S6 CHUYÊN đề 5 CHỦ đề 1 ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT số NGUYÊN tố, hợp số

CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 5-SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ CHỦ ĐỀ 1:ĐỊNH NGHĨA,TÍNH CHẤT,SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.SỐ NGUYÊN TỐ -Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1,chỉ có ước -Số ngun tố nhỏ vừa số nguyên tố chẵn số -Không thể giới hạn số nguyên tố tập hợp số nguyên tố.Hay nói cách khác,số nguyên tố vô hạn -Khi số nguyên tố nhân với tích chúng khơng số phương -Ước tự nhiên nhỏ khác số tự nhiên coi số nguyên tố ( a >1) -Để kết luận số tự nhiên a số nguyên tố , cần chứng minh a không chia hết cho số ngun tố mà bình phương khơng vượt q a -Nếu tích  a Mp ab Mp ⇒  b Mp p ( số nguyên tố) a n Mp ⇒ a Mp -Đặc biệt p ( số nguyên tố) 4n ± 1( n ∈ N * ) -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n ± 1( n ∈ N * ) -Mọi số nguyên tố vượt có dạng: -Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị 2.HỢP SỐ -Hợp số số tự nhiên lớn lơn có nhiều ước nguyên dương -Để chứng tỏ số tự nhiên a ( a >1 ) hợp số,chỉ cần ước khác TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC a Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ -Ước số nhỏ khác hợp số số nguyên tố bình phương lên khơng vượt q -Một hợp số tổng ước (khơng kể nó) gọi là: Số hồn chỉnh -Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách (không kể thứ tự thừa số) 3.HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU -Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn a, b nguyên tố với * ⇔ ( a, b ) = 1;( a, b ∈ N ) - Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố - Hai số nguyên tố khác nguyên tố - Các số nguyên tố khác nguyên tố ( a , b, c ) = a, b, c - Các số nguyên tố a, b, c - a, b, c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố nguyên tố sánh đôi ⇔ ( a, b ) = ( b, c ) = ( c, a ) = 4.MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐẶC BIỆT p = ax + b; x ∈ N * , ( a, b ) = - Định lí Đirichlet: Tồn tai vơ số số ngun tổ p có dạng: - Định lí Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên ( n > 2) - Định lí Vinogradow: Mọi số lẻ lớn 33 n đến số tự nhiên 2n có số ngun tố tổng số nguyên tố PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Dạng 1:Tính chất đặc trưng số nguyên tố cách nhận biết số nguyên tố,hợp số I.Phương pháp giải - Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất số nguyên tố ,hợp số, để giải toán chứng minh giải thích - Thơng qua việc phân tích xét hết khả xảy ra, đối chiếu với giả thiết định lý, hệ học để loại bỏ trường hợp mâu thuẫn nhận biết đâu số nguyên tố, hợp số II.Bài toán Bài 1: Chứng minh rằng: 4n ± 1( n ∈ N * ) a, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: 6n ± 1( n ∈ N * ) b, Mọi số nguyên tố vượt có dạng: Lời giải: A a, Gọi -Nếu A số tự nhiên lớn Khi A = 4n Suy hay A A = 4n + AM2 số nguyên tố A A 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3( n ∈ N * ) có dạng hợp số 4n + 1, 4n + có dạng 4n + = 4n + − = 4( k + ) − Vì nên suy số nguyên tố vượt có dạng: 4n ± 1( n ∈ N ) * (đpcm) b, Gọi -Nếu -Nếu A số tự nhiên lớn 3.Khi A = 6n hay A = 6n + A = 6n + AM2 A AM3 A A 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3( n ∈ N * ) có dạng hợp số hợp số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ A Suy số nguyên tố A 6n + 1, 6n + có dạng 6n + = 6n + − = 6(k + 1) − Vì nên suy số nguyên tố vượt có dạng: 6n ± 1( n ∈ N * ) (đpcm) Bài 2: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số ngun tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 3: Tổng số nguyên tố 2003 không ? Lời giải: Ta thấy 2003 số lẻ nên 2003 tổng hai số nguyên tố hai số phải 2001 = 69.29 số chẵn Vậy số cịn lại 2001 2001 lại khơng số nguyên tố Vậy tổng hai số nguyên tó khơng thể 2003 p+2 p Bài 4: Cho cho 12 hai số nguyên tố lớn Chứng minh tổng chúng chia hết Lời giải: p Ta thấy số nguyên tố lớn nên p = 6n + 1,( n ∈ N * ) p + = 6n + = 3( 2n + 1) M p+2 p+2 số lớn nên p = 6n − 1( n ∈ N * ) TH2: có dạng TH1: Mà 6n ± 1, ( n ∈ N * ) p hợp số ( Trái với GT, loại ) p + = 6n + TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p + p + = 6n − + 6n + = 12 nM 12 Khi ⇒ ĐPCM p + 1,8 p − p Bài 5: Cho số nguyên tố hai nguyên tố hay hợp số số nguyên tố Hỏi số lại số Lời giải: p=2 -Nếu p − = 8.2 − = 15 p=3 -Nếu hợp số p + = 8.3 + = 25 p>3 -Nếu hợp số 8p khơng chia hết cho p − 1,8 p + Vậy số chia hết cho hợp số Vậy số lại hợp số 2n + 1, 2n − 1( n ∈ N , n > ) Bài 6: Hai số số ngun tố hay khơng ? Vì ? Lời giải: 2n + 1, 2n , 2n − số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Mà Vì nguyên tố nên Mà ( 2,3) = n>2 2n (1) không chia hết cho 2n + > 3, 2n − > , (2) nên n + 1, 2n − (1) (2) Từ số suy số phải chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ⇒ 2n + 1, 2n − 1( n ∈ N , n > ) Hai số số nguyên tố Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3,trong số sau lớn số trước d đơn vị.Chứng minh d M6 Lời giải p Các số nguyên tố lớn nên có dạng 3k + * 3k + ( k ∈ N ) d 2d Có số mà có dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng ( ) chia d d d hết cho ( theo nguyên lý Drichlet ) Mặt khác chia hết cho hiệu hai số lẻ.Vậy chia hết cho Bài 8: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho Lời giải: p Gọi số nguyên tố lơn p Mà p + 1M2 (1) p lẻ nên 3k + 1, 3k + 2(k ∈ N , k > 1) p số nguyên tố lớn nên p = 3k + Dạng có dạng p + = 3k + 3M3 p = 3k + khơng xảy hợp số (Loại) ⇒ p = 3k + ⇒ p + = 3k + 3M3 (2) Từ (1) (2) ⇒ p + 1M6 ⇒ , p +8 p Bài 9: Cho ĐPCM p + 100 hai số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hợp số ? Lời giải: p Ta thấy 6n ± 1, ( n ∈ N * ) p số nguyên tố lớn nên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC có dạng Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p = 6n + 1,( n ∈ N * ) p + = 6n + = 3( 2n + 3) M TH1: p +8 Mà p +8 số lớn nên p = 6n − 1( n ∈ N * ) hợp số ( Trái với GT, loại ) p + = 6n + TH2: p + 100 = 6n − + 100 = 6n + 99 = 3(2n + 33) M Khi p + 100 Mà p + 100 số lớn nên p +1 p Bài 10: Cho hợp số p +1 hai số nguyên tố lớn Hỏi số nguyên tố hay hợp số ? Lời giải: 6n ± 1, ( n ∈ N * ) p số nguyên tố lớn nên p có dạng Ta thấy p = 6n + 1, ( n ∈ N * ) p + = 2(6n + 1) + = 12n + = 3(4n + 1) M TH1: p +1 Mà p +1 số lớn nên p = 6n − 1( n ∈ N * ) hợp số ( Trái với GT, loại ) p + = 2(6n − 1) + = 12n − TH2: p + = 4(6n − 1) + = 24n − = 3(8n − 1) Khi p +1 Mà p +1 số lớn nên hợp số Bài 11: Chứng minh số dư phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: p số nguyên tố Giả sử r Nếu p = 30k + r = 2.3.5.k + r (k ∈ N * , r ∈ N * , < r < 30) p hợp số r có dạng q < 30 ⇒ q ∈ { 2,3,5} q có ước nguyên tố cho q ∈ { 2,3,5} Nhưng với Vậy r =1 2,3,5 p chia hết cho r ( Vô lý ) số nguyên tố r r r Bài 12: Một số ngun tố chia cho 30 có số dư Tìm biết không số nguyên tố Lời giải: p ∈ N* p Gọi số nguyên tố ( ) p = 30k + r = 2.3.5.k + r (k ∈ N * , r ∈ N * , < r < 30) Ta có: 2,3,5 p Vì số nguyên tố nên r không chia hết cho 2,3,5 Số nguyên dương không số nguyên tố nhỏ 30 không chia hết cho Vậy r =1 có số r r Bài 13: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư Tìm r biết hợp số Lời giải: p ∈ N* p Gọi số nguyên tố ( ) p = 42k + r = 2.3.7.k + r (k ∈ N * , r ∈ N * , < r < 42) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p Vì số nguyên tố nên r 2,3, không chia hết cho 2, 3, Số nguyên dương hợp số nhỏ 42 không chia hết cho Vậy r = 25 có số 25 Bài 14: Trong dãy số tự nhiên tìm 1997 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố hay khơng ? Lời giải: Chọn dãy số: a1 = 1998!+ a1 M2 a2 = 1998!+ a2 M3 a3 = 1998!+ a3 M4 …… ………… a1997 = 1998!+ 1998 a1997 M 1998 a1 ; a2 ; a3 ; ; a1997 Như vậy: Dãy số gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp khơng có số số nguyên tố Bài 15: Trong dãy số tự nhiên tìm hay khơng ? n ( n > 1) số liên tiếp mà khơng có số ngun tố Lời giải: Chọn dãy số: a1 = ( n + 1)!+ a1 M2, a1 > a1 nên TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC hợp số Trang CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ a2 = ( n + 1)!+ a2 M3, a2 > a2 nên a3 = ( n + 1)!+ a3 M4, a3 > hợp số a3 nên …… hợp số ………… an = (n + 1)!+ (n + 1) an M(n + 1), an > n + an nên a1 ; a2 ; a3 ; ; an Như vậy: Dãy số gồm có n hợp số số tự nhiên liên tiếp khơng có số số ngun tố Bài 16: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số nguyên tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn Bài 17: Chứng minh tổng n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên (n,30) = tố Lời giải: 1, 7,11,13,17,19, 23, 29 p Số nguyên tố Với Với r =1 r =7 chia cho 30 dư là: p ≡ 1( mod 30 ) tương tự với r = 11 r = r = 19 , , p ≡ 19 ( mod 30 ) tương tự với r = 13 r = 17 r = 23 , , p ≡ 1( mod 30 ) Suy p1 , p2 , , pn Giả sử số nguyên tố lớn TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Vậy 2n + Bài : Cho nhau: a a 3n + a+b b hai số nguyên tố hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố Lời giải: ( a, a + b) = d ( d ∈ N * ) Đặt a Md ⇒ ⇒ bMd a + bMd Mà Vậy a b a số nguyên tố nên a+b a Bài 6: Cho nhau: a2 ⇒ d =1 hai số nguyên tố ( ĐPCM ) b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố a+b Lời giải: ( a , a + b) = d ( d ∈ N * ) Đặt a Md a Md a Md ⇒ ⇒ ⇒ a + b Md a + b Md b Md Mà Vậy a a2 b số nguyên tố nên a+b ⇒ d =1 hai số nguyên tố ( ĐPCM ) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 40 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố a+b ab nhau: a Bài 7: Cho Lời giải: ( ab, a + b) = d ( d ∈ N * ) Đặt   a Md ab Md   ⇒  b Md a + b Md   a + b Md + TH1: Mà Vậy a ab + TH2: Mà Vậy a Md ⇒ bMd a b số nguyên tố nên a+b ab b số nguyên tố nên a+b Bài : Cho nhau: hai số nguyên tố ( ĐPCM ) b Md ⇒ a Md b ⇒ d =1 a ⇒ d =1 hai số nguyên tố ( ĐPCM ) b hai số nguyên tố Chứng minh hai số sau hai số nguyên tố a − b( a > b) Lời giải: (b, a − b) = d ( d ∈ N * ) Đặt TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 41 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ   a Md abMd   ⇒  bMd c Md  c Md Mà Vậy a b và b ⇒ d =1 số nguyên tố nên a −b hai số nguyên tố ( ĐPCM ) Bài 9: Chứng minh nếu c nguyên tố với a b c nguyên tố với tích ab Lời giải: p Gọi ước chung nguyên tố c ab c Md ⇒ abMd + TH1: Mà Vậy a ab + TH2: Mà Vậy c a Md số nguyên tố nên c ⇒ d =1 hai số nguyên tố ( ĐPCM ) bMd ab c b số nguyên tố nên c ⇒ d =1 hai số nguyên tố ( ĐPCM ) Bài 10: Tìm số tự nhiên n để số 9n + 24 3n + số nguyên tố Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 42 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Giả sử 9n + 24 3n + chia hết cho số nguyên tố d 9n + 24 − 3(3n + ) Md ⇒ 12Md ⇒ d ∈ { 2,3 } (9n + 24;3n + 4) = Điều kiện để d ≠2 d ≠ 2; d ≠ 9n + 24 phải có số + Nếu + Nếu 9n + 24 3n + số lẻ số lẻ ⇔ 9n ⇔ 3n Vậy điều kiện để hai số Bài 11: Tìm số tự nhiên lẻ lẻ ⇔n ⇔n 9n + 24 n Hiển nhiên và 3n + d ≠3 3n + không chia hết cho 3.Muốn không chia hết cho 2.Ta thấy: lẻ, lẻ 3n + để số số nguyên tố n lẻ 18n + 21n + số nguyên tố Lời giải: Giả sử 18n + 21n + chia hết cho số nguyên tố d 6(21n + 7) − 7(18n + 3) Md ⇒ 21Md ⇒ d ∈ { 1;3;7; 21} d ≠ 3; d ≠ 21 21n + d ≠ 3; d ≠ 7; d ≠ 21 Hiển nhiên khơng chia d ≠7 18n + 21n + hết cho Muốn số khơng chia hết cho (vì ln chia hết cho ) (18n + 3; 21n + 7) = Điều kiện để 18n + 3M7 ⇔ 18n + − 21M7 ⇔ 18(n − 1) M7 ⇔ n − 1M7 Vậy điều kiện để hai số 18n + Bài 12: Chứng minh hai số 21n + 2n + n ≠ 7k + 1,(k ∈ N* ) số nguyên tố 4n + 12 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC số nguyên tố với số tự nhiên n Trang 43 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: d = (2n + 5; 4n + 12) Gọi 2n + 5Md ⇒ 4n + 12Md 2(2n + 5) Md ⇒ 4n + 12Md 4n + 10Md ⇒ 4n + 12Md ⇒ 4n + 12 − 4n − 10Md ⇒ 2Md Mà 2n + số lẻ nên Vậy hai số 2n + d =1 4n + 12 số nguyên tố với số tự nhiên Bài 13: Chứng minh hai số 12n + 30n + n số nguyên tố với số tự nhiên n Lời giải: d = (12n + 1;30n + 2) Gọi 12n + 1Md ⇒ 30n + 2Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 44 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ 5(12n + 1)Md ⇒ 2(30n + 2) Md 60n + 5Md ⇒ 60n + 4Md ⇒ 6n + − 6n − 4Md ⇒ 1Md ⇒ d =1 Vậy hai số 12n + 30n + số nguyên tố với số tự nhiên Bài 14: Chứng minh hai số 2n + 4n + n số nguyên tố với số tự nhiên n Lời giải: d = (2n + 3; n + 8) Gọi 2n + 3Md ⇒ 4n + 8Md 2(2n + 3)Md ⇒ 4n + 8Md 4n + 6Md ⇒ 4n + 8Md ⇒ 4n + − 4n − 6Md TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 45 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ⇒ 2Md ⇒ d =1 Vì 2n + số lẻ Vậy hai số 2n + 4n + số nguyên tố với số tự nhiên Bài 15: Chứng minh hai số 3n + 5n + n số nguyên tố với số tự nhiên n Lời giải: d = (3n + 2;5n + 3) Gọi 3n + 2Md ⇒ 5n + 3Md 5(3n + 2)Md ⇒ 3(5n + 3)Md 15n + 10Md ⇒ 15n + 9Md ⇒ 15n + 10 − 15n − 9Md ⇒ 1Md ⇒ d =1 Vậy hai số 3n + 5n + số nguyên tố với số tự nhiên n PHẦN III.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 46 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Bài 1: Tìm số tự nhiên n để A = n2018 + n 2002 + số nguyên tố (HSG Tỉnh Quảng Ngãi 2015 – 2016) Lời giải: Xét Xét n=0 n =1 A =1 thì khơng phải số nguyên tố A=3 số nguyên tố n > A = n 2018 − n + n2002 − n + n + n + Xét : = n2 (n ) 672 ((n ) −1 Mà chia hết cho (n ) 667 A ) ((n ) −1 + n n3 − chia hết cho ) − + ( n2 + n + ) 672 −1 , suy chia hết cho n2 + n + nên A n2 + n + hợp số Số tự nhiên cần tìm n =1 p2 + p p Bài : Tìm số nguyên tố 667 chia hết cho n2 + n + > (n ) −1 Tương tự: Vậy 672 để số nguyên tố (HSG Thành phố Hà Nội 2016 – 2017) Lời giải: p2 + p = + = p=2 Nếu p + = + = 17 p=3 Nếu (khơng thỏa mãn) p p≥3 Nếu Kết luận (thỏa mãn) p + p = ( p − ) + ( p + ) M3 p=3 giá trị cần tìm ( p; q ) p − 5q = Bài 3: Tìm tất cặp số nguyên tố thỏa mãn (Chuyên Vũng Tàu 2016 – 2017) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 47 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: p − 5q = ⇔ p − = 5q ⇔ ( p − ) ( p + ) = 5q 0< p−2< p+2 p−2 q Do nguyên tố nên Ta có bảng giá trị tương ứng: p−2 nhận giá trị p+2 p q 5q q2 q 5q q2 ( p, q Do 1;5; q; q p; q ) = ( 7;3 ) số ngun tố nên có cặp Bài 4: Tìm tất số tự nhiên N thỏa mãn (theo hệ thập phân) thỏa mãn điều kiện sau: N = aabb , abb aab số nguyên tố Lời giải: Do aab số nguyên tố, tức 110a + b b = 1, 3, số nguyên tố ta có N = 11( 100a + b ) Từ điều kiện thứ ta có: Theo bảng số nguyên tố ta tìm cặp số nguyên tố abb aab thỏa mãn điệu kiện thứ sau ( 223; 233 ) ( 227; 277 ) ( 331;311 ) ( 443; 433 ) ( 449; 499 ) ( 557;577 ) ( 773;733 ) đây: , , , , , , , ( 881;811 ) ( 887;877 ) ( 991;911 ) ( 997;977 ) , , , TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 48 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Tương ứng với 100a + b 203 = 2.29 207 = 9.23 301 = 7.43 403 = 13.31 số sau: ; ; ; ; 409 số 507 = 3.132 703 = 19.37 801 = 32.89 807 = 2.269 901 = 17.53 nguyên tố; ; ; ; ; ; 907 số nguyên tố Vậy N = 8877 = 3.11.269 p Bài 5: Tìm số tự nhiên Lời giải: p+3 p cho số nguyên tố 2n; 2n + p = 2n + p + = 2n + n∈ N Một số tự nhiên có hai dạng: với Nếu chia hết cho p+3> p+3 p+3 Ta có chia hết cho Nên hợp số trái đề p = 2n p=2 p+3= p Do đó: Nhưng nguyên tố nên nguyên tố p=2 Vậy p+4 p+8 p Bài 6: Tìm số nguyên tố cho số nguyên tố Lời giải: 3n ;3n + 1;3n + 2; n ∈ N Bất kì số tự nhiên có ba dạng: p = 3n Nếu p + = 3n + 9M3 , vơ lí p = 3n + p + = 3n + p = 3n Nếu , vơ lí Do p = 3; p + = 7; p + = 11 p=3 p Nhưng nguyên tố nên nguyên tố Vậy y x, y , Z x +1 = Z Bài 7: Tìm số nguyên tố thỏa mãn Lời giải: x, y Vì số nguyên tố ⇒ x ≥ 2, y ≥ TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 49 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ ⇒ Z ≥5⇒ Z ⇒x số nguyên tố lẻ ⇒x y số chẵn chẵn ⇒x=2 thay vào ta có Z = 2y +1 y Nếu ⇒ y + 1M a n + b n Ma + b lẻ ( lẻ) ⇒ Z M3 vô lí ⇒ y=2 y Do số chẵn x = 2, y = ⇒ Z = Thay x = 2, y = ⇒ Z = Vậy Bài 8: Tìm Lời giải: a) n∈ N * để n4 + số nguyên tố n + = n + 4n + − 4n = ( n2 + ) − ( 2n ) 2 = ( n − 2n + ) ( n + n + ) Để n4 + số nguyên tố Thử lại với Vậy với n =1 n =1 2n − 2n + = ⇒ n = n4 + = số nguyên tố n +4 số nguyên tố p+2 p+4 p Bài 9: Tìm số nguyên tố cho số nguyên tố (trích đề thi HSG Quãng Trạch) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 50 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: p=3 Với p+2=5 p>3 Với p+4=7 số nguyên tố p = 3k ± p + = 3k + 3M3 p = 3k + Nếu p + = 3k + 3M3 p = 3k − Nếu p=3 Vậy p+2 p+4 số nguyên tố Bài 10: Tìm số tự nhiên n để n + 12n số nguyên tố.( trích đề thi HSG Thanh Oai) Lời giải: n + 12n = n(n + 12) Ta có Vì n + 12 > Thử lại Vậy với nên để n + 12n số nguyên tố n + 12n = 12 + 12.1 = 13 n =1 n + 12n n =1 số nguyên tố số nguyên tố p2 + p Bài 11: Chứng minh HSG Nga Sơn) p3 + số nguyên tố số nguyên tố (trích đề thi Lời giải: p = 3k + Với số nguyên tố lớn chia hết cho có dạng p = 3k + Với p + = k + 6k + chia hết cho TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC p = 3k + 2( k ∈ N * ) Trang 51 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ p = 3k + Với p + = 9k − 6k + chia hết cho p≥2 p Vì số nguyên tố nên p2 + hai trường hợp lớn chia hết p2 + cho , tức là hợp số p=3 => p + hợp số p + = 11 số nguyên tố => p + = 33 + = 29 số nguyên tố p2 + p Vậy Bài 12:Cho Trực) p3 + số nguyên tố A = + 32 + 33 + + 3100 số nguyên tố số nguyên tố hay hợp số? sao? (trích đề thi HSG Nam Lời giải: A = + 32 + 33 + + 3100 = (3 + 32 ) + (33 + 34 ) + + (399 + 3100 ) = 3(1 + 3) + 33 (1 + 3) + + 399 (1 + 3) = 3.4 + 33.4 + + 399.4 = 4(3 + 33 + + 399 ) M A>4 Mà Nên A = + 32 + 33 + + 3100 Bài 13: Cho Thước) n hợp số số nguyên tố Hỏi n10 − số nguyên tố hay hợp số? (trích đề thi HSG Bá Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 52 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ n Ta có => n10 số nguyên tố suy chia => n10 − dư chia dư 1 chia hết cho n10 − Vậy n hợp số Bài 14: Tìm số tự nhiên Hòa) n p = (n − 2)(n + n − 5) cho số nguyên tố (Trích đề thi HSG Hiệp Lời giải: p = (n − 2)( n + n − 5) Vì nên p Vì số nguyên tố nên + Nếu n − = => n = n−2 n − =1 n2 + n − ∈ ( p) Ư n2 + n − = p = (3 − 2)(32 + − 5) = 1.7 = (thỏa) n + n − = => n + n = => n(n + 1) = = 2.3 => n = + Nếu p = (2 − 2)(22 + − 5) = Vậy khơng phải số nguyên tố, loại n=3 p = ( n − 2)(n + n − 5) số nguyên tố Bài 15: Tìm số tự nhiên n để 3n + số nguyên tố (trích đề thi HSG Hưng Hà) Lời giải: Với n=0 ta có 3n + = 30 + = số nguyên tố TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 53 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Với Vậy n≠0 n=0 3n M 3, 6M ta có 3n + nên 3n + 6M3 mà 3n + > 3n + hợp số số nguyên tố  HẾT  TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 54 ... -Dựa vào tính chất đặc trưng số nguyên tố hợp số để giải toán chứng minh số nguyên tố, hợp số II.Bài toán p+4 p Bài 1: Cho p>3 số nguyên tố ( p +8 ).Chứng minh hợp số Lời giải: p Ta có: số nguyên. .. 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số số chẵn hay số lẻ? Lời giải: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số nguyên tố lẻ Do tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số. .. Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ số TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ NGUYÊN TỐ,HỢP SỐ Lời giải: Trong ba số nguyên tố có tổng 1012, phải có số chẵn, số Đó số nhỏ ba số