Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật trong môn toán 6

Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vàibài toán dạng sao *, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tựvận động kiến thức của mình.. Dạng

MỤC LỤC

III.1 Những kiến thức cần lưu ý khi tính tổng dãy số và làm các bài tập liên

quan

6

III.2 Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật 8

III.2.2 Phương pháp xây dựng các công thức tổng quát 14

PHẦN THỨ BA – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

I KẾT LUẬN

II KHUYẾN NGHỊ

24 24 24

PHẦN THỨ NHẤT – ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình trung học, mỗi học sinh đều được học nhiều bộ môn khác nhau Trong đó, môn toán có vị trí rất quan trọng, được nhiều em học sinh yêu thích, bởi lẽ nó là một môn khoa hoc tự nhiên có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập Việc học tốt môn toán là

cơ sở để giúp các em học tốt các môn khoa học khác như tin học, vật lí, hóa học, yhọc, … Để đạt kết quả tốt khi học tập môn toán các em học sinh cần phải biết tổchức công việc của mình một cách sáng tạo, vì vậy mà người giáo viên cần phảihướng dẫn cho học sinh kĩ năng độc lập tư duy, sáng tạo Điều này yêu cầu giáoviên phải không ngừng học tập, lao động sáng tạo tìm tòi những phương pháp đểgiúp đỡ học sinh rèn luyện, phát triển tư duy logic giải các bài toán

Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi luôn không ngừng học hỏinâng cao năng lực chuyên môn, học hỏi đồng nghiệp và những người có kinhnghiệm Tôi nhận thấy việc giải toán ở chương trình THCS không chỉ đơn giản làđảm bảo kiến thức sách giáo khoa, mà đó mới chỉ là những điều kiện cần nhưngchưa đủ Muốn giải toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các dạng bàitoán đa dạng, giải các bài toán tỉ mỉ khoa học, kiên nhẫn để tự tìm ra đáp số củachúng Muốn vậy người giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trongnhiều tình huống khác nhau để tạo ra hứng thú học tập cho học sinh, phải cung cấpcho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó cung cấp cho học sinh cáchnhìn, cách vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản đó, phân tích tìm ra hướng giải,bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khiđứng trước một bài toán khó mà dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán,

từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Một bài toán có thể cónhiều cách giải, mỗi bài toán thường nằm trong một dạng toán khác nhau đòi hỏiphải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, vìvậy học sinh phải biết sử dụng phương pháp nào cho phù hợp

Các dạng toán Số Học ở chương trình THCS thật đa dạng và phong phú như:Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số, đặc biệt là bài

toán tính tổng của “Dãy số viết theo quy luật” Đây là dạng bài toán tương đối khó

đối với học sinh lớp 6 Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, nhiều

em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật củadãy số) Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vàibài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự

vận động kiến thức của mình Dạng toán tính tổng “Dãy số viết theo quy luật” đòi

hỏi tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, nhận xét, nhận dạng

nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “Một

số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật trong môn toán 6” để đưa ra

một số phương pháp nhận biết cho học sinh

II Mục đích nghiên cứu.

Trong thực tế có nhiều bài toán tính tổng của dãy số rất phức tạp Nhưng nếuchúng ta tìm ra quy luật của nó thì việc tính tổng trở nên thuận lợi và dễ dàng hơn

“Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật ” với mục đích

định ra hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với mộtdãy số nhất định Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toánmột cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất.Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khảnăng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọnphương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp chogiáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này

III Đối tượng nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, qua thực tế giảng dạy toán 6 tôi xác định rõđối tượng nghiên cứu là:

+ “Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật”

+ Ứng dụng của bài toán tính tổng dãy số trong các bài toán tìm x, chứng minh,

IV Nhiệm vụ nghiên cứu.

Đề tài này đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau:

1 Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luậtcủa dãy số

2 Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể

3 Đưa ra bài toán tổng quát

4 Nêu ứng dụng của phương pháp

V Phạm vi nghiên cứu.

Đề tài này được xây dựng, nghiên cứu và triển khai trong chương trình toán sốhọc 6

VI Phương pháp nghiên cứu.

1 Phương pháp đọc tài liệu: Đây là phương pháp chủ yếu trong suốt quá trìnhnghiên cứu đề tài này

2 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua một số nămgiảng dạy, đồng thời tiếp thu kinh nghiệm qua việc trao đổi với các giáo viên dạygiỏi toán

Chính vì vậy trong đề tài này tôi mạnh dạn đưa ra những dạng toán liên quantới việc tính tổng của dãy số và một số bài toán liên quan nhằm mục đích rèn luyệncho học sinh tư duy sáng tạo khi học và giải toán; giúp học sinh biết cách địnhhướng và giải bài tập liên quan ngắn gọn để phát huy trí lực học sinh và làm họcsinh tự tin khi giải toán và thi cử

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.

Năm học 2017 – 2018, tôi vinh dự được nhà trường phân công giảng dạy tạilớp 6A2, là lớp chọn hai của khối 6 Vì vậy mà tôi luôn mong muốn giúp đỡ họcsinh tiếp cận nhiều hơn các dạng toán nâng cao, góp phần giúp các em nâng caokiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán, Từ đó học sinh có thể

tự tin tham gia đội tuyển cũng như kì thi học sinh năng khiếu các cấp Tuy nhiên,trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh của tôi khi gặp những bài toán

dạng tính tổng của dãy số thì hầu như các em gặp khó khăn, bế tắc và giải được

rất ít

Từ thực tế đó tôi đã cho học sinh trong lớp 6A2 làm một đề toán với dạng tính

tổng của dãy số để tôi có thể đánh giá khả năng thực sự của các em với dạng toán

trên như thế nào

D ưới đây là đề và kết quả kiểm tra

* Đề kiểm tra:(Thời gian - 30 phút )

1 2 1

Từ kết quả trên và đánh giá bài làm của các em học sinh tôi nhận thấy học sinhchưa có cách tính tổng các dãy số đạt hiệu quả, lời giải dài dòng không chính xácđôi khi còn ngộ nhận và chưa hiểu đề bài

Cũng với những bài toán trên nếu học sinh được trang bị kiến thức về phương

pháp “ Tính tổng của dãy số ” thì chắc chắn sẽ cho ta kết quả cao hơn.

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Từ thực trạng của vấn đề trên và cùng với một chút vốn hiểu biết, kinh nghiệmgiảng dạy trong một số năm tôi đã hệ thống được một số kiến thức cơ bản liênquan, hướng dẫn cho học sinh của tôi phương pháp tính tổng của các dãy số, cácbài toán liên quan tính chía hết và sưu tầm tích luỹ một số bài tập phù hợp mức độnhận thức của học sinh giúp cho học sinh phát triển tư duy, năng lực tốt nhất

III.1 Những kiến thức cần lưu ý khi tính tổng dãy số và làm các bài tập liên

quan

1 Quy đồng mẫu số nhiều phân số.

* Tìm mẫu số chung (thường BCNN của các mẫu)

* Tìm thừa số phụ tương ứng của mỗi mẫu

* Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

2 Các phép tính của phân số.

a Cộng, trừ phân số cùng mẫu:

* MA MB AMB (M 0);

* MA  MB AM B (M 0, AB)

b Cộng, trừ phân số không cùng mẫu:

* Quy đồng mẫu các phân số

* Cộng, trừ các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫuchung

c b

c b n d

c b

c b n

d

c b

III.2 Một số phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật.

III.2.1 Phương pháp khử liên tiếp.

Giả sử ta cần tính tổng Sn = a1+ a2 + a3 + + an, mà ta có thể biểu diễn các sốhạng a1, a2 , a3 , , an qua hiệu hai số hạng liên tiếp của một dãy số khác, chínhxác hơn, giả sử: a1 = b1 – b2 , a2 = b2 – b3 , ., an = bn – bn+ 1

Khi đó ta có ngay:

Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + 1 ) = b1 – bn + 1

1 Ví dụ 1

Tính tổng: A = 1 1 1

1.2 2.3  49.50

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là: 1.2;2.3; 3.4; ; 49.50 Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liêntiếp, trong đó thừa số thứ 2 của mẫu này chính là thừa số thứ nhất của mẫu kia.Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số,biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ Chẳng hạn:

49.50 49 50Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau

1 3 2

1 2 1

= 1 11 11 11 1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

n n

2.

Ví dụ 2.

Tính tổng: B = 99.2101

7 5

2 5 3

2 3 1

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy B là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tíchcủa 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó

là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân sốtrừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2

3

1 1

2 5 3

2 3

1 5

1 3

1 3

2

7 5

2 5 3

2 3 1

1 5

1 3

1 3

1 1

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy các số hạng trong dãy số trên là những phân số có tử là 2 còn mẫu làtích của 2 số tự nhiên liên tiếp Vậy trước hết ta phải dựa vào tính chất phân phốicủa phép nhân với phép cộng, để đặt thừa số chung sao cho hiệu của 2 thừa sốdưới mẫu đúng bằng tử sau đó biến đổi như các ví dụ trên

21 21

* Bài toán tổng quát:

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Với ví dụ này ta cũng thấy các mẫu là tích của các số tự nhiên cách đều nhau 3đơn vị Khi đó ta cũng sẽ sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phépcộng để biến đổi đặt thừa số chung sao cho hiệu của 2 thừa số ở mỗi mẫu đều cógiá trị bằng tử tương ứng

Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 61 ; 661 ; 1761 ; 3361 ;

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là: 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm sốhạng thứ 100 của dãy

1

16 11

1 11 6

1 6 1

1 ( 5

1 ( 5

1 ( 5

1 66

1 6

1 11 6

1 6

1 ( 5

1

16

1 11

1 ( 5

1

501

1 496

1 ( 5

1

16

1 11

1 11

1 6

1 6

1 1

1 =51.501500=100501

*Bài toán tổng quát:

16 11

1 11 6

1 6

1 1

1 4 3 2

1 3 2 1

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy các phân số trong tổng F đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tíchcủa 3 số tự nhiên liên tiếp Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số saocho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử

là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫugồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau (có 1 số giữa trùng nhau)

*Lời giải:

F =

39 38 37

1

5 4 3

1 4 3 2

1 3

1 2 1

1 2

1 3 2

1 2

1 38 37

1 2 1

1 38 37

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1 2

1 2 1

=

39 38

1 741

740 2

1

=741

370 2

1

=741 185

* Bài toán tổng quát:

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2

.

1

1

) 2 )(

1 (

1 (

1 2

1 2

1

n n

1 ( 2

2 ) 2 ).(

1 (

.

2

1

n n

n n

=(n4(n1).(1).(nn2)2)2

7 Ví dụ 7.

Tính tổng: G = 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy số hạng của G là tích của hai số tự nhiên liên tiếp Nếu để áp dụngphương pháp khử liên tiếp như những bài toán trên ta phải nhân mỗi số hạng của Gvới 3 thừa số 3 này được viết dưới dạnh (3 – 0) ở số hạng thứ nhất, (4 – 1) ở sốhạng thứ 2, (5 – 2) ở số hạng thứ 3 và (100 – 97) ở số hạng cuối cùng

*Lời giải:

Ta có G = 1.2 +2.3 + 3.4 +…+ 98.99

= > 3G = 1.2.(3 – 0) +2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) +…+ 98.99.(100 – 97)

=1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 98.99.100 – 97.98.99 = 98.99.100

3

100 99 98

5

26 21

5 21 16

5 16

2 3

1 Ví dụ 1

Tính tổng của dãy số: A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 210

*Hướng dẫn tìm lời gải:

Ta nhân cả A với 2, khai triển dựa theo tính chất phân phối, sau đó thục hiệnphép tính 2A – A, triệt tiêu các hạng tử để tìm A

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của biểu thức B với số nào để khi trừ cho B thìmột loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vịnên ta nhân hai vế với 32

*Lời g iải :

Ta có: 32B = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102

Khi đó : 32 B – B

= (32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100) = – 1+ (32 –32) + (34 –34) + (36 –36) +…+ (3100 –3100) + 3102

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Tương tự như ví dụ 2, ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên tanhân hai vế với 72

* Lời g iải :

Ta có: C = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

=> 72C = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101

=> 72C – C = (73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101) – (7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799) = – 7+ (73 –73) + (75 –75) + … + (799 –799) + 7101

= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11

= 9.10.11 = 990

= > D = 990:3 = 330

Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của D và 11

là số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp

III.2.3 Phương pháp dự đoán và quy nạp.

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán dạng tổng hữu hạn: Sn = a1 + a2 +

an Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi

đã cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phương pháp này để giải quyết bài toán

Với n = 1; 2; 3… ta đều thấy kết quả đúng

Giả sử biểu thức (1) đúng với n = k ( k  1) tức là ta có: Sk = k 2

Hay Sk = 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) = k 2 (2)

Ta cần chứng minh biểu thức (1) đúng với n = k + 1 tức là ta cần chứng minh:

Sk+1 = (k +1 )2 ( 3) Thật vậy: cộng hai vế của (2) với 2k +1 ta được :

Với n = 1; 2; 3; … ta đều thấy kết quả đúng

Giả sử biểu thức (4) đúng với n = k ( k  1) tức là ta có:

= > biểu thức (6) được chứng minh

Theo nguyên lí quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy: 1 + 2 + 3 + + n =

2

) 1 ( n n

1 3

* Hướng dẫn tìm lời giải:

Trước hết ta xét phân số x(x21) ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu

là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết:

) 1

1 1 2

x x

Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đổi các phân số: ;

10

1

; 6

1

; 3

1

về dạng phân số

có tử là 2 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không?

Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta cần áp dụng tính chất cơ bản của phân

số, cụ thể là:

3 2

2 3

* Lời giải:

2000

1998 )

1 (

2

1

5 4

1 4

5

1 4

1 4

1( 3)

x x  =

1011540

*Hướng dẫn tìm lời giải:

Ta thấy vế bên trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 còn mẫu số

là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị

1 5

1 8

1 11

1

= 111.14

1 1

1( 3)

x x  =

1011540

2 2

1 100

1

3

1 2

*Hướng dẫn tìm lời giải :

Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải Ởbài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn tử 1đơn vị Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì ta phải cộng vếphải với biểu thức trong ngoặc của vế trái Từ đó ta có điều phải chứng minh

* Lời giải: