S6 CHUYÊN đề 1 CHỦ đề 3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG dãy số tự NHIÊN

CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 1- SỐ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ3: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ TỰ NHIÊN PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT DÃY SỐ TỰ NHIÊN S = a1 + a2 + a3 +…+ an + Cho dãy số tự nhiên : a1 - : số hạng thứ a2 - : số hạng thứ a3 - : số hạng thứ an - : số hạng thứ S n tổng dãy số tự nhiên có n số hạng DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÁCH ĐỀU + Dãy số tự nhiên cách đều: Hiệu hai số hạng liên tiếp luôn không đổi an − an −1 = d - (hằng số) S = a1 + a2 + a3 + + an S = n ( a1 + an ) : PHẦN II CÁC DẠNG BÀI S = a1 + a2 + a3 + + an Dạng 1: Tổng số hạng cách TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN I Phương pháp giải S = a1 + a2 + a3 + + an Cần tính tổng: (1) a2 − a1 = a3 − a2 = = an − an −1 = d Với (các số hạng cách giá trị n = ( an − a1 ) : d + Số số hạng tổng a1 với số hạng thứ nhất; Số hạng thứ n an = a1 + ( n − 1) d dãy II.Bài tốn Bài 1: Tính tổng S = + + + + + 2019 + 2020 Lời giải: ( 2020 − 1) :1 + = 2020 Số số hạng dãy S = ( + 2020 ) 2020 : = 2041210 Tổng Bài tốn tổng qt: Tính tổng S = + + + + n ( n − 1) :1 + = n Số số hạng dãy S = ( n + 1) n : Tổng Bài 2: Tính tổng S = + + + + 2019 + 2021 ) an S = n ( a1 + an ) : Tổng d Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang số hạng thứ n CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ( 2021 − 1) : + = 1011 Số số hạng dãy S = ( + 2021) 1011: = 1022121 Tổng Bài 3: Tính tổng S = + 10 + 15 + + 2015 + 2020 Lời giải: ( 2020 − 5) : + = 404 Số số hạng dãy S = ( + 2020 ) 404 : = 409050 Tổng S = 1+ Bài 4: Tính tổng 4039 + + + + + 2020 2 Lời giải: ( 2020 − 1) : Số số hạng dãy + = 4039 S = ( + 2020 ) 4039 : = 4081409,5 Tổng S = 10,11 + 11,12 + 12,13 + …+ 98,99 + 100 Bài 5: Tính tổng Lời giải: ( 100 − 10,11) :1, 01 + = 90 Số số hạng dãy S = ( 10,11 + 100 ) 90 : = 4954,95 Tổng Bài 6: Tính tổng số tự nhiên có hai chữ số? TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Cách 1: 10;11;12; ;99 Các số tự nhiên có hai chữ số 99 − 10 + = 90 Số số là: số A = 10 + 11 + 12 + + 99 (1) Ta có: A = 99 + 98 + + 11 + 10 (2) Cộng (1) với (2) áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng ta được: A + A = ( 10 + 99 ) + ( 11 + 98 ) + + ( 98 + 11) + ( 99 + 10 ) = 109 + 109 + + 109 + 109 Nên A = 109.90 ⇒ A = 109.90 : = 45.109 = 4905 Cách 2: ( 99 − 10 ) Số số hạng dãy: + = 90 (khoảng cách số hạng liên tiếp dãy 1, số hạng đầu dãy 10, số hạng cuối dãy 99) A= 99 + 10 90 = 4905 Tổng dãy: Bài 7: Tính tổng 21 số lẻ liên tiếp đầu tiên? Phân tích: Để giải toán ta cần xác định quy luật cách số lẻ liên tiếp Tuy nhiên số hạng tổng biết nên ta cần áp dụng cơng thức tính tổng nêu phương pháp Lời giải Tổng 21 số lẻ liên tiếp là: S = + + + + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 Cách 1: Tính tổng theo cơng thức phương pháp TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Các số hạng liên tiếp tổng cách giá trị S = + + + + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = d =2 tổng có 21 số hạng nên: ( 41 + 1) 21 = 441 Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành cặp số có tổng nhau, ta thấy: + 39 = 42 + 41 = 42 ⇒ + 37 = 42 + 35 = 42 Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta cặp số có tổng 42 Số cặp số là: 20 : = 10 (cặp số) dư số hạng dãy số số 21 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là: S= Bài 9: Tính tổng 42.10 + 21 = 441 101 103 + + + + + + + + 35 3 3 Lời giải Ta có 101 103 + + + + + 101 + 103 + 105 S = + + + + + + + + 35 = 3 3 3 Xét tổng + + + + 101 + 103 + 105 tổng số tự nhiên lẻ liên tiếp từ đến 105, số tự nhiên lẻ liên tiếp cách đơn vị n = ( 105 − 1) : + = 53 Tổng có: số hạng + + + + 101 + 103 + 105 = S= Ta có tổng ( 105 + 1) 53 = 2809 2809 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Dạng 2: Tổng có dạng S = + a + a + a + + a n (1) I Phương pháp giải TH 1: Nếu TH 2: Nếu a =1 a ≠1 S = 1+ n để tính tổng S ta làm sau ( 1) Bước 1: Nhân hai vế ( 2) Bước 2: Lấy với số a aS = a + a + a + a + + a n ta aS − S = a ( 1) trừ vế theo vế ta II Bài tốn Bài 1: Tính tổng S = + 22 + 23 + 24 + + 20 Lời giải: Ta có Vậy S = 22 + 23 + 24 + 25 + + 221 S − S = S = 221 − Bài 2: Tính tổng S = + + 2 + 23 + + + 2100 Lời giải: Ta có Vậy S = + 2 + 23 + 24 + 25 + + 2101 S − S = S = 2101 − Bài 3: Tính tổng S = + 62 + 63 + 64 + + 699 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang n +1 a n +1 − −1 ⇒ S = a −1 ( 2) CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Lời giải: Ta có Vậy S = 62 + 63 + 64 + 65 + 6100 S − S = 5S = 6100 − S= Suy 6100 − S = 1+ Bài 4: Tính tổng *) Phân tích: Đặt =a 1 1 + + + + 99 + 100 2 2 toán trở dạng cho Kể từ số hạng thứ nhất, số hạng số hạng đứng trước nhân với nhân vào tổng S ta có tổng lấy tổng 2S trừ tổng S 2S với số hạng từ số hạng từ đến 299 đến 299 Ta có bị triệt tiêu tính tổng S 1 1 1 1 + + + + 99 + 100 ⇒ 2S = + + + + + + 99 2 2 2 2 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang Do ta , giống tổng S, Lời giải: S = 1+ CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ⇒ 2S − S = S = − 2100 S = 1+ Bài 5: Tính tổng 5 5 + + + + 55 7 7 *) Phân tích: Nhận thấy số hạng từ đến 755 có tử số 5, kể từ số hạng hạng số hạng đứng trước nhân với có số hạng từ từ đến 754 đến 754 7 số Nếu nhân vào tổng S ta tổng 7S giống tổng S Do lấy tổng 7S trừ tổng S số hạng bị triệt tiêu, từ tính tổng S Lời giải: S = 1+ Ta có 5 5  5 5 5 5 + + + + 55 ⇒ S = +  + + + + 55 ÷ = + + + + + + 54 7 7  7 7 7 7 ⇒ S − S = S = 11 − S= Bài 6: Tính tổng 11 ⇒S= − 55 6.755 1 1 + + + 18 18.9 162.9 1458.9 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN *) Phân tích: Nếu quy đồng phân số tốn phức tạp Nhận thấy số 18, 162, 1458 chia hết cho 9, ta phân tích số thành tích với thừa số để xem có xuất tổng theo quy luật 1 + + + a a a hay khơng, từ có hướng tính S Lời giải: S= Ta có 1 1 1 1 11 1  + + + = + + + =  + 2+ 3+ 4÷ 18 18.9 162.9 1458.9 2.9 2.9 2.9 2.9 29 9  2S = Nhân vào tổng S ta được: Nhân vào tổng 2S ta được: 1 1 + + + 9 93 1 19S = + + + 9 18S − 2S = 16S = − 94 − 94 − 410 ⇒ 16 S = ⇒ S = = 94 94 16.94 6561 Trừ tổng 18S cho tổng 2S ta được: Dạng 3: Tính tổng có dạng A = + a + a + a + + a n I Phương pháp giải Bước 1: Nhân hai vế đẳng thức với a A = a + a + a + a8 + + a n + a2 ta được: (2) ( ) − ( 1) Bước 2: Lấy theo vế ta được: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang (1) CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN ( ) ( a A − A = a + a + a + a8 + + a n + − + a + a + a + + a n ( ) ⇒ A a − = a 2n+ − ⇒ A = ) a 2n+2 − a2 −1 II Bài toán Bài 1: Tính tổng sau: A = + 22 + + 26 + … + 298 + 2100 (1) Lời giải: Nhân vào hai vế với 22 ta được: 22.A = 22 + 24 + 26 + 28 + … + 2100 + 2102 (2) ( ) − ( 1) Lấy theo vế : ( ) ( 22.A − A = 22 + 24 + 26 + 28 + … + 2100 + 2102 − + 2 + 24 + 26 + … + 298 + 2100 A = 2102 − ⇒ A = 2102 − B= Bài 2: Tính tổng sau: 1 1 + + + + + 2018 9 81 729 Lời giải: C= Đặt 1 1 + + + + 2018 ⇒ B = + C 81 729 C= Ta có: ⇒ 1 1 + + + + 2018 3 1 1 C = + + + + 2020 3 3 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 10 (1) ) CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN A = − 22 + 23 − 24 + 25 − 2100 + 2101 ⇒ A + A = 2101 + ⇒ A = 2101 + Bài 20: Tìm n nhỏ cho tổng n số phương lẻ chia hết cho Lời giải: A = 12 + 32 + 52 +……+ (2n − 1) = Ta có n(2n − 1)(2n + 1) (2n − 1, 2n + 1) = 2;( n, 2n − 1) = 1;( n, n + 1) = Mà n, 2n − 1, 2n + có số chia hết cho 3, 2n + = n mà muốn A chia hết cho số phải chia hết cho Để nhỏ Suy n=4 Vậy nên số n=4 số cần tìm Bài 21: Tính tổng A = 1.3 + 3.7 + 5.11 + + 99.199 Lời giải: (2n − 1)(4 n − 1) = 2(2n − 1) + 2n − Ta có ⇒ A = 2(12 + 32 + 52 + + 992 ) + (1 + + + + 99) ⇔ A= 50(100 − 1)(100 + 1) − 50 = 166650 − 2500 = 164150 A = 1.2 + 3.4 + + 2(2n + 1)(n + 1) Bài 22: Tính tổng Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 59 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN (2n + 1)(2n + 2) = 4n + 6n + = (2n + 1) + 2n + Ta có ⇒ A = (12 + 32 + + (2n + 1) ) + (1 + + + (2n + 1)) A= (n + 1)(2n + 1)(2n + 3) + (n + 1) (n + 1)(4n + 8n + + 3n + 3) A= A= (n + 1)(4n + 3)(n + 2) Bài 23: Tính tổng D = 62 + 82 + 102 + + 1022 S = 22 + + + + ( k − 1) = ( k − 1) k ( k + 1) Phân tích: Sử dụng cơng thức với k = 103 Lời giải: ( k − 1) k ( k + 1) S = 22 + 42 + 62 + + ( k − 1) = Áp dụng công thức: S = 22 + 42 + + + 102 = Mặt khác: Suy ra: 102.103.104 = 182104 S = 22 + 42 + 62 + 82 + + 1022 = 22 + + D D = S − 22 − 42 = 182104 − 2 − = 182084 Bài 24: Tính tổng E = 122 + 142 + + 2010 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 60 với k = 103 Ta được: CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN S = 22 + 42 + 62 + + ( k − 1) = ( k − 1) k ( k + 1) Phân tích: Sử dụng cơng thức E1 = 22 + + + ( k − 1) Tính với E2 = 22 + 42 + + ( k − 1) Tính với k = 11 k = 2010 E = E2 − E1 Khi đó: Lời giải: S = 22 + 42 + 62 + + ( k − 1) = ( k − 1) k ( k + 1) Áp dụng công thức: E1 = 22 + 42 + + + 102 = Đặt E2 = 22 + 42 + 62 + 20102 = Đặt E = E2 − E1 = Khi đó: Bài 25: Tính tổng: 10.11.12 2010.2011.2012 2010.2011.2012 10.11.12 − = 1355454000 6 F = 12 + 22 + 32 + + 1012 P = 12 + 22 + 32 + + n = Phân tích: Tổng F có dạng n ( n + 1) ( 2n + 1) với n = 101 Lời giải: P = 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) Áp dụng cơng thức: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 61 với n = 101 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN F = 12 + 22 + 32 + + 1012 = Ta được: Bài 26: Tính tổng: Phân tích: Tổng 101.102.203 = 348551 G = + + + 16 + 25 + + 10000 G = + 22 + 32 + + 52 + + 100 P = 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) Áp dụng dạng với n = 100 Lời giải: P = 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) Áp dụng công thức: + 22 + 32 + 42 + 52 + + 1002 = Suy ra: Vậy 100.101.201 = 338350 + + + 16 + 25 + + 10000 = 338350 G = 338350 với Bài 27: Tính tổng K = −12 + 22 − 32 + 42 − 52 + − 192 + 202 K1 = 12 + 32 + 52 + + 192 Phân tích: Tính K = 22 + 42 + + + 20 Tính K = − K1 + K Tính Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 62 n = 100 , ta được: CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN K1 = 12 + 32 + 52 + + 192 = Đặt 19.20.21 20.21.22 K = 22 + 42 + 62 + + 202 = Đặt K = − K1 + K = −12 + 22 − 32 + 42 − 52 + − 192 + 202 = − Khi đó: Bài 28: Biết 12 + 22 + 32 + + 102 = 385 Tính tổng 19.20.21 20.21.22 + = 210 6 M = 22 + 42 + 62 + + 202 Lời giải: Ta có: Suy ra: Mà M = 22 + 42 + 62 + + 20 M = + 22 + 32 + + 102 2 12 + 22 + 32 + + 102 = 385 Nên Vậy M = 385 22 M = 22.385 = 1540 Bài 29: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Phân tích: Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 3) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 63 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3 ( – 1) + 3.4 ( – ) + + 99.100(101 − 98) =1 .2.3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + 3.4.5 − − 98.99.100 + 99.100.101 99.100.101 ⇒ S =  = 33 100 101 = 333300 Vậy S = 333300 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + ( n − 1).n Bài tốn tổng qt: Tính tổng 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + (n − 1)n.3 Ta có: = 1.2.3 + 2.3 ( – 1) + 3.4 ( – ) + + (n −1) n [ (n + 1) − ( n − 2) ] =1 .2(n − 1).n.(n + 1).3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + 3.4.5 − − (n − 2).(n − 1).n + ( n − 1).n.(n + 1) = (n − 1).n.(n + 1) ⇒S = (n – 1) n ( n + 1) S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + ( n − 1).n = Vậy: Bài 30: Tính tổng (n − 1)n(n + 1) S = 2.6 + 6.10 + 10 14 + … + 46.50 Phân tích:Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 12) tách để xuất số hạng đối Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 64 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Ta có: 12 S = 2.6.12 + 6.10.12 + 10.14.12 + … + 46.50.12 = 2.6.(10 + 2) + 6.10 ( 14 – ) + 10.14 ( 18 – ) + + 46.50.(54 − 42) =  2.6.10 + 2.6.2 + 6.10.14 − 2.6.10 + 10.14.18 – 6.10.14 + +46.50.54 − 42.46.50 = 24 + 46.50.54 ⇒S = Vậy 24 + 46.50.54 = 10352 12 S = 10352 Bài 31: Tính tổng S = 4.9 + 9.14 + + 44.49 Phân tích: Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 15) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: 15S = 4.9.15 + 9.14.15 + + 44.49.15 = 4.9.(14 + 1) + 9.14.(19 − 4) + + 44.49.(54 − 39) = 4.9.14 + 4.9.1 + 9.14.19 − 4.9 14 + + 44.49.54 − 39.44.49 = 36 + 44.49.54 ⇒S = 36 + 44.49.54 = 7764 15 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 65 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN S = 7764 Vậy Bài 32: Tính tổng S = 2.4 + 4.6 + … + 48.50 Phân tích:Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 6) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: S = 2.4.6 + 4.6.6 + … + 48.50.6 = 2.4.6 + 4.6 (8-2) + … + 48.50.(52 − 46) = 2.4.6 + 4.6.8 - 4.6.2 + … + 48.50.52 − 46.48.50 = 48.50.52 48.50.52 ⇒ S =  = 20800 Vậy S = 20800 Bài 33: Tính tổng S =`1.5 + 5.9 + + 97.101 Phân tích:Vì khoảng cách thừa số số hạng Nhân vào hai vế đẳng thức với lần khoảng cách (nhân với 12) tách để xuất số hạng đối Lời giải: Ta có: 12 S = 1.5.12 + 5.9.12 + + 97.101.12 = 1.5.(9 + 3) + 5.9.(13 − 1) + + 97.101.105 − 93.97.101 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 66 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN = 1.5.9 + 1.5.3 + 5.9.13 − 1.5.9 + + 97.101.105 − 93.97.101 = 97.101.105 + 1.5.3 = 1028700 1028700 ⇒ S =  = 85725 12 Vậy S = 85725 Bài 34: Tính tổng M = 1.3.5 + 3.5.7 + 7.9.11 + + 99.101.103 a2 = 3, k = Phân tích: Ta áp dụng dạng toán với Lời giải: M = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103 8M = 1.3.5.8 + 3.5.7.(9 − 1) + 5.7.9.(11 − 3) + + 99.101.103.(105 − 97) 8M = 1.3.5.8 + 3.5.7.9 − 3.5.7 + 5.7.9.11 − 3.5.7.9 + + 99.101.103.105 − 97.99.101.103 8M = 1.3.5.8 − 3.5.7 + 99.101.103.105 8M = 108139200 M = 13517400 Bài 35: Tính tổng N = 1.4.7 + 4.7.10 + 7.10.13 + + 100.103.106 Phân tích TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 67 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN a2 = 4, k = Ta áp dụng dạng toán với an = 106 Khi đó: 106 = + (n − 1) k 105 = (n − 1).3 35 = n − n = 36 Lời giải: N = 1.4.7 + 4.7.10 + 7.10.13 + + 100.103.106 12 N = 1.4.7.12 + 4.7.10.(13 − 1) + 7.10.13.(16 − 4) + + 100.103.106.(109 − 97) 12 N = 1.4.7.12 + 4.7.10.13 − 4.7.10 + 7.10.13.16 − 4.7.10.13 + + 100.103.106.109 − 97.100.103.106 12 N = 100.103.106.109 + 1.4.7.12 − 4.7.10 12 N = 119006256 N = 9917188 Bài 36: Tính tổng P = 50.51.52 + 51.52.53 + 52.53.54 + + 98.99.100 Phân tích Ta có TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 68 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN P = 50.51.52 + 52.53.54 + + 98.99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100) − (1.2.3 + 2.3.4 + + 49.50.51) Ta tính hai tổng sau A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100 B = 1.2.3 + 2.3.4 + + 49.50.51 Lời giải: +) Tính tổng A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100 Áp dụng ví dụ, ta tính A = 24497550 B = 1.2.3 + 2.3.4 + + 49.50.51 k = 1, ak = k , n = 51 Tương tự áp dụng công thức (*) với B= ta có 49.50.51.52 + 4.1.2.3 − 2.3.4 = 1624350 4.1 +) Tính P = 50.51.52 + 52.53.54 + + 98.99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100) − (1.2.3 + 2.3.4 + + 49.50.51) = A − B = 24497550 − 1624350 = 22873200 Bài 37: Tính tổng A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.100.101 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 69 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN A Phân tích: Trong tốn này, ta khơng nhân với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Lời giải: A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + + 99.100.101 A = 1.3.(5 − 3) + 3.5.(7 − 3) + 5.7.(9 − 3) + + 99.101.(103 − 3) A = 1.3.5 − 1.3.3 + 3.5.7 − 3.5.5 + 5.7.9 − 5.7.3 + + 99.101.103 − 99.101.3 A = (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + + 99.101.103) − 3.(1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101) Từ ta có, M = 1.3.5 + 3.5.7 + 7.9.11 + + 99.101.103 N = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101 Áp dụng 1, ta tính M = 13517400 Ta cần tính N = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 99.101 N = 1.3.6 + 3.5.(7 − 1) + 5.7.(9 − 3) + + 99.101.(103 − 97) N = 1.3.6 + 3.5.7 − 3.5 + 5.7.9 − 3.5.7 + + 99.101.103 − 97.99.101 N = 1.3.6 − 3.5 + 99.101.103 N = 1029900 N = 171650 TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 70 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN Do A = M − 3.N A = 13517400 − 3.171650 A = 13002450 Bình luận: Ta nhận thấy cách tính M M 4k k nhân với khoảng cách số liên tiếp N N N M số hạng có thừa số, cịn cách tính tương tự Tuy nhiên để tính ta nhân với lần khoảng cách số liên tiếp số hạng N có thừa số A = 1.2.3 + 3.4.5 + + (2n − 1).2n.(2 n + 1) ( n ∈ N * , n ≥ 2) Bài toán tổng quát: Bài tập tương tự Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + + 49.51.53 B = 27.28.29 + 28.29.30 + + 59.60.61 Bài 38: Tính tổng K = 1.22 + 2.32 + + 99.1002 K Phân tích: Trong tốn này, tương tự ta không nhân với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Ở ta tách n = n ( n + 1) − 1 với bình phương Lời giải: K = 1.22 + 2.32 + + 98.992 K = 1.2.(3 − 1) + 2.3.(4 − 1) + + 98.99.(100 − 1) TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 71 CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN K = 1.2.3 − 1.2 + 2.3.4 − 2.3 + + 98.99.100 − 98.99 K = (1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100) − (1.2 + 2.3 + + 98.99) Từ ta tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100 B = 1.2 + 2.3 + + 98.99 +) Tính tổng A = 1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100 Áp dụng ví dụ , ta tính +) Tính tổng A = 24497550 B = 1.2 + 2.3 + + 98.99 Áp dụng Lý thuyết với k = 1, n = 99 ⇒ ak = k Áp dụng Lý thuyết, với B= Vậy (với 1≤ k ≤ n 98.99.100 + 3.1.2 − 2.3 98.99.100 = = 323400 3 K = A − B = 24497550 − 323400 = 24174150 A = 1.22 + 2.32 + + (n − 1).n (n ∈ N * , n ≥ 2) Bài toán tổng quát: Bài tập tương tự: Tính A = 1.22 + 2.32 + + 49.502 A = 13 + 23 + 33 + + (2n)3 Bài 39: Tính tổng Lời giải: TÀI LIỆU NHĨM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 72 ), ta tính CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN A = 13 + 23 + 33 + + (2n)3 A = (13 + (2n)3 ) + (23 + (2n − 1)3 ) + + ( n3 + ( n + 1)3 ) A = (2n + 1)(12 − 2n + (2n)2 ) + (2n + 1)(22 − 2.(2 n − 1) + (2n − 1) ) + + (2 n + 1)( n2 − n(2 n − ( n − 1)) + (n + 1)2 ) A = (2n + 1)(12 + 22 + 32 + + (2n)2 − [2n(1 + + + + n) − (1.2 + 2.3 + + ( n − 1) n)] n( n − 1)( n + 1)   n(2n + 1)(4n + 1) A = (2 n + 1)  − n ( n + 1) +  3  A = n(2n + 1) 8n + 6n + − 3n − 3n + n −  6n + 3n  A = n(2n + 1)  ÷ = (n(2n + 1))   TÀI LIỆU NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 73 ... ) + 10 0 .10 1 ( 10 2 − 99 ) = 1. 2 .3 − 1. 2 .3 + 2 .3. 4 − 2 .3. 4 + 3. 4.5 − − 98.99 .10 0 + 99 .10 0 .10 1 − 10 0 .10 1.99 + 10 0 .10 1 .10 2 = 10 0 .10 1 .10 2 ⇒ S = 10 0 .10 1 .10 2 : = 34 .10 0 .10 1 = 34 3400 Vậy SM 10 0 12 +... 2 .3. 4.(5 − 1) + 3. 4.5.(6 − 2) + + 10 .11 .12 . ( 13 − 9) 4C = ( 1. 2 .3. 4 + 2 .3. 4.5 + 3. 4.5.6 + + 10 .11 .12 . 13 ) − ( 1. 2 .3. 4 + 2 .3. 4.5 + 3. 4.5.6 + + 9 .10 .11 .12 ) = 10 .11 .12 . 13 C= 10 .11 .12 . 13 = 4290 A... CHUYÊN ĐỀ 1: SỐ TỰ NHIÊN 23 = 23 . 13 43 = 23. 23 63 = 23. 33 20 03 = 23 .10 03 Phân tích: Phân tích ; ; ; ; ( A = 23 + 23 + 33 + + 10 03 Khi ) Lời giải: ( A = 23 + 43 + 63 + + 20 03 = 23 . 13 + 23. 23 + 23. 33