Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 3 chu de 3 dung tc de cm bai toan chia het

thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ 3: PHÉP CHIA HẾT VÀ PHÉP CHIACÓ DƯ CHỦ ĐỀ 3: DÙNG TÍNH CHẤT CHỨNG MINH BÀI TỐN CHIA HẾT PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT TÍNH CHẤT CHUNG 1) 2) với khác 3) với khác 4) Bất số chia hết cho TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TỔNG, HIỆU - Nếu chia hết cho m - Tổng (Hiệu) số chia hết cho cho chia hết cho chia hết cho số chia hết cho m số lại chia hết - Nếu số chia hết cho chia hết cho số khơng chia hết cho tổng, hiệu chúng khơng TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA TÍCH - Nếu thừa số tích chia hết cho tích chia hết cho - Nếu chia hết cho thi bội a chia hết cho - Nếu chia hết cho , - Nếu chia hết cho thì: chia hết cho n chia hết cho CÁC TÍNH CHẤT KHÁC: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com (p số nguyên tố) 9) CÁC TÍNH CHẤT SUY LUẬN ĐƯỢC - Trong hai số tự nhiên liên tiếp có số chẵn số lẻ - Tổng hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ - Tích hai số tự nhiên liên tiếp số chẵn - Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho - Tổng hai số tự nhiên số lẻ có số tự nhiên số chẵn PHẦN II CÁC DẠNG BÀI 1, Dạng 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho số 2, Dạng 2: Cho biểu thức chia hết cho 3, Dạng 3: Tìm để biểu thức chứng minh biểu thức khác chia hết cho chia hết cho biểu thức 4, Dạng 4: Bài toán chứng minh chia hết liên quan đến số phương 5, Dạng 5: Chứng minh biểu thức chia hết cho biểu thức 6, Dạng 6: Chứng minh chia hết từ đẳng thức cho trước Dạng 1: Chứng minh biểu thức chia hết cho số I Phương pháp giải: Chứng minh biểu thức - Viết biểu thức chia hết cho thành tổng(hiệu) số số chia hết cho thành tích thừa số có thừa số chia hết cho từ suy - Viết biểu thức chia hết cho chia chia hết cho thừa thành tích thừa số thừa số thừa số m từ suy - Viết từ suy - Viết m thành tích thừa số nguyên tố biểu thức số từ suy - Viết biểu thức hết cho chia hết cho số chia hết cho chia hết cho thành tổng hiệu số mà có tổng hiệu số dư chia hết cho chia hết cho từ suy Cụ thể ta vận dụng PHƯƠNG PHÁP sau: + PHƯƠNG PHÁP 1: Nếu chứng minh số cụ thể ta vận dụng dấu hiệu chia hết 2; 3; 4; 8; 9; 11; để + PHƯƠNG PHÁP 2: Nếu có tổng hiệu số, ta cần phân tích để đưa hiệu tích số có dấu hiệu chia hết áp dụng tính chất chia hết tổng (hiệu) tích để chứng minh thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com + PHƯƠNG PHÁP 3: Để chứng minh chia hết cho , ta xét trường hợp số dư chia + PHƯƠNG PHÁP 4: Ngoài ta dùng cách tìm chữ số tận số + PHƯƠNG PHÁP 5: Nếu mà để chứng minh hai số nguyên tố II Bài tốn Bài 1: Chứng minh a b Lời giải a) Cách 1: Ta có: Lại có có tổng chữ số nên chia hết cho Vậy A chia hết cho 72 Cách 2: có ba chữ số tận 008 nên chia hết cho b) Ta có ; Lại có ; chia hết chia hết cho có tận có tận có tận nên có tận nên chia hết cho Mà Bài 2: Chứng minh : chia hết cho 17 Lời giải Bài 3: Chứng minh rằng: chia hết cho 19 Lời giải Thêm bớt , ta được: Ta có: thuvienhoclieu.com Trang cho chia hết cho thuvienhoclieu.com (mod19) Vậy Ghi chú: Đối với số toán lớp ta sử dụng đến đẳng thức: với với ( ; n lẻ) Thì ta giải cách dễ dàng, nhiên với học sinh lớp chưa thể sử dụng đẳng thức Vì vậy, ta sử dụng Đồng dư thức để có lời giải phù hợp với trình độ học sinh lớp Bài 4: Chứng minh rằng: a) chia hết cho b) chia hết cho Lời giải a) Ta có Mà Tương tự: Vậy chia hết cho b) Sử dụng tính chất: chia cho có số dư Ta có Bài 5 : Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Tổng hai số hạng : Tổng A có 200 số hạng ta chia thành 100 nhóm chứa hai số hạng có tổng Nên: Vậy chia hết cho Bài 6 : Chứng minh rằng: chia hết cho Lời giải Vậy chia hết cho Bài 7 : Chứng minh rằng: a, b, c, Lời giải a, Ta có: Nếu số lẻ Nếu số chẵn Như với b, Ta có: hết cho c, Ta có: số tự nhiên thì : tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 2, số chia số lẻ nên có chữ số tận khác thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 8: Chứng minh với số tự nhiên thì: a b Lời giải a) Ta có: số lẻ nên chẵn chẵn, (1) Xét trường hợp : với số tự nhiên Từ (1) (2) (2) ( Do 2; hai số nguyên tố nhau) b) Vậy Bài 9: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: Tổng ba số tự nhiên liên tiếp (Tính chất chia hết tổng) Nâng cao: Có phải tổng n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay không? Bài 10: Tổng số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho hay khơng ? Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp Tổng số tự nhiên liên tiếp là: Do chia hết chia hết cho mà không chia hết ⇒ hết cho Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho không chia Kết luận nâng cao: Vậy lúc tổng n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài 11: Chứng minh chia hết cho 45 với thuvienhoclieu.com số tự nhiên Trang thuvienhoclieu.com Lời giải Vì 495 chia hết chia hết cho với Vì 1035 chia hết Nên: chia hết cho với chia hết cho Chứng minh tương tự ta có: Mà chia hết cho với ⇒ chia hết cho 45 Bài 12: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Lời giải Gọi hai số chẵn liên tiếp Tích hai số chẵn liên tiếp là: Vì khơng tính chẵn lẻ nên Mà chia hết chia hết cho chia hết cho (4.2) chia hết cho chia hết cho Bài 13: Chứng minh rằng: a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho b) Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Lời giải a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp Tích ba số tự nhiên liên tiếp là: Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; +) Nếu n chia hết cho +) Nếu chia hết cho (k số tự nhiên) chia hết cho chia hết cho +) Nếu (k số tự nhiên) chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com chia hết cho Tóm lại: b) chia hết cho với n số tự nhiên Chứng minh tương tự ta có chia hết cho với n số tự nhiên Kết luận: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Dạng 2: Cho biểu thức chia hết cho chứng minh biểu thức khác chia hết cho I Phương pháp giải - Vận dụng tính chất: từ tìm giá trị p q thích hợp II Bài tốn Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên a b c d thì: Lời giải a) Gợi ý: Tìm cho Chọn Trình bày bài: Cách 1: * Chứng minh: Từ Mà nên * Chứng minh: Từ (Vì 17 nguyên tố nhau) Cách 2: *Chứng minh: Vì (1) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Mà (2) Từ (1), (2) suy * Chứng minh: Vì Mà (Vì 17 nguyên tố nhau) b) chọn c) d) Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu Lời giải Ta có : Bài 3: Chứng minh rằng: a, Nếu b, Nếu Lời giải a, Ta có: hay Khi có b, Ta có: mà nên Bài 4: Chứng minh rằng: a, Nếu b, Nếu thì thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải a, Ta có: b, Ta có: Mà nên Bài 5: Chứng minh rằng: a, Nếu b, Nếu c, Nếu thì Lời giải a, Ta có : b, Ta có : c, Ta có : Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu Lời giải Ta có : Bài 7: Chứng minh rằng: a, b, nếu Lời giải a, Ta có: nên b, Ta có: nên thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Lời giải Ta có: Điều ngược lại Bài 13: Cho số nguyên a, Chứng minh rằng: b, c, Lời giải a, Ta có: b, Ta có: c, Ta có: Bài 14: Cho biết CMR biểu thức sau chia hết cho a, b, c, Lời giải a, Ta có: b, Ta có: c, Ta có: Dạng 3: Tìm để biểu thức Bài 1: Tìm số tự nhiên chia hết cho biểu thức để chia hết cho Lời giải Ta có Mà ⇔ Do Vậy với ước Bài 2: Tìm số tự nhiên để n + 15 n+3 số tự nhiên thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Lời giải Để n +15 n+3 số tự nhiên ⇒ Ư Vậy với Bài 3: Tìm số tự nhiên n + 15 n+3 số tự nhiên cho Lời giải Ta có Để Với Với Vậy Bài 4: Tìm số tự nhiên để Lời giải ⇔ Ư Bài 5: Tìm để bội Lời giải Để bội số nguyên Ư (thỏa mãn Bài 6: Tìm số nguyên để: ) chia hết cho Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Ta có Ư Bài 7: Tím tất số nguyên n 1 để phân số n  có giá trị số nguyên Lời giải số nguyên Ta có Vậy Ư(3) Bài 8: Cho Tìm nguyên để số nguyên Lời giải = n+4−5 =1− n+4 n+4 Với n nguyên, nhận giá trị nguyên hay Ư Lập luận tìm Bài 9: Tìm số nguyên n để phân số có giá trị số nguyên Lời giải Ta có: = Vì n ngun nên để ngun nguyên Ư thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Vậy với Bài 10: Tìm số tự nhiên có giá trị số nguyên để biểu thức sau số tự nhiên: Lời giải Để số tự nhiên ⇒ Do Vậy số tự nhiên Ư nên số tự nhiên Dạng 3: Bài toán chứng minh chia hết liên quan đến số phương I Phương pháp giải - Kết hợp tính chất chia hết với tính chất số phương để giải tập - Tính chất số phương : Số phương có tận chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; Khi phân tích TSNT số phương chứa TSNT với số mũ chẵn Một số phương chia hết cho số nguyên tố chia hết cho Một số số phương có số ước lẻ II Bài toán Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên Lời giải Nhận xét: Số phương có tận chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; nên số phương chia cho có số dư là: 0, 1, Ta xét trường hợp sau : Nếu chia dư hay Nếu chia dư Nếu chia dư thì (vì số nguyên tố) Vậy với số tự nhiên n Bài 2: a) Chứng minh số phương chia cho có số dư thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com b) Chứng minh số phương chia cho có số dư Lời giải Gọi a) Xét:  nên nên chia cho dư nên chia cho dư Vậy: Một số phương chia cho có số dư b) Xét: nên nên chia cho dư Vậy: Một số phương chia cho có số dư Nhận xét: Một số phương chẵn chia hết cho 4, số phương lẻ chia cho có số dư Bài 3: Cho hai số phương lẻ liên tiếp Chứng minh rằng: Lời giải Ta có Nhận xét: Nếu lẻ Thật vậy: mà hai số chẵn liên tiếp nên Từ số phương nên chia dư Vì a, b số phương lẻ liên tiếp nên ln có hai số không chia hết cho Mà đpcm Bài 4: Có hay khơng số tự nhiên để số phương Lời giải Giả sử số phương Từ suy thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Như số Mặt khác và Từ (1) (2) phải có số chẵn (1) có tính chẵn lẻ (2) số chẵn 2010 không chia hết cho Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên để số phương Dạng 4: Chứng minh biểu thức chia hết cho biểu thức I Phương pháp giải: - Biến đổi biểu thức bị chia thành tích biểu thức nhỏ có biểu thức chia hết cho biểu thức chia II Bài toán Bài 1: Cho Chứng minh chia hết cho Lời giải Ta có Xét Vì nên Bài 2: Cho Chứng minh chia hết cho Lời giải Ta có Xét suy Vậy chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Bài 3: Tính tổng Từ chứng minh chia hết cho hai ba số Lời giải Ta có Vì ba số tự nhiên liên tiếp nên ln có số chia hết cho 3, hai số cịn lại chia hết cho số tự nhiên chia hết cho hai ba số Bài 4: Tính tổng Từ chứng minh chia hết cho ba bốn số Lời giải Ta có : Xét Vì bốn số tự nhiên liên tiếp nên ln có số chia hết cho 3, ba số lại chia hết cho số tự nhiên chia hết cho ba bốn số Bài 5: Cho biểu thức a) Thu gọn biểu thức b) Chứng minh chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com c) Chứng minh E chia hết cho hai ba số Lời giải a) Ta có : (1) Vậy b) Từ (1) suy số tự nhiên số tự nhiên c) Ta có (ĐPCM) (2) Lại có ba số tự nhiên liên tiếp nên ln có số chia hết cho 3, hết cho chia hết cho Từ (2); (3) suy số cho Suy (3) ln có số chia hết cho 3, hai số lại chia hết số tự nhiên chia hết cho hai ba số (ĐPCM) Bài 6: Chứng minh với số ngun dương n thì: a (tích 2n số nguyên dương đầu) b (tích 3n số nguyên dương đầu) Lời giải a) Xét biểu thức: Vậy chia (ĐPCM) thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Xét biểu thức: b) Vậy (ĐPCM) Bài 7: Chứng minh rằng:  chia hết cho Lời giải Ta có: Để chứng minh chia hết cho ta chứng minh chia hết cho 50 101 Ta có: Với n lẻ ta có: Suy tổng ngoặc chia hết cho 101 nên Lại có: (1)   Tương tự ta có tổng ngoặc Từ (1) (2) suy Bài 8: Cho số tự nhiên chia hết cho 50 nên chia hết cho 101.50 nên (2) chi hết cho , Chứng minh rằng: Lời giải Đặt: Mặt khác, với n lẻ ta có: Nên Cũng có Mà Dạng 5: Chứng minh chia hết từ đẳng thức cho trước: I Phương pháp giải: thuvienhoclieu.com Trang 20 ... chia cho nhận số dư 0; 1; +) Nếu n chia hết cho +) Nếu chia hết cho (k số tự nhiên) chia hết cho chia hết cho +) Nếu (k số tự nhiên) chia hết cho thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com chia. .. b, Ta có: nên thuvienhoclieu. com Trang 10 thuvienhoclieu. com Bài 8: Chứng minh rằng: a, b, thì Lời giải a, Ta có: b, Ta có: Bài 9: Cho số nguyên CMR chia hết cho 31 chia hết cho 31 Lời giải Ta... số chia hết cho 3, ba số lại chia hết cho số tự nhiên chia hết cho ba bốn số Bài 5: Cho biểu thức a) Thu gọn biểu thức b) Chứng minh chia hết cho thuvienhoclieu. com Trang 18 thuvienhoclieu. com