S6 chuyên đề 1 chủ đề 3 phương pháp tính tổng dãy số tự nhiên

CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT DÃY SỐ TỰ NHIÊN + Cho dãy số tự nhiên : - a1 : số hạng thứ - a2 : số hạng thứ - a3 : số hạng thứ - an : số hạng thứ n S a1  a2  a3  an - S tổng dãy số tự nhiên có n số hạng DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU + Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn không đổi - an  an  d (hằng số) S a1  a2  a3   an S n  a1  an  : PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tổng số hạng cách S a1  a2  a3   an I Phương pháp giải Cần tính tổng: Với S a1  a2  a3   an (1) a2  a1 a3  a2  an  an  d (các số hạng cách giá trị d ) Số số hạng tổng n  an  a1  : d  với a1 số hạng thứ nhất; an số hạng thứ n Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Tổng S n  a1  an  : a a1   n  1 d Số hạng thứ n dãy n II.Bài tốn Bài 1: Tính tổng S 1      2019  2020 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  2020  1 :1  2020 S   2020  2020 : 2041210 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S 1     n Số số hạng dãy Tổng S  n  1 n :  n  1 :1 1 n Bài 2: Tính tổng S 1     2019  2021 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  2021  1 : 1 1011 S   2021 1011: 1022121 Bài 3: Tính tổng S 5  10  15   2015  2020 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  2020   :  404 S   2020  404 : 409050 4039 S 1       2020 2 Bài 4: Tính tổng Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Số số hạng dãy Tổng  2020  1 :  4039 S   2020  4039 : 4081409,5 Bài 5: Tính tổng S 10,11  11,12  12,13   98, 99  100 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  100  10,11 :1, 01 1 90 S  10,11  100  90 : 4954, 95 Bài 6: Tính tổng số tự nhiên có hai chữ số? Lời giải: Cách 1: Các số tự nhiên có hai chữ số 10;11;12; ;99 Số số là: 99  10  90 số Ta có: A 10  11  12   99 (1) A 99  98   11  10 (2) Cộng (1) với (2) áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng ta được: A  A  10  99    11  98     98  11   99  10  109  109  109 109 Nên A 109.90  A 109.90 : 45.109 4905 Cách 2: Số số hạng dãy:  99  10   90 (khoảng cách số hạng liên tiếp dãy 1, số hạng đầu dãy 10, số hạng cuối dãy 99) A 99  10 90 4905 Tổng dãy: Bài 7: Tính tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên? Phân tích: Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Để giải toán ta cần xác định quy luật cách số lẻ liên tiếp Tuy nhiên số hạng tổng biết nên ta cần áp dụng cơng thức tính tổng nêu phương pháp Lời giải Tổng 21 số lẻ liên tiếp là: S 1     33  35  37  39  41 Cách 1: Tính tổng theo công thức phương pháp Các số hạng liên tiếp tổng cách giá trị d 2 tổng có 21 số hạng nên: S 1     33  35  37  39  41   41  1 21 441 Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành cặp số có tổng nhau, ta thấy:  39 42  41 42  37 42  35 42  Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta cặp số có tổng 42 Số cặp số là: 20 : 10 (cặp số) dư số hạng dãy số số 21 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 42.10  21 441 101 103 S          35 3 3 Bài 9: Tính tổng Lời giải 101 103     101 103 105 S          35  3 3 3 Ta có Xét tổng     101  103  105 tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 105, số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đơn vị Tổng có: n  105  1 :  53     101  103  105  Ta có tổng S số hạng  105  1 53 2809 2809 3 n Dạng 2: Tổng có dạng S 1  a  a  a   a (1) I Phương pháp giải TH 1: Nếu a 1 S 1  n Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN TH 2: Nếu a 1 để tính tổng S ta làm sau  1 Bước 1: Nhân hai vế Bước 2: Lấy  2 trừ  1 aS a  a  a  a   a n a với số ta vế theo vế ta aS  S a n 1   S  II Bài tốn 20 Bài 1: Tính tổng S 2      Lời giải: 21 Ta có S 2      21 Vậy S  S S 2  100 Bài 2: Tính tổng S 1       Lời giải: 101 Ta có 2S 2       101 Vậy S  S S 2  99 Bài 3: Tính tổng S 6      Lời giải: 100 Ta có S 6     100 Vậy S  S 5S 6  6100  S Suy 1 1 S 1      99  100 2 2 Bài 4: Tính tổng a *) Phân tích: Đặt toán trở dạng cho Trang a n 1  a  2 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Kể từ số hạng thứ nhất, số hạng số hạng đứng trước nhân với Do ta 1 99 nhân vào tổng S ta có tổng 2S với số hạng từ đến , giống tổng S, lấy 1 99 tổng 2S trừ tổng S số hạng từ đến bị triệt tiêu tính tổng S Lời giải: 1 1 1 1 S 1      99  100  S 2       99 2 2 2 2 Ta có  S  S S 2  2100 5 5 S 1      55 7 7 Bài 5: Tính tổng 5 55 *) Phân tích: Nhận thấy số hạng từ đến có tử số 5, kể từ số hạng số hạng số hạng đứng trước nhân với Nếu nhân vào tổng S ta tổng 7S 5 54 có số hạng từ đến giống tổng S Do lấy tổng 7S trừ tổng S số hạng 5 54 từ đến bị triệt tiêu, từ tính tổng S Lời giải: 5 5  5 5 5 5 S 1      55  S 7       55  7       54 7 7  7 7 7 7 Ta có  S  S 6 S 11  11  S  55 6.755 1 1 S    18 18.9 162.9 1458.9 Bài 6: Tính tổng Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN *) Phân tích: Nếu quy đồng phân số tốn phức tạp Nhận thấy số 18, 162, 1458 chia hết cho 9, ta phân tích số thành tích với thừa số để xem có xuất 1    a tổng theo quy luật a a hay khơng, từ có hướng tính S Lời giải: 1 1 1 1 11 1  S           2 3 4 18 18.9 162.9 1458.9 2.9 2.9 2.9 2.9 29 9  Ta có 1 1 2S     9 9 Nhân vào tổng S ta được: 1 19 S 1    9 Nhân vào tổng 2S ta được: 94  94  410 18S  S 16 S 1   16 S   S   9 16.94 6561 Trừ tổng 18S cho tổng 2S ta được: 2n Dạng 3: Tính tổng có dạng A 1  a  a  a   a (1) I Phương pháp giải Bước 1: Nhân hai vế đẳng thức với a ta được: a A a  a  a  a   a n 2 (2) Bước 2: Lấy     1 theo vế ta được: a A  A  a  a  a  a   a n 2     a  a  a   a n   A  a  1 a n 2   A  a n2  a2  II Bài toán 98 100 Bài 1: Tính tổng sau: A 1        (1) Lời giải: 2 100 102 Nhân vào hai vế với ta được: A 2        (2) Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lấy     1 theo vế : 22.A  A  22  24  26  28    2100  2102     2  24  26    298  2100  A 2102   A  2102  1 1 B      2018 9 81 729 (1) Bài 2: Tính tổng sau: Lời giải: 1 1 C     2018  B   C 81 729 Đặt Ta có:  C 1 1     2018 3 1 1 C      2020 3 3 1   1 1   1 C      2018        2020  3  3 3  3 2018 1  1  1  C   2020  C    2020   2018 3  3  8.3  C Bài 3: Tìm giá trị x biết:  52  54   52 x  256  24 Lời giải: 2x Đặt A 1     (1) 2 x 2 Nhân vào hai vế với ta được: A 5       (2) Lấy     1 theo vế : 2.A  A  52  54  56  58    22 x 2     52  54  .52 x  24 A 52 x 2   A  52 x   24 Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 256  512  52 x 2  512  1    .5      x 5 24 24 24 24 Vì 2x Vậy x 5 giá trị cần tìm   x  1   x  1    x  1 2020 Bài 4: Tìm giá trị x biết:  17 2022    x  1  1   , với x 2 Lời giải: Đặt B 1   x  1   x  1    x  1  x  1 Nhân hai vế (1) với Lấy     1 2020 (1) 2 ta được: 2022 theo vế ta được: 2 B  x  1  B   x  1   x  1   x  1    x  1  2022   1   x  1   x  1   x  1 2020     2022  x  1  2022 B   x  1  1  x  1  1 B     x  1  B Theo cho: B  x  1  x  1   x  1   x  1    x  1 17 2022    x  1  1   2022   x  1   17 2022   x  1    x  1  1  x  17  x 18 (thỏa mãn) Vậy x 18 40 Bài 5: Chứng minh rằng:     chia hết cho 26 Lời giải: Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 26 Ta có: Trang (2) CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  52  54   540   52  54  56  538  540                  38 26  54.26  538.26 40 Vậy    .5 chia hết cho 26 100 Bài 6: Chứng minh rằng:     chia hết cho 21 Lời giải: Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 21 Ta có:  22  24   2100   22  24  26  28  210  296  298  2100    2      1      24   296  22  24    21  26.21   296.21 100 Do đó:     chia hết cho 21 100 Bài 7: Chứng minh rằng:     chia hết cho 82 Lời giải: Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách để làm xuất thừa số 82 Ta có:  32  34   3100   34  32  36   390  394  396  3100                         4 90 82  32.82   390.82  396.82 100 Vậy     chia hết cho 82 40 Bài 8: So sánh:     542  với 23 Lời giải: 40 Đặt A 1     Trang 10 96