S6 CHUYÊN đề 3 CHỦ đề 2 DUNG DAU HIEU DE CM BAI TOAN CHIA HET

CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Chủ đề 2: Dùng dấu hiệu để chứng minh tốn chia hết PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phép chia hết a = b.q Với a, b số TN b khác Ta nói a chia hết b tồn số TN q cho Tính chất chung 1) a ⋮ b b ⋮ c a ⋮ c 2) a ⋮ a với a khác 3) ⋮ b với b khác 4) Bất số chia hết cho Tính chất chia hết tổng, hiệu - Nếu a, b chia hết cho m a + b chia hết cho m a - b chia hết cho m - Tổng số chia hết cho m số chia hết cho m số lại chia hết cho m - Nếu số a, b chia hết cho m số khơng chia hết cho m tổng, hiệu chúng khơng chia hết cho m Tính chất chia hết tích - Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n - Nếu a chia hết cho b thì: an ⋮ bn *) Chú ý: a n − b n M(a − b)∀n ≥ a n − bn M(a + b)∀n chẵn Dấu hiệu chia hết a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn b) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 9) - Một số chia hết cho (hoặc 9) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc 9) - Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc 9) dư tổng chữ số chia cho (hoặc 9) dư nhiêu ngược lại TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ c) Dấu hiệu chia hết cho - Một số chia hết cho chữ số số có tận d) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25) - Một số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25) e) Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125) - Một số chia hết cho (hoặc 125) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125) f) Dấu hiệu chia hết cho 11 - Một số chia hết cho 11 chi hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TOÁN CHIA HẾT Dạng 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho số I Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức A chia hết cho số m - Viết biểu thức A thành tổng (hiệu) số số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A thành tích thừa số có thừa số chia hết cho m từ suy A chia hết cho m - Viết m thành tích thừa số nguyên tố biểu thức A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết biểu thức A m thành tích thừa số thừa số A chia hết cho thừa số m từ suy A chia hết cho m - Viết A thành tổng hiệu số mà có tổng hiệu số dư chia hết cho m từ suy A chia hết cho m Cụ thể ta vận dụng PHƯƠNG PHÁP sau: + PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu số A số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết ; ; ; ; ; 11 ; để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu số A có tổng hiệu số, ta cần phân tích số A để đưa số A hiệu tích số có dấu hiệu chia hết áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) tích để chứng minh + PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh A chia hết cho p, ta xét trường hợp số dư chia A cho p + PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ta dùng cách tìm chữ số tận A để chứng minh A chia hết cho số + PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu A ⋮ m A ⋮ n, đồng thời m n hai số nguyên tố A chia hết cho tích m.n TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CĨ DƯ II Bài tốn ( x; y ) Bài 1: Tìm tất cặp số cho 34 x5 yM36 a) 423x7 yM45 b) 1x8 y 2M36 ⇔ M4,9 c) 21xyM60 d) Lời giải: 34 x5 y M36 ⇔ M4,9 a) Ta có ⇒ y M4 ⇔ y ∈ { 2;6} ⇒ x ∈ { 4;0;9} ( x; y ) = ( 4; ) ; ( 0;6 ) ; ( 9;6 ) Vậy căp số 423 x7 y M45 ⇔ M 5,9 b) Ta có ⇒ y ∈ { 0;5} ⇒ x ∈ { 2;6} 1x8 y 2M 36 ⇔ M4,9 c) Ta có ⇒ y 2M4 ⇒ y ∈ { 1;3;5;7;9} ⇒ x ∈ { 6; 4; 2;0;9; 7} ⇒ ( x; y ) có cặp số thỏa mãn tốn 2100 + xy M60 21xyM60 d) Ta có hay ⇒ xy = 00; xy = 60 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 9, biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau a) b) c) d) Là số có ba chữ số Là số chia hết cho Tổng chư x số hàng trăm chữ số hàng đơn vị số chia hết cho Tổng chữ số hàng trăm chữ số hàng chữ số hàng chục số chia hết cho Lời giải: Tổng hai số tự nhiên chia hết tận Mà tổng chữ số hàng trăm hàng đơn vị nên chữ số hàng trăm phải Vậy tổng hai số tự nhiên có dạng: 4a5 a + 4M4 ⇒ a ∈ { 0; 4;8} Mà 405 = 202 + 203; 445 = 222 + 333; 485 = 242 + 243 Tổng hai số là: Bài 3: Tìm chữ số a, b cho a56b M 45 Lời giải: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a56b M 45 a56b M 5; ⇔ a56bM ⇔ b ∈ { 0;5} Xét Nếu b=0 ta có số a56b M ⇔ ( a + + + 0) M ⇔ ( a + 11) M9 ⇔ a = Nếu b=5 ta có số a56b M TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ ⇔ ( a + + + 5) M ⇔ ( a + 16 ) M9 ⇔ a = Vậy: a = b = ta có số 7560 a = b = ta có số 2560 Bài 4: Biết tổng chữ số số không đổi nhân số với Chứng minh số chia hết cho Lời giải: Gọi số cho a Ta có: a 5a chia cho có số dư ⇔ ( 5a − a ) M ⇔ 4a M ⇔ aM Vậy aM 111 111 81 4… 24 3M 81 sè Bài 5: CMR số Lời giải: 111111111M9 Ta thấy: ( ) 111 111 = 111111111 10 72 + 10 63 + + 109 + 1 4… 43 81 sè Có ( 10 72 ) + 1063 + + 109 + có tổng chữ số  Mà tổng ( ) ⇒ 1072 + 1063 + + 109 + M9 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Vậy: 111 111 M81 4… 43 81 sè Bài 6: Tìm chữ số x, y cho 34x5y M 4;9 a 2x78M 17 b Lời giải: a) Để 34x5y M ⇔ 5y M ⇔ y ∈ { 2, 6} y=2 Nếu 34x5y M ta có số ⇔ ( + + + + x) M ⇔ ( x + 14 ) M9 ⇔ x = y=6 Nếu 34x5y M ta có số ⇔ ( x + + + 6) M ⇔ ( x + 17 ) M9 ⇔ x = Vậy: x = y = ta có số 34156 x = y = ta có số 34452 b) 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 ⇔ x = Bài 7: Cho số N = dcba CMR NM ⇒ ( a + 2b ) M a TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ NM 16 ⇒ ( a + 2b + 4c + 8d ) M 16 b với b chẵn NM 29 ⇒ ( a + 3b + 9c + 27 d ) M 29 c Lời giải: a Ta có: NM ⇔ ba M ⇔ ( 10b + a ) M ⇔ 8b + ( 2b + a ) M4 ⇒ ( 2b + ) M4 b NM 16 ⇔ 1000d + 100c + 10b + a M 16 ⇔ ( 992d + 96c + 8b ) + ( 8d + 4c + 2b + a ) M 16 ⇔ ( a + 2b + 4c + 8d ) M 16 với b chẵn c.Ta có: 100 ( d + 3c + 9b + 27 a ) − dbca M 29 ( 1000; 29 ) = 1; dbca M 29 ⇒ ( d + 3c + 9b + 27a ) M 29 Bài 8: Tìm tất số có chữ số cho số gấp lần tích chữ số số Lời giải: Gọi ab số có chữ số Theo ta có: ab = 10a + b = 2ab(1) ab M ⇒ b ∈ { 0; 2; 4; 6;8} a = 3; b = Thay vào (1) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 9: Viết liên tiếp tất số có chữ số từ 19 đến 80 ta số chia hết cho 1980 khơng ? Vì sao? A = 192021 7980 Hỏi số A có Lời giải: Có 1980 = 2.32.5.11 Vì chữ số tận a 80M AM 4;5 ⇒ + ( + + + ) 10 + = 279 Tổng số hàng lẻ + ( + + + ) + = 279 Tổng số hàng chẵn Có 279 + 279 = 558M ⇒ AM 279 − 279 = 0M 11 ⇒ A M 11 Bài 10: Tổng 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 khơng? Vì sao? Lời giải: Có 46 số tự nhiên liên tiếp ⇒ có 23 cặp số cặp có tổng số lẻ ⇒ tổng 23 cặp không chia hết cho Vậy tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46 11 11 22 14… 24 22 14… 43 100 sè 100 sè Bài 11: Chứng tỏ số tích số tự nhiên liên tiếp Lời giải: 100 … 02 11 14… 411 14 43 11 14… 411 22 14… 422 100 sè Có 100 sè 100 sè = 99 sè TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 100 …43 02 42 33 …43 34 14 99 sè Mà 99 sè = 11 22 14… 411 22 14… 43 100 sè ⇒ 33 …43 33 33 …43 34 14 14 100 sè 100 sè 99 sè = (Đpcm) Dạng 2: Chứng minh biểu thức chia hết cho biểu thức I Phương pháp giải: - Biến đổi biểu thức bị chia thành tích biểu thức nhỏ có biểu thức chia hết cho biểu thức chia II Bài tốn n ∈ ¥ , n > Bài 1: Cho b) c) Chứng minh rằnga) 10 n + 23 M9 10n + 26M 18 92 n+1 + 1M 10 Lời giải: 10n + 23 M9 a) Ta có: có tổng chữ số = nên chia hết cho 10n + 26 = 100 026 b) Ta có (n-2 chữ số 0) có tổng chữ số = nên chia hết cho số chẵn nên chia hết cho Vậy chia hết cho 18 92 n+1 + c) Ta có Vì 92 n+1 tận Bài 2: Cho b) có tận suy chia hết cho 10 n∈¥* 2n + lẻ A = (210 + 1)11 M25 Chứng minh rằng: B = 391001 + 211000 M 10 Lời giải: A = (210 + 1)11 = 102511 M25 Ta có TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Bài 4: Giả sử S(a) tổng chữ số số tự nhiên a Chứng minh a − S ( a)M9 a) S ( a ) = S ( 2a ) b) Nếu a chia hết cho 9, điều ngược lại có khơng? Lời giải: a = an an−1 a1a0 = an 10 n + + a1.10 + a0 → S (a ) = an + an −1 + an − + + a1 + a0 a) Đặt ⇒ a − S (a) = an (10n − 1) + an−1.(10n −1 − 1) + + 9a1 { 14 43 14 43 M (10 −1) M (10 −1) M ⇒ a − S (a )M9 S ( a) = S (2a) b ⇒ a = [ 2a − S (2a) ] − [ a − S (a ) ] 4 14 43 M M ⇒ a M9 a = 18 ⇒ S (a) = Ví dụ: ⇒ a − S (a ) = 9M9; 2a = 36 ⇒ S (2a) = Bài 5: Số tự nhiên a có 26 chữ số, người ta đổi chỗ chữ số A để số B lớn gấp lần số A Chứng minh BM27 Lời giải: B = A ⇒ B M3 ⇒ S ( A) M3 ⇒ S ( A)M3 ⇒ AM3 Mà B = A  ⇒ B M9 ⇒ S ( B )M9 ⇒ S ( A)M9 ⇒ AM9 AM3  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ = 200cd + cd = 201cd M67 b, Ta có : abc M27 ⇒ abc0M27 ⇒ 1000a + bc0M27 ⇒ 999a + a + bc0M27 ⇒ 27.37 a + bca M27 Nên bcaM27 Bài 4: Chứng minh rằng: (ab + cd + eg ) M 11 a, Nếu abc + deg M37 b, Nếu abc deg M37 abcd M99 c, Nếu abcdeg M 11 ab + cd M99 Lời giải: abc deg = 10000.ab + 100cd + eg a, Ta có : = 9999ab + 99cd + (ab + cd + eg)M 11 abc deg = 1000abc + deg b, Ta có : = 999abc + (abc + deg)M 37 c, Ta có : abcd = 100.ab + cd TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ ( ) = 99.ab + ab + cd M 99 ⇒ ab + cdM Câu 5: Chứng minh rằng: với ∀n ∈ ¢ A =  n3 ( n − ) − 36n  M7   Lời giải Ta có: A =  n3 ( n2 − ) − 36n    = n  n ( n − ) −   n ( n − ) +  = n ( n3 − n − ) ( n3 − n + ) = n ( n − n − 6n − ) ( n − n − 6n + ) = n ( n − 1) − ( n + 1)   n ( n − 1) − ( n − 1)  = n ( n + 1) ( n − n − ) ( n − 1) ( n + n − ) = n ( n + 1) ( n + ) ( n − 3) ( n − 1) ( n − ) ( n + 3) A Do tích Câu 6: Chứng minh rằng: số nguyên liên tiếp 20092008 + 20112010 ⇒ AM7 ∀n ∈ ¢ chia hết cho 2010 Lời giải 20092008 + 20112010 = ( 20092008 + 1) + ( 20112010 − 1) Ta có: 20092008 + = ( 2009 + 1) ( 20092007 − ) = 2010 ( ) Vì chia hết cho 2010 (1) 2010 2009 2011 − = ( 2011 − 1) ( 2011 + .) = 2010 ( .) Vì chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Câu a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho hết cho b) Tìm số nguyên n để n5 + chia hết cho tổng lập phương chúng chia n3 + Lời giải a) Gọi số phải tìm Ta có: Vì a b , ta có a+b chia hết cho a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab    a+b ( a + b) chia hết ( a + b ) ( a + b ) − 3ab  Do vậy, b) Ta có: − 3ab chia hết cho chia hết cho n5 + 1M( n + 1) ⇔ ( n5 + n − n + 1) M( n3 + 1) ⇔ n ( n3 + 1) − ( n − 1) M( n3 + 1) ⇔ ( n − 1) ( n + 1) M( n + 1) ( n − n + 1) ⇔ n − 1Mn − n + ⇒ n ( n − 1) Mn − n + n − nMn − n + Hay ⇒ ( n − n + 1) − 1M( n2 − n + 1) ⇒ 1Mn − n + Xét hai trường hợp: n = TH 1: n − n + = ⇔ n − n = ⇔  n = TH : n − n + = −1 ⇔ n − n + = 0, khơng có giá trị n thỏa mãn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Câu 8: Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Lời giải a a +b Gọi số phải tìm b, ta có chia hết cho 3 2 a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) Ta có: = ( a + b ) ( a + 2ab + b ) − 3ab  = ( a + b ) ( a + b ) − 3ab    Vì a+b Do ( a + b) chia hết ( a + b ) ( a + b ) − 3ab  Câu 9: Chứng minh n3 + 17n − 3ab chia hết cho chia hết cho chia hết cho với n∈¢ Lời giải n3 + 17 n = n3 − n + 18n = n ( n − 1) ( n + 1) + 18n n ( n − 1) ( n + 1) Vì ( 2,3) = tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, 18nM6 nên chia hết cho , suy điều phải chứng minh Câu 10: Chứng minh rằng: A = + + 32 + 33  + + 311   chia hết cho 40 Lời giải A = + + 32 + 33  + + 311    = ( + + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + ( 38 + 39 + 310 + 311 ) = ( + + 32 + 33 ) + 34 ( + + 32 + 33 ) + 38 ( + + 32 + 33 ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ    = 40  +  34 40 + 38 40 ( )    = 40 + 34 + 38  40 Vậy AM   40 Câu 11: a) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh với số tự nhiên n A = 5n + + 26.5n + 82 n +1 M 59 Lời giải A = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M9 3 a) Ta phải chứng minh với n∈¢ A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + + n3 + 6n + 12n + = 3n3 + 9n + 15n + = 3n3 − 3n + 9n + 18n + = 3n ( n − 1) ( n + 1) + ( n + 2n + 1) ( n + 2n + 1) M9 n ( n − 1) ( n + 1) M3 ⇒ 3n ( n − 1) ( n + 1) M9 Nhận thấy Vậy b) AM9 5n + + 26.5n + 82 n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82 n = 5n ( 59 − ) + 8.64 n = 59.5n + ( 64n − 5n ) Vì 59.5n M59 Vậy n+2 ( 64n − 5n ) M( 64 − ) = 59 + 26.5n + 82 n+1 M 59 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Câu 12: Chứng minh a) b) 85 + 211 chia hết cho 17 1919 + 6919 chia hết cho 44 Lời giải 85 + 211 = ( 23 ) + 211 = 215 + 211 a) Ta có: = 211 ( 24 + 1) = 211.17 chia hết cho 17 b) Ta có: 1919 + 6919 = ( 19 + 69 ) ( 1918 − 1917 , 69 + + 6918 ) = 88 ( 1918 − 1917 , 69 + + 6918 ) chia hết cho 44 a − a M30 ( a ∈ ¢ ) Câu 13: Chứng minh Lời giải a − a = a ( a − 1) = a ( a − 1) ( a + 1) = a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) + 5   = a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) ( a + ) + 5a ( a + 1) ( a − 1) Do tích số nguyên liên tiếp chia hết cho số ngun liên tiếp ln có ba số ngun liên ( 6,5) = tiếp mà tích chúng chia hết cho a ( a + 1) ( a − 1) ( a − ) ( a + ) M30 Suy a5 − aM 30 Vậy TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 5a ( a + 1) ( a − 1) M30 Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Câu 14: Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư ? Lời giải a chia cho dư nên tồn số tự nhiên m cho b chia cho dư nên tồn số tự nhiên n cho a = 5m + b = 5n + (1) (2) a.b = (5m + 3).(5n + 2) = ( 5mn + 2m + 3n + 1) + Từ (1) (2) suy Suy a.b chia cho dư a1 , a2 , a3 an S = a13 + a23 + + an3 Câu 15: Cho số nguyên Đặt rằng: S chia hết cho P chia hết cho P = a1 + a2 + + an Chứng minh Lời giải HD: Xét hiệu: S−P a − a = ( a − 1) a ( a + 1) M6 Chứng minh: với số nguyên a Sau sử dụng tính chât chia hết tổng suy đpcm Câu 16: Chứng minh rằng: 2130 + 3921 chia hết cho 45 Lời giải Chứng minh rằng: HD: Đặt 2130 + 3921 chia hết cho 45 M = 2130 + 3921 Nhận xét 45 = 5.9 mà hai số nguyên tố (1) Vậy để c/m M M45 ta cần c/m M M5 M M9 M = 2130 + 39 21 = ( 2130 − 130 ) + ( 39 21 − ( −1) ) M5 Thật vậy, TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC (2) Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ ( 21 30 − 130 ) M( 21 − 1) M5 (Vì ( 39 − ( −1) ) M( 39 − ( −1) ) M5 21 Mặt khác, 21M ⇒ 2130 M ) 39M ⇒ 3921 M Do đó, M M9 (3) Từ (1), (2) (3) suy đpcm (a n − b n ) M( a − b ) * Chú ý: Câu 17: Chứng minh rằng: B = n3 + 6n2 − 19n − 24 chia hết cho Lời giải B = n3 + 6n2 − 19n − 24 Chứng minh rằng: chia hết cho Ta có: B = n3 + 6n − 19n − 24 = n3 − n + 6n − 18n − 24 = n ( n − 1) + ( n − 3n − ) = ( n − 1) n ( n + 1) + ( n − 3n − ) ( n − 3n − ) M6 ( n − 1) n ( n + 1) M6 Vì nên B = n3 + 6n − 19n − 24 chia hết cho (đpcm) Câu 18: Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức: chia hết cho 323 A = 20n + 16n − 3n − chia hết cho chia hết cho Lời giải Chứng minh: Với n số tự nhiên chẵn biểu thức: chia hết cho Ta có: A = 20n + 16n − 3n − 323 323 = 17.19 ( 17;19 ) = AM 17;19 Ta cần c/m: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ A = 20n + 16n − 3n − = ( 20n − 3n ) + ( 16n − 1) Ta có ( 20 n − 3n ) M( 20 − 3) M 17 ( 1) Mà ( 16 n − 1) M( 16 + 1) M 17 ( ) Và ( n số chẵn ) hay Từ (1) (2) suy AM 17 A = 20n + 16n − 3n − = ( 20n − 1) + ( 16n − 3n ) Tương tự, ( 20 n − 1) M( 20 − 1) M 19 ( 3) Mà ( 16 n − 3n ) M( 16 + 3) M 19 ( ) Và Từ (3) (4) suy AM 19 A = 20n + 16n − 3n − ( n số chẵn ) chia hết cho 323 (đpcm) Câu 19: a)Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho b) Chứng minh với số tự nhiên n A = 5n + + 26.5n + 82 n +1 M 59 Lời giải A = n3 + ( n + 1) + ( n + ) M9 3 a) Ta phải chứng minh: với n∈¢ A = n3 + n3 + 3n + 3n + + n3 + 6n + 12n + = 3n3 + 9n + 15n + = 3n3 − 3n + 9n + 18n + = 3n ( n − 1) ( n + 1) + ( n + 2n + 1) ( n + 2n + 1) M9 n ( n − 1) ( n + 1) M3 ⇒ 3n ( n − 1) ( n + 1) M9 Nhận thấy AM9 Vậy TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ b)5n + + 26.5n + 82 n +1 = 25.5n + 26.5n + 8.82 n = 5n ( 59 − 8) + 8.64n = 59.5n + ( 64n − 5n ) 59.5n M 59 Vậy n+2 ( 64n − 5n ) M( 64 − ) = 59 + 26.5n + 82 n+1 M 59 a1 , a2 , , a2016 Câu 20: Cho số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 A = a13 + a23 + + a2016 Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải a − a = a ( a − 1) ( a + 1) Dễ thấy tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Xét hiệu: A − ( a1 + a2 + + a2016 ) = ( a13 + a23 + + a2016 ) − ( a1 + a2 + + a2016 ) = ( a13 − a1 ) + ( a23 − a2 ) + + ( a2016 − a2016 ) Các hiệu chia hết cho , A chia hết cho Câu 21: Cho hai số nguyên, số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Hỏi tổng bình phương chúng có chia hết cho khơng ? Lời giải Vì số thứ chia cho dư nên có dạng 5a + , số thứ hai chia cho dư nên có dạng 5b + a, b ∈ ¢ ) ( Ta có tổng bình phương hai số là: ( 5a + 1) + ( 5b + 1) = 25a + 10a + + 25b + 10b + = ( 5a + 5b + 2a + 2b + 1) M5 Vậy tổng bình phương hai số chia hết cho Câu 22: Chứng minh 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 20092008 + 20112010 = ( 20092008 + 1) + ( 20112010 − 1) Ta có: 20092008 + = ( 2009 + 1) ( 20092007 + ) M2010 Vì (1) 2010 2009 2011 − = ( 2011 − 1) ( 2011 + ) M2010 (2) Từ (1) (2) ta có dpcm Câu 23: Chứng minh rằng: A = + + 32 + 33 + + 311 chia hết cho 40 Lời giải A = + + 32 + 33 + + 311 = ( + + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + ( 38 + 39 + 310 + 311 ) = ( + + 32 + 33 ) + 34 ( + + 32 + 33 ) + 38 ( + + 32 + 33 ) = 40 + 34.40 + 38.40 = 40 ( + 34 + 38 ) M40 40 Vậy AM Câu 24: Chứng minh 1110 − chia hết cho 100 Lời giải 1110 − = ( 11 − 1) ( 119 + 118 + + 11 + 1) = 10 ( 119 + 118 + + 11 + 1) Vì 10M 10 ( 11 + 118 + + 11 + 1) Và có chữ số tận ( 11 Nên + 118 + + 11 + 1) chia hết cho 10 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Vậy 1110 − chia hết cho 100 Câu 25: Chứng minh 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 Lời giải 20092008 + 20112010 = ( 20092008 + 1) + ( 20112010 − 1) Ta có: 20092008 + = ( 2009 + 1) ( 20092007 − ) Vì = 2010 ( ) chia hết cho 2010 (1) 20112010 − = ( 2011 − 1) ( 20112009 + .) Vì = 2010 ( ) 2020(2) chia hết cho Từ (1) (2) ta có đpcm Câu 26: Chứng minh rằng: a) b) 85 + 211 chia hết cho 17 1919 + 6919 chia hết cho 44 Lời giải 85 + 211 = ( 23 ) + 211 = 215 + 211 = 211 ( 24 + 1) = 211.17 Ta có: Rõ ràng kết chia hết cho 17 Áp dụng đẳng thức: a n + b n = ( a + b ) ( a n −1 − a n − 2b + a n −3b − − ab n − + b n −1 ) với n lẻ 1919 + 6919 = ( 19 + 69 ) ( 1918 − 1917.69 + + 6918 ) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ = 88 ( 1918 − 1917.69 + + 6918 ) chia hết cho 44 Câu 27: a) Chứng minh rằng: n3 + 3n + 2n M6 với số nguyên n Lời giải Ta có: n3 + 3n + 2n = n ( n + 3n + ) = n ( n + n + 2n + ) = n ( n + n ) + ( 2n + )  = n ( n + 1) ( n + ) Vì n số nguyên nên: n; n + 1; n + ba số nguyên liên tiếp Do có số chia hết cho 2, số chia hết cho ⇒ n ( n + 1) ( n + ) M6 hay n3 + 3n + 2n M6 với số nguyên n 2n3 + n + 7n + 1M( 2n − 1) b)Tìm số nguyên n cho: Lời giải 5M2n − 2n3 + n + n + 1M2n − Để ( 5) 2n − Ư  2n − = −5  n = −2  2n − = −1 n =  ⇔ ⇔  2n − = n =    2n − = n = n ∈ { −2;0;1;3} Vậy Câu 28: Cho số tự nhiên 2n3 + n + n + 1M2n − n > 2n = 10a + b ( a, b ∈ ¥ , < b < 10 ) Chứng minh tích ab chia hết cho Lời giải TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 2n = 10a + b ⇒ bM2 ⇒ abM2 (1) Ta có: abM3 (2) Ta chứng minh 2n = 10a + b ⇒ 2n Thật , từ đẳng thức có chữ số tận n = 4k + r ( k , r ∈ ¥ , ≤ r ≤ 3) 2n = 16 k 2r Đặt ta có: n r r k − = ( 16 − 1) M 10 ⇒ 2n r =0 2r Nếu tận r n r r k b = ⇒ 10a = − = ( 16 − 1) M3 ⇒ a M ⇒ abM3 Suy ( 1) ( ) abM6 Từ suy Câu 30: Cho n số nguyên dương, chứng minh 16n − 15n − b chia hết cho 225 Lời giải Với n = ta có: 16 − 15 − = 0M225 Giả sử toán với n = k tức ta có: Ta chứng minh tốn với 16k − 15k − 1M225 n = k +1 Thật vậy: 16 k +1 − 15 ( k + 1) = 16.16 k − 15k − 15 − = 16 ( 15 + 1) − 15k − 15 − = 16k − 15k − + 15 ( 15k − 1) = 16k − 15k − + 15 A ( k ) M225 Vậy 16n − 15n − chia hết cho 225 với n số nguyên dương TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Câu 31: Chứng minh 22008 + 22009 + 22010 chia hết cho Lời giải 22008 + 22009 + 22010 = 22008 ( + + ) = 7.22008 M7  HẾT  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 ... + + 32 + 33  + + 31 1   chia hết cho 40 Lời giải A = + + 32 + 33  + + 31 1    = ( + + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + ( 38 + 39 + 31 0 + 31 1 ) = ( + + 32 + 33 ) + 34 ( + + 32 + 33 ) + 38 (... Trang CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIA CÓ DƯ 100 … 43 02 42 33 … 43 34 14 99 sè Mà 99 sè = 11 22 14… 411 22 14… 43 100 sè ⇒ 33 … 43 33 33 … 43 34 14 14 100 sè 100 sè 99 sè = (Đpcm) Dạng 2: Chứng... ( 20 11 + ) M2010 (2) Từ (1) (2) ta có dpcm Câu 23 : Chứng minh rằng: A = + + 32 + 33 + + 31 1 chia hết cho 40 Lời giải A = + + 32 + 33 + + 31 1 = ( + + 32 + 33 ) + ( 34 + 35 + 36 + 37 ) + ( 38