcp AB(−1;4; − 6) Qua B x = −t x y +1 z −  ⇔ (d): y =−1 + 4t , t ∈  hc (d):= = −1 −6 z= 6t Cách 2: Tọa độ điểm thuộc đường thẳng (d) thỏa mÃn hệ phương trình: 2x + 2y + z − =  2x − y − z + = Trong hệ (I) cho x = t, ta được: 2y + z = − 2t y =−1 − 4t ⇔   y + z = + 2t z= + 6t (I) Vậy, phương trình tham số đường thẳng (d) có dạng: x = t  (d): y =−1 − 4t , t ∈  z= + 6t  Tõ hÖ (II), cách rút t, ta được: (II) x t =  x y +1 z −  y +1 ⇒= = t = −4 −4   z−6 t =  §ã chÝnh phương trình tắc đường thẳng (d) Hoạt động Cho hai mặt phẳng (P) (Q) có phương tr×nh: (P): x + 2y + 3z − = 0, (Q): 3x − y − z − = a Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) cắt b Gọi (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) HÃy tìm tọa độ điểm thuộc (d) xác định tọa độ vtcp (d) c Viết phương trình tham số tắc đường thẳng (d) Thí dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) vµ D(4; 1; 4) a Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bốn đỉnh hình tứ diện b Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ D c Tìm tọa độ hình chiếu H D mặt phẳng (ABC) Giải a Ta cã AB (1; 0; −1), AC (3; −1; −2), AD (3; −1; 1), tõ ®ã suy ra:    −1 −1 1   AB, AC  =  ; ;  = (−1; −1; −1),   −1 −2 −2 3 −1       AB, AC  AD = (−1; −1; −1)(3; −1; 1) = −3 + − = −3 ≠      Ba véctơ AB , AC AD không đồng phẳng Vậy, bốn điểm A, B, C, D bốn đỉnh hình tứ diện b Gọi (d) ®­êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ D, ta cã: Qua D Qua D    ⇔ (d):  (d):   AB, AC  vtcp a = (d) ⊥ (ABC)    x= − t Qua D(4;1;4)   ⇔ (d): y= − t , t ∈  ⇔ (d):   vtcp a(−1; − 1; − 1) z= − t  c Gọi n vtpt mặt phẳng (ABC), ta cã:     n ⊥ AB      ⇔ n =  AB, AC  = (−1; −1; −1) chän n (1; 1; 1) n AC Mặt phẳng (ABC) cho bởi: Qua A(1;2;3)  ⇔ (ABC): x + y + z − = (ABC):   vtpt n(1;1;1) Khi đó, hình chiếu H D mặt phẳng (ABC) giao điểm (d) với (ABC), ta được: (4 − t) + (1 − t) + (4 − t) − = ⇔ t = ⇒ H(3; 0; 3) Hoạt động Cho bốn điểm A(5; 3; −1), B(2; 3; −4), C(1; 2; 0), D(3; 1; −2) a Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ đỉnh hình tứ diện b Viết phương trình tham số đường cao tứ diện ABCD hạ từ D c Tìm tọa độ hình chiếu H D mặt phẳng (ABC) d Viết phương trình mặt cầu ngoại tiÕp tø diƯn ABCD ThÝ dơ 4: Trong kh«ng gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 5) hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: x= + t x y +1 z −1  (d): y= + 2t , t ∈  vµ (d2): = = −2 z= + t  a Viết phương trình tham số đường thẳng (d3) qua M song song với (d2) b Viết phương trình tắc đường thẳng (d) qua M, vuông góc với (d1) (d2) Giải Gäi u1 vµ u theo thø tù lµ vtcp đường thẳng (d1) (d2), ta có: u1 (1; 2; 1) vµ u (−2; 3; 5) a Ta cã ngay: x= − 2t Qua M(1;1;5)   (d3):  ⇔ (d3): y= + 3t , t ∈   vtcp u (−2;3;5) z= + 5t   b Gäi u lµ vtcp đường thẳng, ta có:   u ⊥ u1 (d) ⊥ (d1 ) ⇔    ⇒ u =  u1 , u  = (7; −7; 7) chän u (1; −1; 1)  (d) ⊥ (d ) u ⊥ u Tõ ®ã, ta cã: Qua M(1;1;5) x −1 y −1 z −  ⇔ (d): = = (d):  −1  vtcp u(1; − 1;1) Hoạt động Cho hai đường thẳng: x= + t x y −1 z −  (d1): vµ (d2):  y =−2 + t , t ∈  = = z= − t a Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm M(1; 2; 3), vuông góc với (d1) (d2) b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt (d1) (d2) Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) (d2) có: (d1) qua điểm M1(x1; y1; z1) cã vtcp u1 (a1; b1; c1),   (d2) ®i qua điểm M2(x2; y2; z2) có vtcp u (a2; b2; c2)    Khi ®ã, xÐt ba vectơ u1 , u M1 M ta có kết quả: (d1) (d2) đồng phẳng ba vectơ u1 , u M1 M đồng phẳng Như vậy: (d1) (d2) đồng phẳng [ u1 , u ] M1 M = (d1) (d2) cắt chúng đồng phẳng vtcp chúng không phương Như vậy: (d1) (d2) cắt ⇔ [ u1 , u ] M1 M = vµ a1: b1: c1 ≠ a2: b2: c2   (d1) vµ (d2) song song víi vµ chØ u1 vµ u cïng phương (d1), (d2) điểm chung Như vậy: (d1) // (d2) ⇔ a1: b1: c1 = a2: b2: c2 ≠ (x2 − x1): (y2 − y1): (y2 − y1)   (d1) vµ (d2) trïng u1 u phương (d1), (d2) cã ®iĨm chung Nh­ vËy: (d1) ≡ (d2) ⇔ a1: b1: c1 = a2: b2: c2 = (x2 − x1): (y2 − y1): (y2 − y1)    (d1) vµ (d2) chÐo vµ chØ ba vectơ u1 , u M1 M không đồng phẳng Như vậy: (d1) vµ (d2) chÐo ⇔ [ u1 , u ] M1 M ≠  Chó ý: NÕu biết phương trình hai đường thẳng (d ) (d ) xét vị trí tương đối chúng cách giải hệ gồm phương trình xác định (d1) (d2) để tìm giao điểm đó: a Nếu hệ có nghiệm (d1) (d2) cắt b Nếu hệ có vô số nghiệm (d1) (d2) trùng c Nếu hệ vô nghiệm (d1) (d2) song song hc chÐo nhau, song song nÕu hai vtcp chúng phương, chéo hai vectơ không phương Thí dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương tr×nh:  x= + t x−2 y −5 z −7  (d1): y= + 3t , t ∈  , (d2): = = z= + 4t a Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng (d1) (d2) b Viết phương trình mặt phẳng qua gốc O chứa đường thẳng (d1) Giải a Ta có:   Víi (d1) cã vtcp u1 (1; 3; 4) điểm M1(1; 2; 3) (d1) Với (d2) có vtcp u (1; 3; 4) điểm M2(2; 5; 7) ∈ (d2)    suy vectơ u1 , u M1 M (1; 3; 4) phương Vậy, hai đường thẳng (d1) (d2) trùng b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1) (d1) Khi đó, mặt phẳng (P) qua gốc O chứa đường thẳng (d1) tương ứng víi viƯc ®i qua ba ®iĨm O, M1, N1  Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta được:      OM1 (1; 2; 3) vµ ON (0; −1; −1) ⇒ n = OM1 , ON1 = (1; 1; 1) Phương trình mặt phẳng (P) cho bởi: qua O(0;0;0) (P): x + y − z = (P):    vtpt n(1;1; 1) Cách 2: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1) (d1) Khi đó, mặt phẳng (P) qua gốc O chứa đường thẳng (d1) tương ứng với việc qua ba điểm O, M1, N1 Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình: (P): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > V× O, M1, N1 thuéc (P), ta được: 0 A + 2B + 3C = A + 2B + 3C + D =  A = −C    ⇔ −B − C = ⇔  B = −C 0 −B − C + D = D = D = D = Từ đó, ta được: (P): −Cx − Cy + Cz = ⇔ (P): x + y − z =  C¸ch 3: Gọi (P) mặt phẳng thỏa mÃn điều kiện đầu (P) có cặp vtcp u1 OM1 Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta được: n = u1 , OM1  = (1; 1; −1) Ph­¬ng trình mặt phẳng (P) cho bởi: qua O(0;0;0) (P):  ⇔ (P): x + y − z = vtpt n(1;1; 1) Hoạt động Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình: x = t x −1 y − z −  (d1): y= + 2t , t ∈  , (d2): = = z= + 3t a Xác định vị trí tương đối hai đường thẳng (d1), (d2) b Viết phương trình mặt phẳng qua gốc O chứa đường thẳng (d2) Thí dụ 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d1) có phương trình: x y z (d1): = = , đường thẳng (d2) giao tuyến hai mặt phẳng: (P1): x + y − = vµ (P2): 4y + z + = a Chøng tá r»ng hai đường thẳng (d1) (d2) song song với b Viết phương trình tắc đường thẳng (d) nằm mặt phẳng ((d1), (d2)) cách (d1), (d2) Giải a Ta có: Với (d1) có vtcp u1 (1; 1; 4) điểm M1(1; 1; 2) (d1) Các mặt phẳng (P1), (P2) theo thø tù cã vtpt n1 (1; 1; 0), n (0; 4; 1) Khi ®ã  vtcp u đường thẳng (d2) cho bởi:   u =  n1 , n = (1; 1; 4) Và lấy điểm M2(1; 0; 1) (d2) Suy ra, vectơ u1 , u phương không phương với vect¬  M1 M (0; −1; −3) VËy, hai đường thẳng (d1) (d2) song song với 1 b Đoạn thẳng M1M2 có trung điểm M  1; ;   2 Khi ®ã, phương trình đường thẳng (d) xác định bởi: 1   1 y− z− x −1 qua M  1; ;  2 (d):    ⇔ (d): = = −1  vtcp u(1; − 1;4)  Hoạt động Cho đường thẳng (d1) có phương trình: x = t  (d1): y =−3 − 4t , t , z =3 3t đường thẳng (d2) giao tuyến hai mặt phẳng: (P1): x + y − z = vµ (P2): 2z − y + 2z = a Chøng tá r»ng hai đường thẳng (d1) (d2) song song với b Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng (d1) (d2) c Viết phương trình tắc đường thẳng (d) nằm mặt phẳng ((d1), (d2)) cách (d1), (d2) Thí dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d1) có phương trình: x =1 + t  (d1): y = −t , t ∈ , z =2 + 3t đường thẳng (d2) giao tuyến hai mặt phẳng: (P1): x + 2y + = vµ (P2): 3y − z + 10 = a Chøng tá r»ng hai ®­êng thẳng (d1) (d2) cắt b Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng (d1) (d2) Giải Ta lựa chọn cách sau: Cách 1: Ta có: a Ta cã:   Víi (d1) cã vtcp u1 (1; −1; 3) điểm M1(1; 0; 2) (d1), Các mặt phẳng (P1), (P2) theo thứ tự có vtpt n1 (1; 2; 0), n (0; 3; −1) Khi vtcp u đường thẳng (d2) ®­ỵc cho bëi:    u =  n1 , n  = (−2; 1; 3) Vµ lấy điểm M2(1;2; 4) (d2) Suy vectơ u1 , u không phương, ta cã:     u1 , u  M1 M = (−6; −9; −1).(−2; 2; −6) = (d1) (d2) cắt b Gọi n vtpt mặt phẳng (P), ta được: n = u1 , u  = (−6; −9; −1) chän n = (6; 9; 1) Phương trình mặt phẳng (P) cho bëi: qua M1 (−1;0; − 2) (P):  ⇔ (P): 6x + 9y + z + =   vtpt n(6;9;1)  H­íng dÉn: Sư dơng kiến thức phần phương pháp giải toán Giải Đường thẳng (d) có vtcp u(1; 1; 1) qua điểm M(2; 2; 1) a Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Mặt cầu (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = , suy ra:   OM, u    d(O, (d)) = > ⇒ (d) ∩ (S) = ∅  = u C¸ch 2: Thay phương trình (d) vào (S), ta được: (1 + t)2 + (2 − t)2 + (1 + t)2 = ⇔ 3t2 + = 0, v« nghiƯm Vậy, đường thẳng (d) mặt cầu (S) điểm chung b Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Mặt cầu (S) có tâm I(2; 4; 2) bán kính R = , ta cã:    IM, u    = d(I, (d)) R ⇒ (d) tiÕp xóc víi (S) = = u Cách 2: Thay phương trình (d) vào (S), ta được: (t 1)2 + (t − 2)2 + (t − 1)2 = ⇔ 3t2 = t = Vậy, đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A(1; 2; 1) c Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Mặt cầu (S) có tâm I(0; 2; 0) bán kính R = 3, ta có:   IM, u    = d(I, (d)) < R (d) cắt (S) hai điểm A, B = u Cách 2: Thay phương trình (d) vào (S), ta được: (1 + t)2 + t2 + (1 + t)2 = ⇔ =  t1 ⇒ A(2; 1; 2) ⇔ 3t + 4t − = ⇔   13  t2 = − ⇒ B − ; ; −  3  3  Vậy, đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) hai ®iĨm A, B  Chó ý: Trong tr­êng hỵp ®­êng thẳng (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B thường gặp thêm câu hỏi: Tìm toạ độ A, B (hoặc độ dài đoạn AB), sử dụng cách 2 Viết phương trình đường thẳng () song song với (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm E, F cho EF có độ dài lớn đường thẳng () cần dựng qua I song song với (d) 107 Viết phương trình mặt phẳng (PA), (PB) tiếp xúc với (S) theo thứ tự điểm A, B, có ngay: Mặt phẳng (PA) ®i qua A vµ cã vtpt  IA  Mặt phẳng (PB) qua B có vtpt IB Lưu ý: Nếu với yêu cầu tính góc (PA), (PB) = g(IA, IB) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: a Tiếp xúc với mặt cầu (S) b Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) c Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đường tròn biết diện tích hình tròn đó) Chúng ta thực theo bước: Bước 1: Ta có: Đường thẳng (d) có vtcp u(a; b; c) Mặt cầu (S) có tâm I bán kính R Bước 2: Gọi (P) mặt phẳng cần dựng, (P) vuông gãc víi (d) nªn: (P): ax + by + cz + D = Bước 3: Ta lần lượt: a Để (P) tiếp xúc với (S) điều kiện là: d(I, (P)) = R D Phương trình mặt phẳng (P1), (P2) b Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) điều kiện là: I (P)) D Phương trình mặt phẳng (P) c Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r điều kiện là: d(I, (P)) = R r2 D Phương trình mặt phẳng (P1), (P2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S), đó: (Q) = (I, (d)) = (IAB) đà biết hai cách để viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn nhận AB làm đường kính, thực theo bước: Bước 1: Gọi H trung điểm AB, suy toạ độ H Bước 2: Gọi (Q) mặt phẳng cần dựng IH (Q) Do ®ã: Qua H  (Q) :   vtpt IH 108 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đường tròn biết diện tích hình tròn đó), thực theo bước: Bước 1: Gọi (Q) mặt phẳng cần dựng, gi¶ sư: (Q): Ax + By + Cz + D = Vì (Q) chứa (d) nên A, B thuộc (Q) (1) Bước 2: Để (Q) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r điều kiện d(I, (Q)) (2) = R − r2 Tõ (1), (2) chóng ta nhận giá trị tương ứng A, B, C, D Ngoài gặp thêm câu hỏi: Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) vuông góc với đường thẳng (d) Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) tạo với đường thẳng (d) góc Phương pháp chung để thực chúng trình bày phàn ý trường hợp đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu Ví dụ 2: Trong kh«ng gian, cho đường thẳng (d) mặt cầu (S) có phương trình: x y z , (d) : = = 2 (S): (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z − 4)2 = 18 Chứng minh đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm A, B Tính độ dài AB Viết phương trình đường thẳng () song song với (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm E, F cho EF có độ dài lớn Viết phương trình mặt phẳng (PA), (PB) tiếp xúc với (S) theo thứ tự điểm A, B Tính sin góc hai mặt phẳng (PA), (PB) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: a Tiếp xúc với mặt cầu (S) b Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) c Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có diện tích Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn nhận AB làm đường kính Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính 27 / Giải Ta có: Đường thẳng (d) có vtcp u(2; 1; 2) qua điểm M(3; 1; 3) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 3; 4) bán kính R = 109 Ta cã thĨ tr×nh bày theo cách sau: Cách 1: Chuyển phương trình đường thẳng (d) dạng tham số: x= + 2t  (d) :  y = 1+ t , t ∈ z= + 2t  Thay ph­¬ng trình tham số (d) vào (S), ta được: t =−1 ⇒ A(1; 0; 1) (2t + 2)2 + (t − 2)2+ (2t − 1)2 = 18 ⇔ 9t2 = ⇔  t ⇒ B(5; 2; 5) = Khi ®ã: AB2 = (5 − 1)2 + 22 + (5 − 1)2 = 36 ⇔ AB = C¸ch 2: NhËn xÐt r»ng:    MI, u    = < R ⇒ (d) ∩ (S) = {A, B} d= d(I, (d))=  u Khi đó, với trung điểm AB thì: AB = 2AH = R − d= 18 = Đường thẳng () cắt mặt cầu (S) hai điểm E, F biết EF có độ dài lớn () qua tâm I mặt cầu (S) Do đó, ta có: Qua I (1; 3; ) x −1 y − z − ⇔ (∆) : = = (∆) :   2  vtcp u ( 2; 1; ) Ta có: Mặt phẳng (PA) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A lµ: Qua A (1; 0; 1) (PA):  ⇔ (PA): y + z − =   vtpt AI ( 0; 3; ) chän (0; 1; 1) Mặt phẳng (PB) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm B là: Qua B ( 5; 2; ) (PB):  ⇔ (PB): 4x − y + z − 23 =   vtpt IB ( 4; 1; 1) Khi đó, ta được: + = cos α = ⇔ sinα = 1 + 16 + +  Gäi (P) mặt phẳng cần dựng, (P) vuông góc với (d) nên có vtpt u có phương trình: (P): 2x + y + 2z + D = Suy ra: 2+3+8+ D D + 13 = d(I, (P)) = 2 +1 + 110 a §Ĩ (P) tiÕp xóc víi (S) điều kiện là: D + 13 d(I, (P)) = R ⇔ ⇔ D= −13 ± = ⇔ D + 13 = Khi ®ã:  Víi D = −13 + , ta mặt phẳng (P1) có phương trình: (P1 ) : 2x + y + 2z − 13 + = Víi D = −13 − , ta mặt phẳng (P1) có phương trình: (P2 ) : 2x + y + 2z − 13 − = Vậy, tồn hai mặt phẳng (P1) (P2) thỏa mÃn điều kiện đầu b Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) điều kiện là: I ∈ (P)) ⇔ 2.1 + + 2.4 + D = D = 13 Vậy, ta phương trình mặt phẳng (P): 2x + y + 2z 13 = c Gọi r bán kính ®­êng trßn (C), ta cã: S(C) = 2π ⇔ πr2 = r = Để (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r = điều kiện là: D + 13 d(I, (P)) = R − r2 ⇔ =4 ⇔ D + 13 = 12 ⇔ D = D = 25 Khi đó: Với D = 1, ta mặt phẳng (P3): 2x + y + 2z − =  Víi D = 25, ta mặt phẳng (P4): 2x + y + 2z − 25 = VËy, tån t¹i hai mặt phẳng (P3) (P4) thỏa mÃn điều kiện đầu Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) (Q) = (IAB) Tới đây, trình bày theo cách sau: Cách 1: Gọi n vtpt mặt phẳng (Q), ta được: n =  IA, IB  = (6; 12; −12) chän n (1; 2; 2) Khi đó, phương trình mặt phẳng (Q) cho bởi: Qua A(1; 0;1) (Q): x + y − 2z + = (Q) :    vtpt n(1; 2; − 2) C¸ch 2: Giả sử mặt phẳng (Q) có phương trình: (Q): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > V× I, A, B thuộc (Q), ta được: A + 3B + 4C + D = 3B + 4C + D = chän A=1   ⇔ ⇔ C + D = −1 A + C + D = 5A + 2B + 5C + D =  −5  2B + 5C + D = Thay A, B, C, D vào (1), ta (Q): x + y 2z + = 111 (1) B =  C = −2 D =  Gọi H trung điểm AB, suy H(3; 3; 1) Gọi (R) mặt phẳng cần dựng (R) vuông góc với IH, đó: Qua H(3; 1; 3)  ⇔ (R): 2x − 2y − z − = (R) :   vtpt HI(2; − 2; 1) Giả sử mặt phẳng (T) cần dựng có phương trình: (T): Ax + By + Cz + D = víi A2 + B2 + C2 > Vì A, B thuộc (T), ta được: 2A − 2C A + C + D = B = ⇔   −A − C 5A + 2B + 5C + D = D = §Ĩ (T) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r = điều kiện là: A + 4B + 3C + D = A + B2 + C A + 4B + 3(−2A − 2B) + (−A − B) ⇔ = 2 2 A + B + (−2A − 2B) d(I, (T)) = R − r2 ⇔ 18 − 27 27 ⇔ 2(6A + 3B) = 9(5A + 8AB + 5B2 ) ⇔ 27A2 − 27B2 = ⇔ A = ±B Khi ®ã:  Víi A = B th× chän A = suy B = 1, C = −4 vµ D = 2, ta mặt phẳng: (T1): x + y 4z − =  Víi A = −B th× chän A = suy B = −1, C = D = 0, ta mặt phẳng: (T2): x y = Vậy, tồn hai mặt phẳng (T1) (T2) thỏa mÃn điều kiện đầu Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) (tâm I, bán kính R) điểm A thường gặp thêm câu hỏi: Tìm toạ độ tiếp điểm A, sử dụng cách phương pháp xét vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu Viết phương trình đường thẳng song song với (d) cắt mặt cầu (S) hai điểm E, F cho EF có độ dài lớn Thực tương tự trường hợp đường thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: a Tiếp xúc với mặt cầu (S) b Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) c Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đường tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tương tự trường hợp đường thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu 112 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) tiếp xúc với (S), ta thấy mặt phẳng (P) cần dựng qua A vµ cã vtpt lµ IA ViÕt phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đường tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tương tự trường hợp đường thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phương trình đường thẳng qua A cắt mặt cầu (S) điểm B cho AB có độ dài lớn nhất, ta thực viết phương trình đường thẳng (IA) Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) vuông góc với đường thẳng (d), thực theo bước: Bước 3: Giả sử đường thẳng (d) cần dùng cã vtcp u ' , ta cã: B­íc 4:      u ' ⊥ u (d') ⊥ (d) ⇔    ⇒ u ' =  u, IA   (d') ⊥ IA u ' IA Khi đó, phương trình đường thẳng (d) ®­ỵc cho bëi: Qua A  (d’):   vtcp u ' Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) tạo với đường thẳng (d) mét gãc α, chóng ta thùc hiƯn theo c¸c bước: Bước 3: Giả sử đường thẳng () cần dùng cã vtcp u ∆ (a; b; c), ta cã:     (1) u ∆ ⊥ IA ⇔ u ∆ IA =   u ∆ u g((∆), (d)) = α ⇔  =  cos u u (2) Giải hệ tạo (1) (2) nhận toạ độ u Bước 4: Khi đó, phương trình đường thẳng () cho bởi: Qua A (∆):   vtcp u ∆ VÝ dô 3: Trong không gian, cho đường thẳng (d) mặt cầu (S) có phương trình: x= + t (d): y= + t , t ∈  , (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = z= + 2t  a Chøng minh đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Tìm toạ độ tiếp điểm A b Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) tiếp xúc với (S) 113 c Viết phương trình đường thẳng qua A cắt mặt cầu (S) điểm B cho AB có độ dài lớn d Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) vuông góc với đường thẳng (d) e Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) tạo với đường thẳng (d) góc 300 Giải Ta có: Đường thẳng (d) có vtcp u(1; 1; 2) qua điểm M(1; 2; 4) Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 1) bán kính R = a Thay phương trình tham số (d) vào phương trình (S), ta được: t2 + t2 + (2t + 3)2 = ⇔ 6t2 + 12t + = ⇔ t = −1 A(0; 1; 2) Vậy, đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A(0; 1; 2) b Giả sử (P) mặt phẳng cần dựng, ta thấy ngay: Qua A ( 0; 1; ) ⇔ (P): x + y − z + = (P):    vtpt IA ( −1; − 1; 1) c Giả sử (d1) đường thẳng cần dựng, ta thÊy ngay: Qua A ( 0; 1; ) Qua A x y −1 z − ⇔ (d1):  ⇔ (d1 ) := = (d1):   − − 1 vtpt IA − 1; − 1; ( ) Qua I   d Gi¶ sư đường thẳng (d) cần dựng có vtcp u ' , ta cã:       u ' ⊥ u (d') ⊥ (d)  (3; − 3; 0) chän u '(1; − 1; 0) ⇔    ⇒ u='  u, IA=   (d') ⊥ IA u ' IA Khi đó, phương trình đường thẳng (d) cho bởi: x = t Qua A(0; 1; 2)   ⇔ (d’): y= − t , t ∈  (d’):   vtcp u '(1; − 1; 0) z =    e Giả sử đường thẳng () cần dựng có vtcp u ∆ (a; b; c) ≠ , ta lÇn l­ỵt cã:     u ∆ ⊥ IA ⇔ u ∆ IA = ⇔ a + b − c = ⇔ c = a + b   u ∆ u g((∆), (d)) = 300 ⇔   = cos30 u∆ u ⇔ a.1 + b.1 + c.2 = ⇔ a + b + 2c a +b +c a + b + c +1 + 2 2 ⇔ [ a + b + 2(a + b)]= a + b + (a + b)2  2 2 2 2 ⇔ (a + b)2 = a2 + b2 ⇔ 2ab = ⇔ b = hc a = 114 = Khi ®ã:    Víi b = a = c ta u (a; 0; a) chän u ∆ (1; 0; 1), tõ ®ã: x = t Qua A ( 0; 1; )  ⇔ (∆1): y = , t ∈  (∆1):    vtpt u ∆ (1; 0; 1) z= + t     Víi a = c = b ta u (0; b; b) chän u ∆ (0; 1; 1), tõ ®ã: x = Qua A ( 0; 1; )  ⇔ (∆1):  y = + t , t ∈  (∆1):    vtpt u ∆ (0; 1; 1) z= + t  Vậy, tồn hai đường thẳng (1), (2) thoả mÃn điều kiện đầu Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S) (tâm I bán kính R) thường gặp thêm câu hỏi: Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (d) và: a Tiếp xúc với mặt cầu (S) b Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) c Cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đường tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tương tự trường hợp đường thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn lớn (S) Thực tương tự trường hợp đường thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện đường tròn (C) có bán kính r (hoặc biết chu vi đường tròn biết diện tích hình tròn đó) Thực tương tự trường hợp đường thẳng cắt tiếp xúc với mặt cầu Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) Giả sử tiếp điểm T1, T2, hÃy viết phương trình đường thẳng (T1T2), thực theo bước lớn sau: Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P1), (P2) chứa (d) tiếp xúc với (S) Bước 2: Tìm toạ độ tiếp điểm T1, T2 với cách hiểu chúng hình chiếu vuông góc I mặt phẳng (P1), (P2) Bước 3: Viết phương trình đường thẳng (T1T2) Ví dụ 4: Trong không gian, cho đường thẳng (d) mặt cầu (S) có phương trình: x y z −1 , (S): x2 + y2 + (z − 2)2 = (d) : = = −3 a Chứng minh đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S) 115 b Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu (S) c Giả sử tiếp điểm (S) với mặt phẳng câu b) T1, T2, hÃy viết phương trình đường thẳng (T1T2) Giải Ta có: Đường thẳng (d) có vtcp u(2; 3; 2) qua điểm M(1; 3; 1) Mặt cầu (S) có tâm I(0; 0; 2) bán kính R = a Chuyển phương trình (d) vỊ d¹ng tham sè: x= + 2t  (d) : y = − 3t , t ∈ z= 2t Thay phương trình tham số (d) vào phương trình (S), ta được: (1 + 2t)2 + (3 − 3t)2 + (−2t − 1)2 = ⇔ 17t2 − 10t + = 0, vô nghiệm Vậy, đường thẳng (d) không cắt mặt cầu (S) b Lấy thêm điểm N(3; 0; 1) thuộc (d) giả sử mặt phẳng (P) cần dựng có phương trình: (P): Ax + By + Cz + D = 0, víi A2 + B2 + C2 > Ta có: Vì M, N thuộc (P) nªn: = 2A − 3B 2C  A + 3B + C + D = (I) 1⇔   −4A − 3B 2D = 3A − C + D =  §Ĩ (P) tiÕp xóc víi (S) ®iỊu kiƯn lµ: 2C + D d(I, (P)) = R ⇔ =3 A + B2 + C 2 ⇔ ( 2C + D ) = 9(A + B2 + C2 ) Để tiện tính toán, ta nhân hai vế đẳng thức với 4: ( 4C + 2D ) = 36(A + B2 ) + 9(2C)2 ⇔ ( 4A − 6B − 4A − 3B )= 36(A + B2 ) + 9(2A − 3B) 2 ⇔ 81B2 =72A + 117B2 − 108AB ⇔ 2A − 3AB + B2 = ⇔ B = 2A hc A = B Khi ®ã:  Víi B = 2A th× chän A = suy B = 2, C = −2, D = 5, ta được: (P1): x + 2y 2z − =  Víi A = B th× chän A = suy B = 1, C = ,D= , ta được: 2 (P2 ) : x + y − z − = ⇔ (P2): 2x + 2y − z − = 2 VËy, cã hai mặt phẳng (P1), (P2) thoả mÃn điều kiện đầu 116 c Ta có: Xác định toạ độ T1: Phương trình đường thẳng (IT1) cho bởi: Qua I(0;0;2) Qua I  ⇔ (IT1):  (IT1):   vtcp n1 (1;2; − 2) (IT1 ) ⊥ (P1 ) x = t  , t ∈  ⇔ (IT1): y = 2t z= − 2t   Vì (IT1) (P1) = {T1}, đó: t + 4t − 2(2 − 2t) − = ⇔ 9t − = ⇔ t = 1⇒ T1(1; 2; 0) Xác định toạ độ T2: Phương trình đường thẳng (IT2) cho bởi: x = 2t Qua I(0;0;2) Qua I   ⇔ (IT2):  ⇔ (IT2): y = 2t , t ∈  (IT2):   vtcp n (2;2; − 1) (IT2 ) ⊥ (P2 ) z= − t  V× (IT2) ∩ (P2) = {T2}, ®ã: 4t + 4t − (2 − t) − = ⇔ 9t − = t = T2(2; 2; 1) Phương trình đường thẳng (T1T2) cho bởi: x= + t Qua T1 (1; 2; 0)   ⇔ (T1T2): y = , t ∈  (T1T2):   vtcp T1T2 (1; 0; 1) z = t  Bài toán 10: Góc khoảng cách Phương pháp áp dụng Cho hai đường thẳng (d1) (d2), theo thø tù cã vtcp lµ:   a (a1; a2; a3), b (b1; b2; b3)   π Gäi α góc tạo hai đường thẳng (d1) (d2) (0 ≤ α ≤ ), ta cã:  | a1b1 + a b + a b3 | | a.b | cosα =   = | a |.| b | a12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 LÊy M1, M2 theo thứ tự thuộc (d1) (d2), khoảng cách (d1), (d2) cho bởi: a, b  M1M   d((d1), (d2)) =   a, b    L­u ý: Điều kiện cần đủ để (d1) (d2) là: cosα = ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 117 Trong nhiều toán ta lại áp dụng kết sau hình không gian, cách thực theo bước: Bước 1: Tìm góc, ta tìm điểm I thoả mÃn: IA //(d1 )  IB //(d )  Khi ®ã, ta cã g((d1), (d2)) = AIB B­íc 2: TÝnh gãc:   Nếu biết toạ độ IA IB sử dụng công thức Sử dụng tỉ số lượng giác góc tam giác vuông dùng định lí cosin tam giác thường Cho: Mặt phẳng (P) có vtpt n (n1; n2; n3) Đường thẳng (d) có vtcp a (a1; a2; a3) Gọi góc tạo (P) (d), góc đường thẳng (d) đường thẳng  π chøa vtpt n (0 ≤ α, β ≤ ), th×: π α + β = ⇒ sinα = cosβ, ta cã: | a n1 + a n + a n | sinα = a1 + a 22 + a 32 n12 + n 22 + n 32 Chó ý: Điều kiện để (d) // (P) (hoặc thuộc (P)) lµ: sinα = ⇔ a1n1 + a2n2 + a3n3 = Cho điểm M đường thẳng (d) có vtcp a qua điểm M0 Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) ®­ỵc cho bëi:    MM ,a     d(M, (d)) = |a| VÝ dô 1: Xác định số đo góc hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình cho bởi: x + y +1 z a (d1): = = , (d2): −2 x = t  y= − t , t ∈   z = + 3t x = − 2t  b (d1): y = t + , t ∈  vµ (d2): z= 3t −  x= u −  y= + 2u , u ∈  = z 3u +  H­íng dÉn: Sư dơng kiến thức phần phương pháp giải toán 118 Gi¶i  a Gäi a1 , a theo thø tù lµ vtcp cđa (d1) vµ (d2), ta cã:   a1 (−2; 1; 3), a (1; −1; 3) Gọi góc tạo hai đường thẳng (d1) vµ (d2) (0 ≤ α ≤ ), ta cã:   | a a | | (−2).1 + 1.(−1) + 3.3 | cosα =  2 = = 2 2 2 | a1 | | a | 151 (−2) + + + (−1) +   b Gäi a1 , a theo thø tù lµ vtcp cđa (d1) vµ (d2), ta cã:   a1 (2; 1; 3); a (1; 2; 3) π Gọi góc tạo hai đường thẳng (d1) vµ (d2) (0 ≤ α ≤ ), ta cã:   | a a | | 2.1 + 1.2 + 3.3 | 13 cosα =  2 = = 2 2 2 | a1 | | a | 14 +1 + + + VÝ dô 2: Cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương tr×nh: (P): x + 2y − z + = 0, (d): a b c d x+3 = y + = z Tính toạ độ giao điểm (d) (P) Tính góc (d) (P) Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d) lên (P) Viết phương trình đường thẳng (), nằm (P) qua giao điểm (d) (P) vuông góc với (d) Giải a Chuyển phương trình (d) dạng tham số, được: x= 2t  y = t − , t ∈  z = t +  Thay x, y, z từ phương trình tham số (d) vào phương trình (P), ta được: (2t 3) + 2(t 1) − (t + 3) + = ⇔ t = ⇒ I(−1; 0; 4)   b Gọi a vtcp đường thẳng (d), ta có a (2; 1; 1)   Gäi n lµ vtpt mặt phẳng (P), ta có n (1; 2; 1) Gọi góc tạo (P) (d), ta cã: | + −1 | π sinα = = ⇒α= + + 1 + + π VËy, gãc gi÷a (d) vµ (P) b»ng c LÊy A(−3; −1; 3) (d) 119 Goi (Q) mặt phẳng chứa (d) vuông góc với (P), ta có: qua A(3; − 1;3) qua A(−3; − 1;3) (Q):  ⇔ (Q):      hai vtcp a(2;1;1) & n(1;2; − 1)  vtpt m(−3;3;3) ⇔ (Q): x − y z = Khi đó, hình chiếu vuông góc (d1) (d) lên (P) giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) nên có phương trình: x + 2y z + = (d):  x − y − z − =  d Gäi b lµ vtcp cđa đường thẳng (), từ giả thiết: b n   1 2  , ,   ⇔ b   = (−3; 3; 3) chän (−1; 1; 1) b ⊥ a  − −1 1  VËy ®­êng thẳng () cho bởi: Qua I(1; 0; 4) x +1 y z −  (∆):  ⇔ (∆): = = 1 −1  vtcp b ( −1;1;1)  Chó ý: Cã thĨ lËp ln nh­ sau: qua I(−1;0;4)  (∆): (∆) ⊂ (P) ⇔ (∆): (∆) ⊥ (d)  qua I(−1;0;4)   ⇔ (∆): b ⊥ n   b ⊥ a qua I(−1;0;4) b // m Bài toán 11: Phương pháp toạ độ hóa Phương pháp áp dụng Sử dụng kiến thức thiết lập hệ tọa độ đà trình bày chủ đề Ví dụ 1: Cho hình hép ch÷ nhËt ABCD.A'B'C'D' víi AB = a, BC = b, CC' = c a Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A'BD) b Tính khoảng cách từ điểm A' tới đường thẳng C'D c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC' CD' Hướng dẫn: Thiết lập hệ toạ độ Axyz với B, D, A theo thø tù z c A' thuéc Ox, Oy, Oz Giải D' B' C' Chọn hệ tọa độ Axyz víi B, D, A’ theo thø tù thc c¸c tia a x A Ox, Oy, Oz, ta được: B b A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D(0; b; 0) y D C A'(0; 0; c), B'(a; 0; c), C'(a; b; c), D'(0; b; c) a Sư dơng phương trình mặt chắn, ta phương trình mặt phẳng (A'BD) cã d¹ng: x y z (A1BD): + + = ⇔ (A'BD): bcx + acy + abz − abc = a b c 120 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD) cho bởi: abc abc d= = 2 2 2 2 b c +a c +a b b c + a 2c2 + a b2 b Ta cã:   [A 'C',C'D] [(a; b; 0),(−a; 0; − c)] = = d(A', C'D) =  (−a; 0; − c) C'D c Ta cã:    [BC',CD '].BC d(BC', CD') = =   [BC',CD '] abc 2 b c + a 2c2 + a b2 121 b2c2 + a 2c2 + a b2 a + c2