Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật trong môn toán 6

Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vàibài toán dạng sao *, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tựvận động kiến thức của mình.. Dạng

MỤC LỤC MỤC LỤC 1 PHẦN THỨ NHÂT - ĐẶT VẤN ĐỀ 2 I Lý do chọn đề tài 2 II Mục đích nghiên cứu 3 III Đối tượng nghiên cứu 3 IV Nhiệm vụ nghiên cứu 3 V Phạm vi nghiên cứu 4 VI Đối tượng nghiên cứu 4 PHẦN THỨ HAI – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 5 I CƠ SỞ LÍ LUẬN 5 II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 5 III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 6 III.1 Những kiến thức cần lưu ý khi tính tổng dãy số và làm các bài tập liên 6 quan III.2 Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật 8 III.2.1 Phương pháp khử liên tiếp 8 III.2.2 Phương pháp xây dựng các công thức tổng quát 14 III.2.3 Phương pháp dự đoán và quy nạp 17 III.2.4 Ứng dụng 18 III.2.4.1.Ứng dụng trong bài toán tìm x 18 III.2.4.2 Ứng dụng trong bài toán chứng minh 21 IV KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 23 PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 24 I KẾT LUẬN 24 II KHUYẾN NGHỊ 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ I Lí do chọn đề tài Trong chương trình trung học, mỗi học sinh đều được học nhiều bộ môn khác nhau Trong đó, môn toán có vị trí rất quan trọng, được nhiều em học sinh yêu thích, bởi lẽ nó là một môn khoa hoc tự nhiên có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập Việc học tốt môn toán là 1 cơ sở để giúp các em học tốt các môn khoa học khác như tin học, vật lí, hóa học, y học, … Để đạt kết quả tốt khi học tập môn toán các em học sinh cần phải biết tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo, vì vậy mà người giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh kĩ năng độc lập tư duy, sáng tạo Điều này yêu cầu giáo viên phải không ngừng học tập, lao động sáng tạo tìm tòi những phương pháp để giúp đỡ học sinh rèn luyện, phát triển tư duy logic giải các bài toán Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi luôn không ngừng học hỏi nâng cao năng lực chuyên môn, học hỏi đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm Tôi nhận thấy việc giải toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức sách giáo khoa, mà đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ Muốn giải toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các dạng bài toán đa dạng, giải các bài toán tỉ mỉ khoa học, kiên nhẫn để tự tìm ra đáp số của chúng Muốn vậy người giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhau để tạo ra hứng thú học tập cho học sinh, phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong một dạng toán khác nhau đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, vì vậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp Các dạng toán Số Học ở chương trình THCS thật đa dạng và phong phú như: Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số, đặc biệt là bài toán tính tổng của “Dãy số viết theo quy luật” Đây là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6 Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, nhiều em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số) Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận động kiến thức của mình Dạng toán tính tổng “Dãy số viết theo quy luật” đòi hỏi tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, nhận xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Một 2 số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật trong môn toán 6” để đưa ra một số phương pháp nhận biết cho học sinh II Mục đích nghiên cứu Trong thực tế có nhiều bài toán tính tổng của dãy số rất phức tạp Nhưng nếu chúng ta tìm ra quy luật của nó thì việc tính tổng trở nên thuận lợi và dễ dàng hơn “Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật ” với mục đích định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một dãy số nhất định Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này III Đối tượng nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu đề tài, qua thực tế giảng dạy toán 6 tôi xác định rõ đối tượng nghiên cứu là: + “Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật” + Ứng dụng của bài toán tính tổng dãy số trong các bài toán tìm x, chứng minh, IV Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài này đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau: 1 Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật của dãy số 2 Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể 3 Đưa ra bài toán tổng quát 4 Nêu ứng dụng của phương pháp V Phạm vi nghiên cứu Đề tài này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình toán số học 6 VI Phương pháp nghiên cứu 1 Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài này 3 2 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số năm giảng dạy, đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi với các giáo viên dạy giỏi toán PHẦN THỨ HAI - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Trong thực tế giảng dạy bộ môn số học 6, chúng ta gặp nhiều bài toán tính tổng các dãy số khá phức tạp Học sinh có thể sẽ rất lúng túng, đôi khi là bế tắc khi gặp dạng toán này Nhưng nếu chúng ta biết cách tìm ra quy luật của nó thì việc tính tổng các dãy số đó sẽ trở nên thuận lợi và dễ dàng hơn rất nhiều 4 Chính vì vậy trong đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra những dạng toán liên quan tới việc tính tổng của dãy số và một số bài toán liên quan nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi học và giải toán; giúp học sinh biết cách định hướng và giải bài tập liên quan ngắn gọn để phát huy trí lực học sinh và làm học sinh tự tin khi giải toán và thi cử II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Năm học 2017 – 2018, tôi vinh dự được nhà trường phân công giảng dạy tại lớp 6A2, là lớp chọn hai của khối 6 Vì vậy mà tôi luôn mong muốn giúp đỡ học sinh tiếp cận nhiều hơn các dạng toán nâng cao, góp phần giúp các em nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán, Từ đó học sinh có thể tự tin tham gia đội tuyển cũng như kì thi học sinh năng khiếu các cấp Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh của tôi khi gặp những bài toán dạng tính tổng của dãy số thì hầu như các em gặp khó khăn, bế tắc và giải được rất ít Từ thực tế đó tôi đã cho học sinh trong lớp 6A2 làm một đề toán với dạng tính tổng của dãy số để tôi có thể đánh giá khả năng thực sự của các em với dạng toán trên như thế nào Dưới đây là đề và kết quả kiểm tra * Đề kiểm tra:(Thời gian - 30 phút ) Tính tổng: 1 A = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 2 B = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 3 C = 1  1   1 1.2 2.3 99.100 4 D = 1  1   1 2.4 4.6 48.50 *Kết quả: Điểm dưới 5 Điểm từ 5 - 7 Điểm từ trên 7 – 10 SL SL % SL % SL % 48 30 62,5 18 37,5 0 0 5 Từ kết quả trên và đánh giá bài làm của các em học sinh tôi nhận thấy học sinh chưa có cách tính tổng các dãy số đạt hiệu quả, lời giải dài dòng không chính xác đôi khi còn ngộ nhận và chưa hiểu đề bài Cũng với những bài toán trên nếu học sinh được trang bị kiến thức về phương pháp “ Tính tổng của dãy số ” thì chắc chắn sẽ cho ta kết quả cao hơn III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Từ thực trạng của vấn đề trên và cùng với một chút vốn hiểu biết, kinh nghiệm giảng dạy trong một số năm tôi đã hệ thống được một số kiến thức cơ bản liên quan, hướng dẫn cho học sinh của tôi phương pháp tính tổng của các dãy số, các bài toán liên quan tính chía hết và sưu tầm tích luỹ một số bài tập phù hợp mức độ nhận thức của học sinh giúp cho học sinh phát triển tư duy, năng lực tốt nhất III.1 Những kiến thức cần lưu ý khi tính tổng dãy số và làm các bài tập liên quan 1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số * Tìm mẫu số chung (thường BCNN của các mẫu) * Tìm thừa số phụ tương ứng của mỗi mẫu * Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng 2 Các phép tính của phân số a Cộng, trừ phân số cùng mẫu: * AM  BM A  B M (M 0); * AM  BM  A  B M (M 0, A B) b Cộng, trừ phân số không cùng mẫu: * Quy đồng mẫu các phân số * Cộng, trừ các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung c Nhân các phân số: * AB CD  A.C B.D (B, D 0) d Chia 2 phân số: * AB : CD  A.D B.C (B, C, D 0) 3 Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số 6 a Tính chất giao hoán: * Phép cộng: ab  cd  cd  ab (b, d 0) * Phép nhân: ab cd  cd ab (b, d 0) b Tính chất kết hợp: a c m a c m * Phép cộng :          (b, d, n 0) b d n b d n  a c m a c m * Phép nhân:      (b, d, n 0) b d n b d n  c Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (trừ) a c m a m c m *      (b, d, n 0) b d n b n d n 4 Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b * Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c * Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c * Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân: Nếu a > b thì a c > b c (c > 0) * Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều: Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d 5 Quy tắc nhân hai lũy thưà cùng cơ số * am an = am+n (m, n N* , a 0) III.2 Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật III.2.1 Phương pháp khử liên tiếp Giả sử ta cần tính tổng Sn = a1+ a2 + a3 + + an, mà ta có thể biểu diễn các số hạng a1, a2 , a3 , , an qua hiệu hai số hạng liên tiếp của một dãy số khác, chính xác hơn, giả sử: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , , an = bn – bn+ 1 Khi đó ta có ngay: Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1 1 Ví dụ 1 7 Tính tổng: A = 11.2  12.3   1 49.50 * Hướng dẫn tìm lời giải: Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là: 1.2; 2.3; 3.4; ; 49.50 Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, trong đó thừa số thứ 2 của mẫu này chính là thừa số thứ nhất của mẫu kia Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ Chẳng hạn: 1 1.2 = 1  12 ; 12.3 12  13 ; … ; 1 49.50  149  150 Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau *Lời giải: A = 11.2  12.3   1 49.50 = 1 12  12  13  13  14  148  149  149  150 1 1 1 1 1 1  1 1               2 2  3 3  49 49  50 1 1 49 50 50 *Bài toán tổng quát: S = 1 1.2  12.3  1 3.4   1 n(n 1) 1 1  1 1 1 1 1 1  1 1 n =                   1 2  2 3 3 4  n n 1 1 n 1 n 1 2 Ví dụ 2 Tính tổng: B = 2 1.3  2 3.5  2 5.7   2 99.101 *Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy B là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2 8 2 1.3 11  13 ; 2 3.5 13  15 ; 2 5.7 15  17 ; … ; 2 99.101  199  1 101 Từ đó ta dễ dàng tính được tổng đã cho *Lời giải: B = 2 1.3  2 3.5  2 5.7   2 99.101 = 11  13  13  15  15  17   199  1 101 = 1  1 101 100 101 *Bài toán tổng quát: S = 2 1.3  2 3.5  2 5.7   2 99.101   2 n.(n  2) (n lẻ) = 11  13  13  15  15  17   1n  1 n  2 = 1  1 n  2  n 1 n  2 3 Ví dụ 3 Tính tổng: C  21.2  23.4  24.5   2 19.20  2 20.21 *Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy các số hạng trong dãy số trên là những phân số có tử là 2 còn mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Vậy trước hết ta phải dựa vào tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng, để đặt thừa số chung sao cho hiệu của 2 thừa số dưới mẫu đúng bằng tử sau đó biến đổi như các ví dụ trên *Lời giải: C  2  2  2   2  2 1.2 3.4 4.5 19.20 20.21 1 1 1 1 1 2.        1.2 3.4 4.5 19.20 20.21   111 1 1 2.1        223 20 21  1  20 40 2.1  2   21 21 21 * Bài toán tổng quát: 9 S  m  m  m   m 1.2 3.4 4.5 n.(n 1) m. 1  1  1  . 1   1.2 3.4 4.5 n.(n 1)   1 n m.1  m  n 1 n 1 4 Ví dụ 4 Tính tổng: D  21.4  24.7  2 7.10   2 48.51 *Hướng dẫn tìm lời giải: Với ví dụ này ta cũng thấy các mẫu là tích của các số tự nhiên cách đều nhau 3 đơn vị Khi đó ta cũng sẽ sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để biến đổi đặt thừa số chung sao cho hiệu của 2 thừa số ở mỗi mẫu đều có giá trị bằng tử tương ứng *Lời giải: D  2  2  2   2 1.4 4.7 7.10 48.51 2 3 3 3 3        3  1.4 4.7 7.10 48.51  2 1 1 1 1 1  1       3 4 4 7 48 51 2  1  2 50  1   3  51  3 51 * Bài toán tổng quát: S  m  m  m   m (n chia 3 dư 1) 1.4 4.7 7.10 n.(n  3) m  3  3  3   3  3  1.4 4.7 7.10 n.(n  3)  m 1   1  3  n3 5 Ví dụ 5 Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 16 ; 166 ; 1 176 ; 1 336 ; *Hướng dẫn tìm lời giải: 10 Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là: 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy Dễ thấy: 6 = 1.6 66 = 6.11 176 = 11.16 336 = 16.21 Nhận thấy mẫu của các phân số này có quy luật là: + Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6 + Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n – 4).(5n + 1) => Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100 – 4).(5.100 + 1) = 496.501 Ta cần tính tổng E = 1 1.6  1 6.11  1 11.16   1 496.501 Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy: 11  16  5 1.6 => 15 (11  16)  1 1.6 Tương tự như vậy 16  111  5 6.11 => 15 (16  111)  1 6.11 ; ; 1 496  1 501  5 496.501 => 15 ( 1 496  1 501)  1 496.501 Từ đó ta tính được tổng E một cách dễ dàng *Lời giải: E = 16  166  1 176  1 336   1 2484966 = 1 1.6  1 6.11  1 11.16   1 496.501 = 15 (11  16) + 15 ( 16  111) + 15 ( 111  116) +…+ 15 ( 1 496  1 501) =  1 1  1  1  1  1  1   1   1  5  6 6 11 11 16 496 501 1  1  1 500 100 = 1  = = 5  501 5 501 501 11 *Bài toán tổng quát: S = 1 1.6  1 6.11  1 11.16   1 (5n  4)(5n 1) = 15 (11  16) + 15 (16  111) +…+ 15 ( 1 (5n  4  1 (5n 1)) 1 1  1 5n n = 1 = = 5  5n 1  5 5n 1 5n 1 6 Ví dụ 6 Tính tổng: F = 1 1.2.3  1 2.3.4  1 3.4.5   1 37.38.39 *Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy các phân số trong tổng F đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau (có 1 số giữa trùng nhau) 11 2 1 1 1  1 Ta thấy:        1.2 2.3 1.2.3 2  1.2 2.3  1.2.3 1 1  2 1 1 1  1 … 23 3.4 2.3.4      2  2.3 3.4  2.3.4 1 1 2 1 1 1 1 37.38 38.39 37.38.39     2  37.38 38.39  37.38.39 Tổng quát ta có thể áp dụng: n(n 1) 1  (n 1)(n  2) 1  n(n 1)(n  2) 2 *Lời giải: F = 1 1.2.3  1 2.3.4  1 3.4.5   1 37.38.39 1 1 1  1 1 1  1 1 1 =    +    +…+    2  1.2 2.3  2  2.3 3.4  2  37.38 38.39  1 1 1 1 1 1 1 =         2  1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39  1 1 1  11 1  =  =    2  1.2 38.39  2  2 38.39  = 12 741  1 38.39 = 12 740 38.39 = 12 370 741 = 185 741 *Bài toán tổng quát: 12 S = 1  1  1   1 = 1  1   1  1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n  2) 2  2 (n 1).(n  2)  = 1    (n 1).(n  2)  2  = (n 1).(n  2)  2 2  2(n 1).(n  2)  4(n 1).(n  2) 7 Ví dụ 7 Tính tổng: G = 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99 *Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy số hạng của G là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Nếu để áp dụng phương pháp khử liên tiếp như những bài toán trên ta phải nhân mỗi số hạng của G với 3 thừa số 3 này được viết dưới dạnh (3 – 0) ở số hạng thứ nhất, (4 – 1) ở số hạng thứ 2, (5 – 2) ở số hạng thứ 3 và (100 – 97) ở số hạng cuối cùng *Lời giải: Ta có G = 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99 = > 3G = 1.2.(3 – 0) +2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) +…+ 98.99.(100 – 97) =1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 98.99.100 – 97.98.99 = 98.99.100 G = 98.99.100 3 323400 *Bài toán tổng quát: S =1.2 +2.3 + 3.4 +…+ n(n+1) = n(n 1)(n  2) 3 8 Bài tập đề nghị Tính các tổng sau: a) A = 5 11.16  5 16.21  5 21.26   5 61.66 b) B = 21.2  23.4  24.5   2 99.100 c) C = 11.3  13.5  15.7   1 97.99 d) D = 52.4  54.6  56.8   5 98.100 e) E = 2 1.2.3  2 2.3.4   2 98.99.100 III.2.2 Phương pháp xây dựng các công thức tổng quát 13 1 Ví dụ 1 Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 210 *Hướng dẫn tìm lời gải: Ta nhân cả A với 2, khai triển dựa theo tính chất phân phối, sau đó thục hiện phép tính 2A – A, triệt tiêu các hạng tử để tìm A *Lời giải: Ta có 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 210 + 211 Khi đó 2A – A = (2 + 22 + 23 + 24 + … + 210 + 211) – (1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 210) = – 1+ (2 – 2) + ( 22 – 22) + (23 – 23) + … + (210 – 210) + 211 = 211 – 1 hay A = 211 – 1 *Công thức tổng quát: A = 1 + a + a2 + a3 + a4 + … + an Nhân cả hai vế của A với a ta có: a.A = a + a2 + a3 + a4 + + an + an+1 = > aA – A = ( a – 1)A = an+1 – 1 Vậy A = (an + 1 – 1): (a – 1) ; (a ≥ 2) Từ đó ta có công thức: an+1 – 1 = ( a – 1)( 1 + a + a2 + a3 + + an) 2 Ví dụ 2 Tính tổng của dãy số: B = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 * Hướng dẫn tìm lời giải: Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của biểu thức B với số nào để khi trừ cho B thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 *Lời giải: Ta có: 32B = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 Khi đó : 32 B – B = (32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100) = – 1+ (32 –32) + (34 –34) + (36 –36) +…+ (3100 –3100) + 3102 = 3102 – 1 Hay B.( 32 –1) = 3102 – 1 => B = 32 3102  1  1 14 *Công thức tổng quát: B = 1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n Ta có: a2B – B = (a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n + a2n + 2 )– (1 + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n) => a2 B – B = a2n+2 – 1 => B( a2 –1) = a2n +2 – 1 Hay B = (a2n +2 – 1):( a2 - 1) Từ đó ta có công thức: a2n+2 – 1 = ( a2 – 1)( 1 + a2 + a4 + a6 + … + a 2n ) 3 Ví dụ 3 Tính tổng của dãy số: C = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 *Hướng dẫn tìm lời giải: Tương tự như ví dụ 2, ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 72 *Lời giải: Ta có: C = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 => 72C = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 => 72C – C = (73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101) – (7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799) = – 7+ (73 –73) + (75 –75) + … + (799 –799) + 7101 = 7101 – 7 => C ( 72 –1) = 7101 – 7 => C = 72 7101  7  1 * Công thức tổng quát: C = 1 + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 Ta có: a2C –C = ( a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 + a2n + 3 ) – (1 + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1) = > a2 C – C = a2n+3–1 Hay C( a2 – 1) = a2n +3 - 1 Hay C = a2n+3–1 : ( a2 – 1) Từ đó ta có công thức: a2n+3 – 1 = ( a2 – 1)( 1 + a3 + a5 + a7 + … + a 2n+1 ) 4 Ví dụ 4 Tính tổng của dãy số: D = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + 8.9 * Hướng dẫn tìm lời gải: 15 Ở dạng 1.1 chỉ có 1 thừa số trong mỗi số hạng nên ta nhân hai vế của a với 2 Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng dạng này là 1 Nên ta nhân 2 vế của D với 3 lần khoảng cách này ta được : 3D = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 = > D = 990:3 = 330 Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của D và 11 là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp *Công thức tổng quát: D = 1.2 + 2.3 + … + (n - 1).n = (n - 1).n.(n + 1) : 3 5 Bài tập đề nghị a, A = 1+2 +22 +23 + + 262 + 2 6 3 b, B = 5 + 52 + 53 + + 5 99 + 5100 c) C = 3 + 33 + 35 + 37 + 39 + + 3101 d) D = 11 + 113 + 115 + 117 + 119 + + 1199 III.2.3 Phương pháp dự đoán và quy nạp Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn: Sn = a1 + a2 + an Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp này để giải quyết bài toán 1.Ví dụ 1 Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) *Dự đoán Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 S2 = 1 + 3 = 22 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 Ta dự đoán Sn = n2 *Chứng minh dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (1) 16 Với n = 1; 2; 3… ta đều thấy kết quả đúng Giả sử biểu thức (1) đúng với n = k ( k  1) tức là ta có: Sk = k 2 Hay Sk = 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) = k 2 (2) Ta cần chứng minh biểu thức (1) đúng với n = k + 1 tức là ta cần chứng minh: Sk+1 = (k +1 )2 ( 3) Thật vậy: cộng hai vế của (2) với 2k +1 ta được : 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) Hay Sk+1 = k2 + ( 2k +1) = k2 + 2k +1 = ( k +1)2 = > Sk+1 = ( k +1) 2 => biểu thức (3) là đúng Theo nguyên lí quy nạp bài toán được chứng minh Vậy Sn = 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 2 Ví dụ 2 Chứng minh rằng: 1 + 2 + 3 + + n = n(n 1) 2 (n N* ) (4) *Lời giải: Với n = 1; 2; 3; … ta đều thấy kết quả đúng Giả sử biểu thức (4) đúng với n = k ( k  1) tức là ta có: 1 + 2 + 3 + + k = k.(k 1) (5) 2 Ta cần chứng minh biểu thức (4) đúng với n = k + 1 tức là ta cần chứng minh: 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1) = (k 1).(k  2) ( 6) 2 Thật vậy: cộng hai vế của (5) với 2k +1 ta được: 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1) = k.(k 1) + (k + 1) 2 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1) = k.(k 1)  2(k 1) 2 1 + 2 + 3 + + k + (k + 1) = (k 1).(k  2) 2 = > biểu thức (6) được chứng minh Theo nguyên lí quy nạp bài toán được chứng minh 17 Vậy: 1 + 2 + 3 + + n = n(n 1) 2 (n N* ) 3 Bài tập đề nghị a, 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n 1)(2n 1) 6 b, 13 + 23 + 33 + + n3 =  n(n 1)  2    2 c, 15 + 25 + 33 + + n5 = 1 12 n2 (n + 1)2 ( 2n2 + 2n – 1 ) III.2.4 Ứng dụng III.2.4.1 Ứng dụng trong bài toán tìm x 1 Ví dụ 1 11 1 2 1998 Tìm số tự nhiên x biết rằng: 3  6  10   x(x 1)  2000 * Hướng dẫn tìm lời giải: Trước hết ta xét phân số x(x 1) 2 ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết: 2 1 1  = 2.   x(x 1)  x x 1 Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đổi các phân số: 13 ; 16 ; 1 10 ; về dạng phân số có tử là 2 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không? Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta cần áp dụng tính chất cơ bản của phân số, cụ thể là: 13 1.2 2.3  2 2.3 ; 16 1.2 6.2  2 3.4 ; 110  1.2 10.2  2 4.5 Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa bài toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết *Lời giải: 1  1  1   2 1998 3 6 10 x(x 1) 2000 2.3 2 + 3.4 2 + 4.5 2 +…+ x(x 1) 2 = 2000 1998 18 2  1  1  1    1  = 1998  2.3 3.4 4.5 x(x 1)  2000 2  1  1  1  1  1   1   1  = 1998 2 3 4 4 5 x x 1 2000  1 1  1998 2    =  2 x 1 2000 12  1 x 1 = 1998 2000 :2 12  1 x 1 = 999 2000 1 x 1 = 12  999 2000 1 x 1 = 1000  999 2000 1 x 1 = 1 2000 x + 1 = 2000 x = 1999 2 Ví dụ 2 Tìm số tự nhiên x biết rằng: 5.8 1 + 1 8.11 + 1 11.14 +…+ 1 x(x  3) = 101 1540 *Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy vế bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 còn mẫu số là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị Ta xét: 11 3 1 1 1 1 = =>    = 5 8 5.8 3  5 8  5.8 11 3 1 1 1  1 = =>    = 8 11 8.11 3  8 11 8.11 11 3 11 1 1 = =>    = 11 14 11.14 3  11 14  11.14 11 = 3 1 1 1  1  =>    = x x 1 x(x  3) 3  x x  3  x(x  3) Từ đó ta có cách giải bài toán * Lời giải: 19 1 1 1 1 101 5.8 + 8.11 + 11.14 +…+ x(x  3) = 1540 1  1  1  1   1  = 101 3  5.8 8.11 11.14 x(x 3)  1540 11 1 1 1 1 1 1 1  101           = 3  5 8 8 11 11 14 x x 3  1540 1  1 1  101 .   = 3  5 x  3  1540  1 1  101  = .3  5 x  3  1540  1 1  303  =  5 x  3  1540 1 = 1  303 = 5 x  3 5 1540 1540 1 x  3 = 1 308 => x + 3 = 308 x = 308 – 3 hay x = 305 3 Bài tập đề nghị Tìm số tự nhiên x biết: a) 12.4  14.6   1  2x  2 2x 18  x  , x 2 b) 1+ 22.3  23.4   2  x  1 x 1 98 100  x  , x 3 III.2.4.2 Ứng dụng trong bài toán chứng minh 1 Ví dụ 1  11 1 1 2 3 99 Chứng minh rằng: 100 – 1            23 100  2 3 4 100 *Hướng dẫn tìm lời giải: Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn tử 1 đơn vị Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái Từ đó ta có điều phải chứng minh *Lời giải: 20