S6 CHUYÊN đề 5 CHỦ đề 3 một số bài TOÁN về hợp số

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ - SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 3:CÁC BÀI TỐN VỀ HỢP SỐ PHẦN I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số nguyên tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số ngun tố vơ hạn -Khi số ngun tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố ( a  ),chỉ cần chứng minh a không chia hết cho số ngun tố mà bình phương khơng vượt a  a Mp ab Mp   bMp (p số nguyên tố) -Nếu tích n -Đặc biệt a Mp  a Mp (p số nguyên tố) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 4n  1( n  N ) * -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n  1(n  N ) -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị 2.HỢP SỐ -Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên a ( a  ) hợp số,chỉ cần ước khác a -Ước số nhỏ khác hợp số số ngun tố bình phương lên khơng vượt q -Một hợp số tổng ước (khơng kể nó) gọi là: Số hồn chỉnh -Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách nhất(không kể thứ tự thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ * a,b nguyên tố với  (a, b)  1;(a, b  N ) - Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố - Hai sô nguyên tố khác nguyên tố - Các số nguyên tố khác nguyên tố - Các số a, b, c nguyên tố ( a, b, c)  - a, b, c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a, b, c nguyên tố sánh đôi  (a, b)  (b, c)  (c, a )  4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT * - Định lí Đirichlet: Tồn tai vơ số số ngun tổ p có dạng: p  ax  b; x  N , (a, b)  - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có số ngun tố ( n  2) - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn tổng số nguyên tố PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Phương pháp kiểm tra số hợp số I.Phương pháp giải Cách Sử dụng định nghĩa -Hợp số số tự nhiên lớn lơn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên a ( a  ) hợp số,chỉ cần ước khác a * Cách Với n  N , n  ta kiểm tra theo bước sau 2 - Tìm số nguyên tố k cho: k  n  (k  1) - Kiểm tra xem n có chia hết cho số nguyên tố nhỏ k khơng ? +) Nếu có chia hết n số hợp số +) Nếu khơng chia hết n số nguyên tố II.Bài toán Bài 1: Tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) 3.4.5  6.7 b) 5.7.9.11  2.3.4.7 c) 16354  67541 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải a) Ta có: 3.4.5  6.7   4.5  2.7  M3  b) Ta có: 5.7.9.11  2.3.4.7   5.9.11  2.3.4  M7  tổng hợp số tổng hợp số c) Ta có: 16354  67541 có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 2: Tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) 5.6.7  8.9 b) 5.7.9.11.13  2.3.7 c) d) 5.7.11  13.17.19 4253  1422 Lời giải a) Ta có : 5.6.7  8.9   5.2.7  8.3 M3  b) Ta có : 5.7.9.11.13  2.3.7   5.9.11.13  2.3  M7  tổng hợp số tổng hợp số c) Ta có: 5.7.11 số lẻ 13.17.19 số lẻ, nên tổng số chẵn M2  Là hợp số d) Ta có: 4253  1422 có chữ số tận nên chia hết cho Vậy tổng hợp số Bài 3: Tổng, hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) 17.18.19.31  11.13.15.23 b) 41.43.45.47  19.23.29.31 c) 987654  54321 Lời giải a) Ta có: 17.18.19.31  11.13.15.23   17.6.19.31  11.13.5.23 M3  17.18.19.31  11.13.15.23 hợp số b) Ta có: 41.43.45.47 số lẻ, 19.23.29.31 số lẻ, nên 41.43.45.47  19.23.29.31 số chẵn nên 41.43.45.47  19.23.29.31 hợp số c) Ta có: 987654  54321 có chữ số tận nên chia hết tổng hợp số Bài 4: Các số tự nhiên abab; abcabc; ababab số nguyên tố hay hợp số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải Ta có abab  101.ab có nhiều hai ước số abcabc  1001.abc  1.11.13.abc có nhiều hai ước số ababab  101o1.ab  3.7.13.37.ab có nhiều hai ước số Vậy số tự nhiên abab; abcabc; ababab hợp số Bài 5: Nếu p số nguyên tố a p  p  số nguyên tố hay hợp số b p  200 số nguyên tố hay hợp số Lời giải: a) Ta có: p  p   p ( p  1)  p  p  1 Vì p; p  hai số liên tiếp nên số chẵn Nên p  p  số chẵn lớn nên hợp số b) 2 - Với p   p  200 số chẵn lớn  p  200 hợp số 2 - Với p   p  200  209M7  p  200 hợp số   p  200  M3  p  200 - Với p   p : dư 1; 200M3 dư hợp số Vậy p  200 hợp số Bài 6: Cho a, b, c, d  ¥ * thỏa mãn ab  cd n n n n Chứng minh rằng: A  a  b  c  d hợp số với n  ¥ Lời giải Ta có ab  cd  ab : bd  cd : bd Hay a : d  c : b a  dt a : d  c : b  t  t  ¥ *   c  bt Đặt Khi đó: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ A  a n  bn  cn  d n   dt   b n   bt   d n n n  d nt n  b n  b nt n  d n  d n  t n  1  bn  t n  1   d n  b n   t n  1 Vì b, d , t  ¥ * nên A hợp số Dạng 2: Một số toán hợp số I.Phương pháp giải -Dựa vào tính chất đặc trưng hợp số để giải toán chứng minh hợp số II.Bài toán Bài 7: a) Cho p số nguyên tố Hỏi p  số nguyên tố hay hợp số b) Cho p p  số nguyên tố ( p  3) Chứng minh p  hợp số Lời giải: 5 a Nếu p   p     31 số nguyên tố - Nếu p  Vì p số nguyên tố nên p số lẻ  p số lẻ  p  số chẵn lớn  p5  hợp số Vậy p  hợp số b p, p  4, p  dãy số cách đơn vị  có số chia hết cho Vì p   p   3, p   p, p  số nguyên tố nên p, p  không chia hết cho  p  8M3 p    p  hợp số Bài 8: Cho p p  hai số nguyên tố lớn Hỏi p  100 số nguyên tố hợp số? Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3n  1;3n  2, (n  N * ) Ta thấy p  3n  1,(n  N * ) p   3n   3(n  3)M3 TH1: Mà p  số lớn nên p  hợp số ( Vơ lí p  số nguyên tố ) TH2: p  3n  2(n  N * ) p   3n  10 Khi p  100  3n   100  6n  102  3(2n  34) M3 Mà p  100 số lớn nên p  100 hợp số Bài 9: Cho p p  số nguyên tố ( p  3) Chứng minh p  hợp số Lời giải: * Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư dư  p có dạng 3k  1;3k  2(k  ¥ ) Nếu p  3k   p   24k    8k   M3  p  hợp số ( Vơ lí p  số nguyên tố) Vậy p  3k  p   12 k   3(4 k  3) M3 12k   nên hợp số Vậy p p  số nguyên tố ( p  3) p  hợp số Bài 10 : Cho p p  số nguyên tố ( p  3) Chứng minh p  hợp số Lời giải: p  3k  1, p  3k   k  ¥ Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư dư  p có dạng *  +) Nếu p  3k  p   6k  3M3 6k   nên hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết p  số nguyên tố) 12k   nên hợp số Vậy p  3k  Khi p   12k  9M Vậy p p  số nguyên tố ( p  3) p  hợp số.(đpcm) Bài 11: a) Cho p p  số nguyên tố ( p  3) Chứng minh p  hợp số p  1M6 b) Cho p p  số nguyên tố Chứng minh p  2021 hợp số Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a) Với p  , ta có p, p  1, p  số tự nhiên liên tiếp Do số có số chia hết cho  1 Mà p; p  số nguyên tố nên p  1M3 p   p  hợp số Lại có số nguyên tố p   p  1M2   Nên p  số chẵn Từ (1)(2)  p  1M6 b) Ta có: p  2012  p   2010 Xét dãy p, p  2, p  Với p   p   6M2  p  hợp số (loại) Với p   p  2012  2015M5  p  2012 hợp số p  3k  1, p  3k   k  ¥ Với p   p chia dư dư  p có dạng *  +) Nếu p  3k  p   3k  3M3 3k    p  2012  p   2010Mnên hợp số 3k   nên hợp số( mâu thuẫn với giả thiết p  số Vậy p  3k  Khi p   3k  6M nguyên tố) Bài 12: Cho p 10p + số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: 5p + hợp số Lời giải p  3k  1, p  3k   k  ¥ Vì p số nguyên tố lớn nên p chia dư dư  p có dạng *  10 p   10  3k     30k  21M3 30k  21  +) Nếu p  3k  nên hợp số ( mâu thuẫn với giả thiết 10 p  số nguyên tố) 15k   nên hợp số Vậy p  3k  Khi p   15k  6M Vậy p 10 p  số nguyên tố ( p  3) p  hợp số.(đpcm) 2 Bài 13: Cho p p  số nguyên tố ( p  3) Chứng minh p  hợp số Lời giải: Vì p,8 p  số nguyên tố lớn nên khơng chia hết cho TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 2 Khi ta có : p  1;8 p ;8 p  số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho  3, p M   p M  Vậy p  1M3 hợp số Mà p  1M Bài 14: Cho p p  số nguyên tố ( p  3) Tìm số nguyên tố p để p  hợp số Lời giải: Với p   p, p  số nguyên tố lớn nên không chia hết cho Khi ta có : p  1; p; p  số nguyên liên tiếp nên phải có số chia hết cho  3, p M   p M  Vậy p  1M3 hợp số Mà p  1M Bài 15: Chứng minh dãy số sau hợp số : 121;11211;1112111;11 1211 1( { n  2) n n Lời giải: Ta có: 121  110  11  11.10  11  11(10  1) 11211  1110  111  111(102  1) 1112111  1111000  1111  1111(103  1) n 111 12111  1) {  111 1(10 { 3  111 1000 3  11 1 {  1)  11 1(10 n n 1 n n 1 n Bài 16: Chứng minh n 1 11 122 { ( n  2) n n n n 1 hợp số hợp số Lời giải: Ta có: 11 122 {  11 100 {  22 123 n n n n n 11 122 {  11 1.100 {  2.11 12 n n n n n   11 122 {  11 { 100  2 n n n n   hợp số Bài 17: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư hợp số Tìm số dư Lời giải: Gọi p số nguyên tố theo đầu bài, đó: p  42.k  r  2.3.7k  r (0  r  42) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì r hợp số   r  42 Vì p số nguyên tố  r không chia hết cho 2,3, Mà r hợp số nên  r  25 giá trị cần tìm Vậy r  25 Bài 18: Một số nguyên tố chia cho 60 có số dư r Tìm số dư, biết r hợp số số nguyên tố không? Lời giải: Giả sử p số nguyên tố:  2,3,5 p  60k  r (k  N ;0  r  60);60  2.3.5  p  2.3.5.k  r  r M  r  r số nguyên tố hợp số không chia hết cho 2, 3, r    r  r số nguyên tố khác 2, 3, r = 49  r  49 Bài 19: Cho p p  số nguyên tố ( p  ).Chứng minh tổng hai số nguyên tố chia hết cho 12 Lời giải: Đặt A  p   p    p    p  1 Và p   p   Xét số liên tiếp p  1, p, p  phải có số chia hết cho Vì p số nguyên tố lớn 3, nên p không chia hết cho 3,  chia hết cho p  chia hết cho 3, p  1M3   p  1 M3 Mặt khác p  1M Lại có p số nguyên tố >3 nên p lẻ  p  số chẵn M2 Vậy  p  1 M 12 Bài 20: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh ( p  1)( p  1) chia hết cho 24 Lời giải: Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ không chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ   p  1 ,  p  1   p  1  p  1 M8 Với p không chia hết cho hai số chẵn liên tiếp Mặt khác p không chia hết p  3k  1, p  3k  - Nếu - Nếu p  3k    p  1 M3   p  1  p  1 M24 p  3k    p  1 M3   p  1  p  1 M24 Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100, hỏi tổng 25 số nguyên tố có hợp số không? Lời giải Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100, có số nguyên tố chẵn số Còn lại 24 số nguyên tố lại số lẻ => tổng 24 số lẻ cho ta số chẵn Vậy xét tổng 25 số nguyên tố cho ta số chẵn nên tổng 25 số nguyên tố có hợp số Bài 17: 1966 2006 Chứng minh rẳng với số nguyên a  A  a  a  hợp số Lời giải Ta có A  a1966  a 2006   a  a 3.655  1  a  a 3.668  1   a  a  1 a 3.655    a  Mà  655  1 Ma  a  1; a 3.668    a    668  1 Ma  a   Do AMa  a   1966 2006 Vậy với số nguyên a  A  a  a  hợp số Bài 18: Cho a  2.3.4.5 1987 Có phải 1986 số tự nhiên liên tiếp sau hợp số không? a  2; a  3; a  4; ; a  1987 Lời giải Do a tích số từ đến 1987 có ngĩa tích a có 1996 số a   2.3.4.5 1987    3.4.5 1987  M2 a   nên a  hợp số a   2.3.4.5 1987    2.4.5 1987  M3 a   nên a  hợp số Chứng minh tương tự cho trường hợp lại Vậy 1986 số tự nhiên liên tiếp a  2; a  3; a  4; ; a  1987 hợp số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải a)Ta có : 10  10  có tổng chữ số chia hết hợp số 21 b) Ta có : 17  24  13 số chẵn nên hợp số 25 15 c) 425  37 số chẵn nên hợp số Bài 26: Chứng minh số sau hợp số 11 13 17 19 a)      11 c) 354 25 b) 195  151 n1  1, n  ¥ d) n1  6, n  ¥ Lời giải 11 13 17 19 a)      11 số chẵn nên hợp số 354 b) Ta có: 195 c) Ta có :  15125 số chẵn nên hợp số 22 n 1  22 n.2  n.2  22 n 1   n  24  n Ta có : n có chữ số tận    24  22 n có chữ số tận n1  có chữ số tận n1  1M5  22  22 d) Ta có : n1  hợp số 24 n 1  24 n.2  16n.2  24 n1 n    216  216 n Ta có : n 216 có chữ số tận    216 n có chữ số tận  22 n1  có chữ số tận  22 n1  6M5 nên  22 n1  hợp số Bài 27: Chứng minh với số tự nhiên lớn 2 n1  hợp số Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 22   1(mod 3)  22 n  1(mod 3),( n  ¥ * )  2 n  1M nên 22 n 1   2(22 n  1) M6 Với n 1  6k  2(k  ¥ ) Hay  22 n 1   (2 ) k 2   2   0(mod 7) Tức 2 Mà 2 n1 n 1  3M7( n  ¥ * )   7(n  ¥ * ) nên 22 n1  hợp số ( đpcm ) n Bài 28: Chứng minh với số tự nhiên lớn 19.8  17 hợp số Lời giải: * 2k 2k k + Nếu n  2k ( k  ¥ ) 19.8  17  18.8  (63  1)  (18  1)  0(mod 3) * n k 1 2k + Nếu n  4k  1(k  ¥ ) 19.8  17  13.8  6.8.64  17  13.84 k 1  39.642 k  9(1  65) k  (13  4)  0(mod13) * + Nếu n  4k  3(k  ¥ ) 19.8n  17  15.84 k 3  4.83.642 k  17 15.84 k 3  4.5.10.642 k   2(1  65) k  (25  8)  0(mod 5) * n Như với giá trị n  ¥ số 19.8  17 hợp số Bài 29: Chứng minh số sau hợp số: a) abcabc  b) abcabc  22 c) abcabc  39 Lời giải a) Ta có: abcabc  a.10  b.10  c.10  a.10  b.10  c   a.100100  b.10010  1001c   1001 100a  101b  c   Vì 1001 chia hết abcabcM7 hợp số 11 nên hợp số b) Tách tương tự, 1001M c) Tách tương tự, 1001 M13 nên hợp số Bài 30: Hãy chứng minh số sau hợp số: a) A  11111 ( 2022 chữ số ); b) B  1010101 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ c) C  1! 2! 3!  100! d) D  311141111 Lời giải: a) Tổng chữ số A là:     2022M3  AM3 mà A  nên A hợp số ( đpcm ) b) B  1010101  101.10001 hợp số ( đpcm ) 3! 4!  100! chia hết CM3 c) Vì 1! 2!  3M Mà C  nên C hợp số (đpcm ) d) D  311141111  311110000  31111  31111(10000  1) M31111  D hợp số (đpcm ) N Bài 31: Chứng minh số 5125  525  hợp số Lời giải: 25 Đặt  a , N a5   a  a3  a  a  a 1  (a  9a   6a  6a  2a )  (5a  10a  1)  (a  3a  1)  5a(a  2a  1)  (a  3a  1)2  5.525 (a  1)  (a  3a  1)  513.( a  1)    a  3a   513 (a  1)   a  3a   513 ( a  1)  N tích hai số nguyên lớn nên N hợp số ( đpcm ) n Bài 32: Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a M5 Chứng minh A  a n  b n  c n  d n hợp số Lời giải: * Giả sử ( a, c)  t (t  ¥ ) Đặt a  a1t , c  c1t ;(a1 , c1 )  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ab  cd  a1bt  c1dt  a1b  c1d (a1 , c1 )   b Mc1 Mà * Đặt b  c1k  d  a1k , (k  ¥ ) , Ta có A  a n  b n  c n  d n  a1nt n  c1n k n  c1nt n  a1n k n  (a1n  c1n )(k n  t n ) Vì a1 , c1 , t , k số nguyên dương nên A hợp số n 2n   n   Bài 33: Hai số  đồng thời số nguyên tố hay đồng thời hợp số không ? Lời giải: n n n n  2n  Trong ba số nguyên liên tiếp  ,  có số chia hết cho 3, M 2n  chia hết cho lớn nên 2n  , 2n  không đồng thời số nguyên tố n n Với n   ,  đồng thời hợp số Bài 34: Hai số nguyên tố lẻ liên tiếp p1 p2  p1  p2 p1  p2  , chứng tỏ hợp số Lời giải: p p p  p2 số chẵn Vì hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên Mặt khác Vậy p2  p1  p2 nên p1  p2  p2  p1  p2 ¥ p1  p2 p  p2  p2 p1  p1  p2  p1  2 p1  p2 p  p2  p1  2 hợp số Dạng 3:Áp dụng định lí Fermat chứng minh biểu thức hợp số I.Phương pháp giải p 1 -Định lí Fermat nhỏ:  1(mod p) với p số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ -Bằng cách sử dụng định lí Fermat để giải toán số nguyên tố II.Bài tốn Bài 33: Cho n  ¥ , chứng minh rằng: * 10 n1  19 hợp số Lời giải: Ta chứng minh 10 n1  19M23 với n  10 10 n 1  2(mod 22)  210n 1  22k  2( k  ¥ ) Ta có:  1(mod11)  Theo định lý Fermat: 222  1(mod 23)  2  22 10 n1 10 n1  22 k   4(mod 23)  19M23 10 n1  19  23 nên 22 Mà 10 n1  19 hợp số ( đpcm ) Bài 34: Cho n  ¥ , chứng minh rằng: * 34 n1  32 n1  hợp số Lời giải: 10 10 Theo định lí Fermat nhỏ ta có  1(mod11),  1(mod11) n1 n1 Ta tìm số dư phép chia cho 10, tức tìm chữ số tận chúng 24 n 1  2.16n  2(mod10)  n 1  10k  2, ( k  ¥ ) 34 n 1  3.81n  3(mod10)  34 n 1  10l  3, (l  ¥ ) 10 10 Mà  1(mod11)  1(mod11) nên n1 23  32 n 1 Mà n1 n1  32 n 1 Vậy   310 k   210 l 3   32  23   0(mod11)  32   11 với số tự nhiên n khác n1  hợp số với số tự nhiên n khác Bài 35: Giả sử p số nguyên tố lẻ và 3m  1 mod m  m p 1 Chứng minh m hợp số lẻ không chia hết cho Lời giải: Ta có m p 1 3p 1 3p  3p 1 3p 1   a.b a ,b 4 với TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì a, b số nguyên lớn nên m hợp số p 1 p  2 m  1 mod 3 Mà m     p số nguyên tố lẻ nên m lẻ 9p  p  M p  m  M Mp p  p, 8  nên Theo định lí Fermat ta có  9Mp p 1 3m 1  1M32 p  1M m Vì m  1M2 nên m  1M2 p (đpcm) Bài 36: Cho n  ¥ , chứng minh rằng: 24 n1  hợp số Lời giải: 4n n Với n  ¥ ta có   16   0(mod 5)    24 n    2 n  M 10  24 n  10k   k  ¥   22 n 1    210  22   22    mod11 Mặt khác Vậy n1 k 22 n1   11 n  ¥   hợp số PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG ( Khoảng 15 ) Bài 1: (HUYỆN BẠCH THÔNG NĂM 2018-2019) Tổng hai số nguyên tố 2015 hay khơng ? Vì ? Lời giải: Tổng hai số nguyên tố 2015 số lẻ, nên hai số nguyên tố phải Khi số 2013, số hợp số Vậy không tồn hai số nguyên tố có tổng 2015 Bài 2: (HUYỆN TAM DƯƠNG NĂM 2017-2018) 2016 Cho p số nguyên tố lớn Hỏi p  2018 số nguyên tố hay hợp số Lời giải: Vì p số nguyên tố lớn nên p chia cho dư p chia cho dư  p chia cho dư Mà p 2016   p  1008 2016 nên p chia cho dư  p2016  2018 M3 Mặt khác: 2018 chia cho dư 2, đó: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì p  2018  M3 2016 p 2016  2018   2016 nên p  2018 hợp số Bài 3: (HUYỆN SƠN TÂY NĂM 2017-2018) 4 Với q, p số nguyên tố lớn 5, chứng minh rằng: p  q M240 Lời giải: Ta có: p  q   p  1   q  1 ; 240  8.2.3.5 Chứng minh p  1M240 Do p  nên p số lẻ Mặt khác p    p  1  p  1  p  1   p  1  p  1 hai số chẵn liên tiếp   p  1  p  1 M8 2 Do p số lẻ nên p số lẻ  p  1M2 p  nên p có dạng: p  3k   p   3k M  p  1M3 p  3k   p   3k  3M3  p  1M Mặt khác p dạng : p  5k   p   5k    5k M5  p  1M5 p  5k   p    5k     25k  20k  5M5  p  1M5 p  5k   p   25k  30k  10M5  p  1M5 p  5k   p   5k  5M5  p  1M5 8.2.3.5 hay p  1M240 Vậy p  1M Tương tự ta có: q  1M240 Vậy p  1   q  1  p  q M240 Bài 4: (HUYỆN QUẢNG TIẾN) Nếu p  p  số nguyên tố p  số nguyên tố hay hợp số Lời giải: Xét số tự nhiên liên tiếp p; p  1; p  , số có số bội TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 3k   k  ¥  Mà p  p số nguyên tố nên p có dạng 3k  p   3k  1  3Q   p p    3k  1   p  3Q M3 Nếu p  3k  Mặt khác Nếu p    p  1  3Q M3   p  1 M3 mà  2;3  nên p  1M3 p  3k   p    3k     12k   3M M3  p  (trái với giả thiết) hợp số Vậy p  p  số nguyên tố p  hợp số Bài 5: (HUYỆN THANH OAI NĂM 2017-2018) 2 Tìm số nguyên tố x, y cho: x  45  y Lời giải: x  45  y  y  45, y số nguyên tố lẻ Suy x số nguyên tố chẵn nên x  từ ta có: y   45  49  y  Bài 6: (HSG NĂM 2018-2019) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n  2006 số nguyên tố hay hợp số Lời giải: n số nguyên tố nên n  không chia hết cho Vậy n chia cho dư n  2006  3m   2006  3m  2007   m  669  M3 Vậy n  2006 hợp số Bài 7: (HUYỆN HỒNG HỐ NĂM 2018-2019) Chứng tỏ p số nguyên tố lớn p  chia hết cho Lời giải: p  3k   k  ¥ * Xét số nguyên tố p chia cho Ta có: p  3k  Nếu p  3k   p    3k  1   9k  6k M Nếu p  3k   p    3k     9k  12k  3M 2 Vậy p  1M3 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 21 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 8: (TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – KIM BÀI- NĂM 2017-2018) Cho P P  số nguyên tố với P  Chứng minh P  2014 hợp số Lời giải: P  3k   k  ¥ * Từ giả thiết ta có P  3k  (loại) Nếu p  3k   p   3k  6M Nếu p  3k   p  2014  3k  2013M3 (loại) Vậy p  2014 hợp số Bài 9: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH BA) p  3 Cho p; p  số nguyên tố  Chứng minh p  hợp số Lời giải: * p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k  3k   k  N  Nếu p  3k  p   3k    3k  M3 mà p   nên p  hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k  Khi đó: p   3k    3k  M3 Lại có p   nên p  hợp số Vậy p; p  số nguyên tố ( p  ) p  hợp số Bài 10: (PHỊNG GD VÀ ĐT HOẰNG HOÁ) Cho ba số nguyên tố lớn cho , số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh: d chia hết Lời giải: Gọi ba số nguyên tố lớn a, b, c Giả sử a  b  c Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c ba số nguyên tố lẻ a  b  d  b  c  d  a  c  2d Vì số sau lớn số trước d đơn vị nên d số chẵn  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 22 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vì a, b, c ba số nguyên tố lớn nên a, b, c không chia hết cho Do ba số số a, b, c ln tồn hai số có số dư chia hiệu hai số chia hết cho  d M3   d M3 UCLN  2;3   2d M3 (vì ) Mà d số chẵn nên d M2 Vậy d M6 Bài 11: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÔ LƯƠNG) Cho p số nguyên tố thỏa mãn p  p  số nguyên tố Tìm số nguyên x cho p  54   x  1 Lời giải: Với p số nguyên tố Xét p  p   ; p   hợp số (loại) Xét p  p   ; p   số nguyên tố (nhận) Xét p  p có dạng 3k  3k  , k số nguyên dương - Với p  3k  p  chia hết cho 3, p   nên p  hợp số - Với p  3k  p  hợp số Vậy p  Khi đó: p3  54   x  1   x  1  81  2x 1   x5    x   9  x  4 (thỏa mãn) Bài 12: (PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOA LƯ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 1999 1997 Cho B  999993  555557 Chứng minh B hợp số Lời giải: 1999 1999 Số 999993 có chữ số tận chữ số tận Mà   31999  34 499 33  81499.27 có chữ số tận 1997 1997 Số 555557 có chữ số tận chữ số tận   71997  499  2041499.7 Mà có chữ số tận 1999 1997  B  999993  555557 có chữ số tận  B M5 B  nên B hợp số Bài 13: (PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TIÊN DU) Chứng minh p số nguyên tố lớn 3, cho p  số nguyên tố p  hợp số Lời giải: p  p có dạng p  3k  1; p  3k  p  3k  ta có p   2(3k  1)   6k  chia hết hợp số (loại) + Nếu p  3k  ta có p   2(3k  2)   6k  (thõa mãn) + Nếu + Nếu Vậy p  hợp số p   4(3k  2)   12k  chia hết hợp số Bài 14: (UBND HUYỆN PHÚ XUYÊN)  p  3 Hỏi p  100 số nguyên tố hay hợp số Cho p p  số nguyên tố Lời giải:  Do p có dạng 3k  3k  2,  k  N * Vì p số nguyên tố p  nên p M Nếu p  3k  p   3k  9M3  p  hợp số (Không thỏa mãn)  p  3k  , p  100  3k  102M3  p  100 hợp số Bài 15: (UBND HUYỆN VŨ THƯ) 2 2 Cho a , b , c , d số nguyên dương thỏa mãn a  b  c  d chẵn Chứng minh a  b  c  d không số nguyên tố Lời giải: Xét : A = (a2+ b2 - c2 - d2 ) + (a + b + c + d) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ A   a  a    b2  b    c2  c    d  d  A  a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 a  a  1 M2 a  a  1 Vì a số nguyên dương nên a  ¥ *  hai số tự nhiên liên tiếp  Tương tự chứng minh được: b  b  1 M2; c  c  1 M2; d  d  1 M2 b, c, d  ¥ * Nên ta có : A  a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1  M2 a, b, c, d  ¥ * Mà giá trị biểu thức Lại có a  b2  c2  d số chẵn nên (a  b  c  d)M2 (1) a, b, c, d  ¥ * nên a  b  c  d    Từ (1) (2) suy a  b  c  d hợp số Vậy a  b  c  d khơng số ngun tố Bài 16: (PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n  2018 số nguyên tố hay hợp số Lời giải: Vì n số nguyên tố n   n  3k  1; n  3k  -Nếu n  3k   n  2018   3k  1  2018  9k  6k   2018  9k  6k  2019   3k  2k  673 M hợp số n  3k   n  2018   3k    2018  9k  12k   2018 -Nếu hợp số Vậy n số nguyên tố lớn 3thì n  2018 hợp số Bài 17: (ĐỀ HSG LỚP 9) 2021 2020 Tìm tất số nguyên dương n để A  n  n  hợp số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Với n   A  không hợp số 2021 2020 2021 2020 Với n   A  n  n   n  n  n  n  n  n   n  n 2019  1  n  n 2019  1   n  n  1 n 2019    n 673   1Mn3  1; n3  1M n  n  1  n 2019  1Mn  n  Mà  AMn  n   2021 2020 Mà n  ¢ , n  nên A  n  n   n  n   Vậy A hợp số với số nguyên dương n  Bài 18: (ĐỀ HSG LỚP 9) 3 3 Chứng minh a  b  c  d  A  a  b  c  d hợp số Lời giải: Ta có a  b  c  d   a  c   b  d    a  c      b  d   3  a  c3  3ac  a  c   b3  d  3bd  b  d   a  b3  c  d  3ac  a  c   3bd  b  d   a  b3  c  d  3ac  b  d   3bd  b  d   a  b3  c  d   ac  bd   b  d  M3 3 3 Vậy a  b  c  d  A  a  b  c  d hợp số Bài 19: (ĐỀ THI VƠ ĐỊCH TỐN ANH) n Chứng minh A  19.8  17 hợp số với n  ¥ Lời giải: Xét trường hợp n  2k , n  4k  1, n  4k  Nếu n  2k  A  19.82 k  17  18.82 k  82 k   18  1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 26 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 82 k  64k   63  1 , 63  3.21 k Mà 2k nên : dư  AM3 Nếu n  4k   A  19.84 k 1  17  13.84k 1  6.8.642 k  17  13.84 k 1  39.642 k    65  Chú ý 65  135   65  2k :3 2k   13   dư nên AM3 k 3  17  15.84 k 3  4.83.64 k  17 Nếu n  4k   A  19.8  15.84 k 3  4.510.642 k  4.2   65  2k   25    AM8 n Vậy A  19.8  17 hợp số với n  ¥ Bài 20: (ĐỀ THI HSG TỐN 9) p Tìm số p nguyên tố để A   p hợp số Lời giải: 2 Với p   A    hợp số Với p   A    17 số nguyên tố Với p  , p nguyên tố nên p lẻ Ta có A  p  p   p  1   p  1  nên p  Xét số tự nhiên liên tiếp p  1; p; p  có số chia hết cho 3, mà p M p  chia hết cho  p  1M Lại có p  1M  1  p p  p  nên A   p hợp số p Vậy với p  p  A   p hợp số Bài 21: (ĐỀ THI HSG TOÁN 9) 1975 2010 Chứng minh A   hợp số Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 27 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ +) 21975  22.987 1  22.987.2  4987.2    1 987   3k  1  6k  2, k  ¥ *  21975 : dư (1) +) 52010  52.1005  251005   24  1 1005   3.8  1 1005  3m  1, m  ¥ *  52010 : dư (2) 1975 2010 Từ (1) (2) ta có A   M3 A  nên A hợp số  HẾT  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 28 ... hợp số Dạng 2: Một số toán hợp số I.Phương pháp giải -Dựa vào tính chất đặc trưng hợp số để giải toán chứng minh hợp số II .Bài toán Bài 7: a) Cho p số nguyên tố Hỏi p  số nguyên tố hay hợp số. .. tổng hợp số tổng hợp số c) Ta có: 5.7.11 số lẻ 13.17.19 số lẻ, nên tổng số chẵn M2  Là hợp số d) Ta có: 4253  1422 có chữ số tận nên chia hết cho Vậy tổng hợp số Bài 3: Tổng, hiệu sau số nguyên... a)Ta có : 10  10  có tổng chữ số chia hết hợp số 21 b) Ta có : 17  24  13 số chẵn nên hợp số 25 15 c) 425  37 số chẵn nên hợp số Bài 26: Chứng minh số sau hợp số 11 13 17 19 a)      11