S6 CHUYÊN đề 1 CHỦ đề 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG dãy số tự NHIÊN

CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT DÃY SỐ TỰ NHIÊN + Cho dãy số tự nhiên : - a1 : số hạng thứ - a2 : số hạng thứ - a3 : số hạng thứ - an : số hạng thứ n S  a1  a2  a3  an - S tổng dãy số tự nhiên có n số hạng DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU + Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn không đổi - an  an 1  d (hằng số) S  a1  a2  a3   an S  n  a1  an  : PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tổng số hạng cách S  a1  a2  a3   an I Phương pháp giải Cần tính tổng: Với S  a1  a2  a3   an a2  a1  a3  a2   an  an 1  d Số số hạng tổng (1) (các số hạng cách giá trị d ) n   an  a1  : d  với a1 số hạng thứ nhất; TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang an số hạng thứ n CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Tổng S  n  a1  an  : a  a1   n  1 d Số hạng thứ n dãy n II.Bài toán Bài 1: Tính tổng S       2019  2020 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  2020  1 :1   2020 S    2020  2020 :  2041210 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S      n Số số hạng dãy Tổng S   n  1 n :  n  1 :1   n Bài 2: Tính tổng S      2019  2021 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  2021  1 :   1011 S    2021 1011:  1022121 Bài 3: Tính tổng S   10  15   2015  2020 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  2020  5 :   404 S    2020  404 :  409050 Bài 4: Tính tổng S  1 4039      2020 2 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Số số hạng dãy Tổng  2020  1 :   4039 S    2020  4039 :  4081409,5 Bài 5: Tính tổng S  10,11  11,12  12,13   98,99  100 Lời giải: Số số hạng dãy Tổng  100  10,11 :1, 01   90 S   10,11  100  90 :  4954,95 Bài 6: Tính tổng số tự nhiên có hai chữ số? Lời giải: Cách 1: Các số tự nhiên có hai chữ số 10;11;12; ;99 Số số là: 99  10   90 số Ta có: A  10  11  12   99 (1) A  99  98   11  10 (2) Cộng (1) với (2) áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng ta được: A  A   10  99    11  98     98  11   99  10   109  109   109  109 Nên A  109.90  A  109.90 :  45.109  4905 Cách 2: Số số hạng dãy:  99  10    90 (khoảng cách số hạng liên tiếp dãy 1, số hạng đầu dãy 10, số hạng cuối dãy 99) A 99  10 90  4905 Tổng dãy: Bài 7: Tính tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên? Phân tích: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Để giải toán ta cần xác định quy luật cách số lẻ liên tiếp Tuy nhiên số hạng tổng biết nên ta cần áp dụng cơng thức tính tổng nêu phương pháp Lời giải Tổng 21 số lẻ liên tiếp là: S      33  35  37  39  41 Cách 1: Tính tổng theo công thức phương pháp Các số hạng liên tiếp tổng cách giá trị d  tổng có 21 số hạng nên: S      33  35  37  39  41   41  1 21  441 Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành cặp số có tổng nhau, ta thấy:  39  42  41  42  37  42  35  42  Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta cặp số có tổng 42 Số cặp số là: 20 :  10 (cặp số) dư số hạng dãy số số 21 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: 42.10  21  441 Bài 9: Tính tổng S 101 103         35 3 3 Lời giải 101 103      101  103  105 S          35  3 3 3 Ta có Xét tổng     101  103  105 tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 105, số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đơn vị Tổng có: n   105  1 :   53     101  103  105  Ta có tổng S số hạng  105  1 53  2809 2809 3 n Dạng 2: Tổng có dạng S   a  a  a   a (1) I Phương pháp giải TH 1: Nếu a  S   n TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN TH 2: Nếu a  để tính tổng S ta làm sau  1 Bước 1: Nhân hai vế Bước 2: Lấy  2 trừ  1 aS  a  a  a  a   a n a với số ta vế theo vế ta aS  S  a n 1   S  II Bài toán 20 Bài 1: Tính tổng S       Lời giải: 21 Ta có S       21 Vậy S  S  S   100 Bài 2: Tính tổng S        Lời giải: 101 Ta có S        101 Vậy S  S  S   99 Bài 3: Tính tổng S       Lời giải: 100 Ta có S      100 Vậy S  S  5S   Suy S 6100  Bài 4: Tính tổng S  1 1 1     99  100 2 2 a *) Phân tích: Đặt toán trở dạng cho TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang a n 1  a 1  2 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Kể từ số hạng thứ nhất, số hạng số hạng đứng trước nhân với Do ta 1 99 nhân vào tổng S ta có tổng 2S với số hạng từ đến , giống tổng S, 1 99 lấy tổng 2S trừ tổng S số hạng từ đến bị triệt tiêu tính tổng S Lời giải: Ta có S  1 1 1 1 1     99  100  S        99 2 2 2 2  2S  S  S   Bài 5: Tính tổng 2100 S  1 5 5     55 7 7 5 55 *) Phân tích: Nhận thấy số hạng từ đến có tử số 5, kể từ số hạng số hạng số hạng đứng trước nhân với Nếu nhân vào tổng S ta tổng 7S 5 54 có số hạng từ đến giống tổng S Do lấy tổng 7S trừ tổng S số hạng 5 54 từ đến bị triệt tiêu, từ tính tổng S Lời giải: Ta có S  1 5 5  5 5 5 5     55  S        55         54 7 7  7 7 7 7  S  S  S  11  Bài 6: Tính tổng S 11 S  55 6.755 1 1    18 18.9 162.9 1458.9 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN *) Phân tích: Nếu quy đồng phân số tốn phức tạp Nhận thấy số 18, 162, 1458 chia hết cho 9, ta phân tích số thành tích với thừa số để xem có xuất 1    a tổng theo quy luật a a hay khơng, từ có hướng tính S Lời giải: Ta có S 1 1 1 1 11 1            2 3 4 18 18.9 162.9 1458.9 2.9 2.9 2.9 2.9 29 9  Nhân vào tổng S ta được: 2S  1 1    9 93 1 19 S     9 Nhân vào tổng 2S ta được: 94  94  410 18S  2S  16S    16S   S   9 16.94 6561 Trừ tổng 18S cho tổng 2S ta được: 2n Dạng 3: Tính tổng có dạng A   a  a  a   a (1) I Phương pháp giải Bước 1: Nhân hai vế đẳng thức với a ta được: a A  a  a  a  a   a n  (2) Bước 2: Lấy     1 theo vế ta được:    a A  A  a  a  a  a8   a n    a  a  a   a n    A a   a 2n   A   a 2n2  a2 1 II Bài toán 98 100 Bài 1: Tính tổng sau: A         (1) Lời giải: 2 100 102 Nhân vào hai vế với ta được: A         (2) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lấy     1 theo vế :    22.A  A  22  24  26  28    2100  2102   2  24  26    298  2100 A  2102   A  2102  Bài 2: Tính tổng sau: B 1 1      2018 9 81 729 (1) Lời giải: Đặt C Ta có:  1 1     2018  B   C 81 729 C 1 1     2018 3 1 1 C      2020 3 3 C 1  1 1  1 1 C       2018       2020  3  3 3  3 1 1  32018   C   2020  C    2020   3  3  8.32018 Bài 3: Tìm giá trị x biết:  52  54   52 x  256  24 Lời giải: 2x Đặt A      (1) 2 x2 Nhân vào hai vế với ta được: A        (2) Lấy     1 theo vế :    2.A  A  52  54  56  58    22 x    52  54  .52 x 24 A  52 x    A  52 x   24 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang   CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 256  512  52 x   512  1    .5      x5 24 24 24 24 Vì 2x Vậy x  giá trị cần tìm   x  1   x  1    x  1 2020 Bài 4: Tìm giá trị x biết:  17 2022   x  1  1   , với x  Lời giải: B    x  1   x  1    x  1 Đặt  x  1 Nhân hai vế (1) với Lấy     1 2020 (1) B  x  1   x  1   x  1   x  1    x  1 ta được: 2022 2022   1   x  1   x  1   x  1 2020      x  1  2022 B  x  1  1   x  1 1  B     x  1  2022  x  1   17 2022  B   x  1  1  x  1  1 x  1       17 2022  Theo cho: theo vế ta được: B  x  1  B   x  1   x  1   x  1    x  1  2 2022  x   17  x  18 (thỏa mãn) Vậy x  18 40 Bài 5: Chứng minh rằng:     chia hết cho 26 Lời giải: Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 26 Ta có: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang (2) CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN                    52  54   540   52  54  56  538  540 38  26  54.26  538.26 40 Vậy    .5 chia hết cho 26 100 Bài 6: Chứng minh rằng:     chia hết cho 21 Lời giải: Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 21 Ta có:    1          22  24   2100   22  24  26  28  210  296  298  2100  24     24   296  22  24   21  26.21   296.21 100 Do đó:     chia hết cho 21 100 Bài 7: Chứng minh rằng:     chia hết cho 82 Lời giải: Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách để làm xuất thừa số 82 Ta có:                           32  34   3100   34  32  36   390  394  396  3100 4 90  82  32.82   390.82  396.82 100 Vậy     chia hết cho 82 40 Bài 8: So sánh:     542  với 23 Lời giải: 40 Đặt A      TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 96 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  10  1 số hạng thứ hai,  13   số hạng thứ ba, …,  46  37  số hạng cuối Lời giải: Ta có: D  1.4     4.7  10  1  7.10  13     37.40  43  34   40.43  46  37    1.4.2  1.4.7  4.7.10  7.10.13   37.40.43  40.43.46    1.4.7  4.7.10   37.40.43  D   40.43.46  79128 Suy ra: D 79128  8792 Bài tập tương tự: Tính tổng: T  1.5  5.9  9.13   201.205 Hướng dẫn: Nhân T với 12 Đáp số: T  717 655 Bài 14: Tính tổng: E  2.4  4.6  6.8   98.100 Phân tích: Khoảng cách hai thừa số số hạng Để tách số hạng thành hiệu hai số nhằm triệt tiêu cặp hai số, ta nhân số hạng E với (ba lần khoảng cách hai thừa số) Lời giải: Ta có: E  2.4     4.6     6.8  10     98.100  102  96    2.4.6  4.6.8  6.8.10   98.100.102    0.2.4  2.4.6  4.6.8   96.98.100   98.100.102 Suy ra: E 98.100.102  166 600 Bài 15: Tính tổng: F  1.99  2.98  3.97   98.2  99.1 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 42 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Ta có: F  1.99   99  1   99     98  99  97   99  99  98    1.99  2.99  3.99   98.99  99.99    1.2  2.3   97.98  98.99   99(1     99)   99 98.99.100 99.100 98.99.100   99 98   99.100       99.100.101 Bình luận: Trong tập 3, thừa số số hạng đứng trước không lặp lại số hàng đứng sau, nên ta không nhân F với ba lần khoảng cách hai thừa số mà tách thừa số tích làm xuất tổng mà ta biết cách tính dễ dàng tính Bài toán tổng quát: 1.n   n  1   n      n  1  n.1  n  n  1  n   Bài 16: Tính tổng: G  1.2   5.6   99.100 Lời giải: Cách 1: Ta có: G  1.2    1    1    98  1 100   2.4  4.6   98.100        100   98.100.102 102.50   169150 Cách 2: Ta có: G    1    1    1   99  101  1   1.3  3.5  5.7   99.101        99  TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 43 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN   99.101.103 100.50   169150 Bài tập tương tự: Tính tổng: G1  1.4  2.5  3.6   99.102 ; Hướng dẫn: G1               99  100     1.2  2.3  3.4   99.100         99   343200 2 2 Bài 17: Tính C  101  102  103   199  200 Lời giải: Đặt: C1  12  22  32   2002 C2  12  22  32   1002 ; Khi ta áp dụng cơng thức tổng qt để tính Từ đó: Ta có: C2  C1 ; C2 C  C1  C2 C1  200.201  2.200  1 100.101  2.100  1  2686700  338350  C  C1  C2  2686700  338350  2348350 Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết tổng bình phương số tự nhiên từ đến n 506 Lời giải: 2 Vì tổng tổng bình phương số tự nhiên từ đến n 506 nên    n  506  n  n  1  2n  1  506  n  n  1  2n  1  22.23.6  n  n  1  2n  1  11.2.23.6 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 44 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  n  n  1  2n  1  11.12.23  n  n  1  2n  1  11 11  1  2.11  1  n  11 99 100 Bài 19: Tính tổng A         Lời giải: A    22  23  24   299  2100 A   22  23  24  25  2100  2101  A  A  2101   A  2101  Bài 20: Tìm n nhỏ cho tổng n số phương lẻ chia hết cho Lời giải: Ta có A  12  32  52  (2n  1)2  n(2n  1)(2n  1) Mà (2 n  1, 2n  1)  2;( n, 2n  1)  1;( n, n  1)  nên số n, 2n  1, 2n  có số chia hết cho 3, mà muốn A chia hết cho số phải chia hết cho Để n nhỏ 2n   Suy n  Vậy n  số cần tìm Bài 21: Tính tổng A  1.3  3.7  5.11   99.199 Lời giải: Ta có (2n  1)(4 n  1)  2(2n  1)  2n   A  2(12  32  52   992 )  (1     99)  A 50(100  1)(100  1)  50  166650  2500  164150 Bài 22: Tính tổng A  1.2  3.4   2(2n  1)(n  1) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 45 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: 2 Ta có (2n  1)(2n  2)  4n  6n   (2n  1)  2n   A  (12  32   (2n  1) )  (1    (2n  1)) A (n  1)(2n  1)(2n  3)  (n  1) (n  1)(4n  8n   3n  3) A A (n  1)(4n  3)(n  2) 2 2 Bài 23: Tính tổng D    10   102 S  22  42  62    k  1  Phân tích: Sử dụng công thức  k  1 k  k  1 với k  103 Lời giải: S  22  42  62    k  1  Áp dụng công thức: S  22  42  62   102   k  1 k  k  1 với k  103 Ta được: 102.103.104  182104 2 2 2 Mặt khác: S       102    D 2 2 Suy ra: D  S    182104    182084 2 Bài 24: Tính tổng E  12  14   2010 S  22  42  62    k  1  Phân tích: Sử dụng cơng thức Tính E1  22  42    k  1 Tính E2  22     k  1 với k  11 với k  2010 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 46  k  1 k  k  1 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Khi đó: E  E2  E1 Lời giải: S  22  42  62    k  1  Áp dụng công thức: Đặt Đặt E1  22  42    10  10.11.12 E2     2010  2010.2011.2012 Khi đó: 2 2 E  E2  E1   k  1 k  k  1 2010.2011.2012 10.11.12   1355454000 6 2 2 Bài 25: Tính tổng: F      101 Phân tích: Tổng F có dạng P  12  22  32   n  n  n  1  2n  1 với n  101 Lời giải: Áp dụng công thức: Ta được: P  12  22  32   n  F  12  22  32   1012  n  n  1  2n  1 với n  101 101.102.203  348551 Bài 26: Tính tổng: G     16  25   10000 2 2 Phân tích: Tổng G        100 Áp dụng dạng P  12  22  32   n  n  n  1  2n  1 với n  100 Lời giải: Áp dụng công thức: P  12  22  32   n  n  n  1  2n  1 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 47 với n  100 , ta được: CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  22  32   52   1002  100.101.201  338350 Suy ra:    16  25   10000  338350 Vậy G  338350 2 2 2 Bài 27: Tính tổng K  1       19  20 Phân tích: Tính K1  12  32  52   19 Tính K  22  42    20 Tính K   K1  K Lời giải: Đặt Đặt K1  12  32  52   192  19.20.21 K  22  42  62   202  Khi đó: 20.21.22 K   K1  K  12  2  32  42  52   192  202   19.20.21 20.21.22   210 6 2 2 2 2 Bài 28: Biết     10  385 Tính tổng M      20 Lời giải: 2 2 Ta có: M      20 M   22  32   102 Suy ra: 2 2 Mà     10  385 M  385 Nên Vậy M  385  1540 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 48 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Bài 29: Tính tổng S  1.2  2.3  3.4    99.100 Phân tích: Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 3) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: 3S  1.2.3  2.3.3  3.4.3    99.100.3  1.2.3  2.3  – 1  3.4  –    99.100(101  98) 1 .2.3  1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5   98.99.100  99.100.101 99.100.101  S    33 100 101  333300 Vậy S  333300 Bài tốn tổng qt: Tính tổng S  1.2  2.3  3.4    ( n  1).n Ta có: 3S  1.2.3  2.3.3  3.4.3    (n  1) n.3  1.2.3  2.3  – 1  3.4  –    (n 1) n  (n  1)  ( n  2)  1 .2(n  1).n.(n  1).3  1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5   ( n  2).(n  1).n  ( n  1).n.(n  1)  (n  1).n.(n  1) S  Vậy: n – 1 n  n  1 S  1.2  2.3  3.4    ( n  1).n  (n  1)n( n  1) Bài 30: Tính tổng S  2.6  6.10  10 14    46.50 Phân tích:Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 12) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: 12 S  2.6.12  6.10.12  10.14.12    46.50.12 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 49 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  2.6.(10  2)  6.10  14 –   10.14  18 –    46.50.(54  42)   2.6.10 + 2.6.2  6.10.14  2.6.10  10.14.18 – 6.10.14 + +46.50.54  42.46.50  24  46.50.54 S  24  46.50.54  10352 12 Vậy S  10352 Bài 31: Tính tổng S  4.9  9.14   44.49 Phân tích: Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 15) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: 15S  4.9.15  9.14.15   44.49.15  4.9.(14  1)  9.14.(19  4)   44.49.(54  39)  4.9.14  4.9.1  9.14.19  4.9 14   44.49.54  39.44.49  36  44.49.54 S  Vậy 36  44.49.54  7764 15 S  7764 Bài 32: Tính tổng S  2.4  4.6    48.50 Phân tích:Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 6) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: S  2.4.6  4.6.6    48.50.6  2.4.6  4.6 (8-2)    48.50.(52  46) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 50 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  2.4.6  4.6.8 - 4.6.2    48.50.52  46.48.50  48.50.52 48.50.52  S    20800 Vậy S  20800 Bài 33: Tính tổng S `1.5  5.9   97.101 Phân tích:Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 12) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: 12 S  1.5.12  5.9.12   97.101.12  1.5.(9  3)  5.9.(13  1)   97.101.105  93.97.101  1.5.9  1.5.3  5.9.13  1.5.9   97.101.105  93.97.101  97.101.105  1.5.3  1028700 1028700  S    85725 12 Vậy S  85725 M  1.3.5  3.5.7  7.9.11   99.101.103 Bài 34: Tính tổng Phân tích: Ta áp dụng dạng tốn với a2  3, k  Lời giải: M  1.3.5  3.5.7  5.7.9   99.101.103 8M  1.3.5.8  3.5.7.(9  1)  5.7.9.(11  3)   99.101.103.(105  97) 8M  1.3.5.8  3.5.7.9  3.5.7  5.7.9.11  3.5.7.9   99.101.103.105  97.99.101.103 8M  1.3.5.8  3.5.7  99.101.103.105 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 51 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 8M  108139200 M  13517400 Bài 35: Tính tổng N  1.4.7  4.7.10  7.10.13   100.103.106 Phân tích Ta áp dụng dạng tốn với Khi đó: a2  4, k  an  106 106   (n  1) k 105  (n  1).3 35  n  n  36 Lời giải: N  1.4.7  4.7.10  7.10.13   100.103.106 12 N  1.4.7.12  4.7.10.(13  1)  7.10.13.(16  4)   100.103.106.(109  97) 12 N  1.4.7.12  4.7.10.13  4.7.10  7.10.13.16  4.7.10.13   100.103.106.109  97.100.103.106 12 N  100.103.106.109  1.4.7.12  4.7.10 12 N  119006256 N  9917188 Bài 36: Tính tổng P  50.51.52  51.52.53  52.53.54   98.99.100 Phân tích Ta có P  50.51.52  52.53.54   98.99.100  (1.2.3  2.3.4   98.99.100)  (1.2.3  2.3.4   49.50.51) Ta tính hai tổng sau A  1.2.3  2.3.4   98.99.100 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 52 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN B  1.2.3  2.3.4   49.50.51 Lời giải: +) Tính tổng A  1.2.3  2.3.4   98.99.100 Áp dụng ví dụ, ta tính A  24497550 B  1.2.3  2.3.4   49.50.51 Tương tự áp dụng công thức (*) với B k  1, ak  k , n  51 ta có 49.50.51.52  4.1.2.3  2.3.4  1624350 4.1 +) Tính P  50.51.52  52.53.54   98.99.100  (1.2.3  2.3.4   98.99.100)  (1.2.3  2.3.4   49.50.51)  A  B  24497550  1624350  22873200 Bài 37: Tính tổng A  1.2.3  3.4.5  5.6.7   99.100.101 Phân tích: Trong tốn này, ta khơng nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Lời giải: A  1.2.3  3.4.5  5.6.7   99.100.101 A  1.3.(5  3)  3.5.(7  3)  5.7.(9  3)   99.101.(103  3) A  1.3.5  1.3.3  3.5.7  3.5.5  5.7.9  5.7.3   99.101.103  99.101.3 A  (1.3.5  3.5.7  5.7.9   99.101.103)  3.(1.3  3.5  5.7   99.101) Từ ta có, M  1.3.5  3.5.7  7.9.11   99.101.103 N  1.3  3.5  5.7   99.101 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 53 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Áp dụng 1, ta tính M  13517400 Ta cần tính N  1.3  3.5  5.7   99.101 N  1.3.6  3.5.(7  1)  5.7.(9  3)   99.101.(103  97) N  1.3.6  3.5.7  3.5  5.7.9  3.5.7   99.101.103  97.99.101 N  1.3.6  3.5  99.101.103 N  1029900 N  171650 Do A  M  3.N A  13517400  3.171650 A  13002450 Bình luận: Ta nhận thấy cách tính M nhân M với 4k k khoảng cách số liên tiếp số hạng M có thừa số, cịn cách tính N tương tự Tuy nhiên để tính N ta nhân N với lần khoảng cách số liên tiếp số hạng N có thừa số * Bài toán tổng quát: A  1.2.3  3.4.5   (2n  1).2n.(2 n  1) ( n  N , n  2) Bài tập tương tự Tính A  1.2.3  3.4.5   49.51.53 B  27.28.29  28.29.30   59.60.61 Bài 38: Tính tổng K  1.22  2.32   99.1002 Phân tích: Trong tốn này, tương tự ta khơng nhân K với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Ở ta tách n  n  n  1  1 với bình phương Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 54 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN K  1.22  2.32   98.992 K  1.2.(3  1)  2.3.(4  1)   98.99.(100  1) K  1.2.3  1.2  2.3.4  2.3   98.99.100  98.99 K  (1.2.3  2.3.4   98.99.100)  (1.2  2.3   98.99) Từ ta tính A  1.2.3  2.3.4   98.99.100 B  1.2  2.3   98.99 +) Tính tổng A  1.2.3  2.3.4   98.99.100 Áp dụng ví dụ , ta tính A  24497550 +) Tính tổng B  1.2  2.3   98.99 Áp dụng Lý thuyết với Áp dụng Lý thuyết, với B k  1, n  99  ak  k (với  k  n ), ta tính 98.99.100  3.1.2  2.3 98.99.100   323400 3 Vậy K  A  B  24497550  323400  24174150 2 * Bài toán tổng quát: A  1.2  2.3   (n  1).n (n  N , n  2) 2 Bài tập tương tự: Tính A  1.2  2.3   49.50 3 3 Bài 39: Tính tổng A      (2 n) Lời giải: A  13  23  33   (2n)3 A  (13  (2n)3 )  (23  (2n  1)3 )   ( n3  ( n  1)3 ) A  (2n  1)(12  2n  (2n)2 )  (2n  1)(22  2.(2 n  1)  (2n  1) )   (2 n  1)( n2  n(2 n  ( n  1))  (n  1)2 ) A  (2n  1)(12  22  32   (2n)2  [2n(1     n)  (1.2  2.3   ( n  1) n)] TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 55 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN n(n  1)(n  1)   n(2n  1)(4n  1) A  (2n  1)   n (n  1)   3   A  n(2n  1) 8n  6n   3n  3n  n   6n  3n  A  n(2n  1)    (n(2n  1))   TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 56 ... Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN  1. 2 .3  1. 2 .3  2 .3. 4  2 .3. 4  3. 4.5   98.99 .10 0  99 .10 0 .10 1  10 0 .10 1.99  10 0 .10 1 .10 2  10 0 .10 1 .10 2  S  10 0 .10 1 .10 2 :  34 .10 0 .10 1  34 3400 10 0 Vậy... Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN A 10 1 .10 2 .10 3 10 1 .10 2 .10 3  P'   17 68 51    P  P ' 12  32  17 68 51  10  17 68 41 Vậy P  52     10 12  17 68 41 2 2 Bài 6: Tính tổng S  11  13  15 ...  1. 3. (5  1)  3. 5  – 1? ??  5.7  –    99 .10 1. (10 3  97) ? ?1? ? .3 .1 + 1. 3. 5  3. 5.7  1. 3. 5  5.7.9  3. 5.7 + 99 .10 1 .10 3  97.99 .10 1   99 .10 1 .10 3 S   99 .10 1 .10 3  17 1650 Vậy S  17 1650