Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 r I
oAN com
CHUYÊN ĐÈ 18: PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỎI (Liên tục khai giảng các khóa học trực tuyến dành cho các em HS trên toàn quốc khối 6, 7, 8, 9)
s* Giáo viên giảng dạy: Thầy Thích Tel: 0919.281.916 (Zalo) Email: doanthich@gmail.com »Ò _ Website: www ToanlQ.com s +, s oo LY THUYET
Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong số các phương pháp dùng để giải một số bài toán có văn Đây là phương pháp mà khi giải ta phải đi ngược từ các dữ liệu ở cuối của đê bài toán để tìm ra ddại lượng ban đâu Cơ sở của phương pháp này chính là việc ấi tìm các thành phần chưa biết trong một phép tính (Chẳng hạn: Tìm một số biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 5 ta sẽ được kết quả là 10 Ở đây số phải tìm chính là số bị trừ chưa biết trong phép trừ: x— 5 — 10) Những bài toán dạng này rất đa dạng và phong phú Việc hướng dân học sinh nắm được phương pháp giải các bài toán dạng này là một việc làm hết sức cần thiết đối với mỗi giải viên, đặc biệt là trong quá trình bôi dưỡng học sinh giỏi Làm thế nào để giúp học sinh hình thành và phái triển được kĩ năng giải các bài toán dạng này? Hi vọng răng với một chúi ít kinh nghiệm dưới đây sẽ góp phần cùng các bạn đồng nghiệp giải quyết được vấn đề trên để nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học nói chung và bôi dưỡng học sinh giỏi nói riêng Chúng ta cùng tìm hiểu qua cách giải một số bài toán cụ thể sau đây:
BAI TAP VAN DUNG
Bài 1: Một nông dân ra chợ bán hết sô cam của mình cho năm người : x an Ls 1£ A: a 1, Ma he: 1K oy 4s Uk Người thứ nhât mua 5 SO cam roi mua thém z quả, người thứ hai mua 5 80 con lai roi mua ^ 1 2 xX: r 1 RK 2 x A: ^ 1 2 xX rr 1 RK thém 5 qua , người thứ ba mua 380 qua con lại rôi mua thêm z quả, người thứ tư mua 5 80 x10: A: 1, MS be aX a ee a ee F
còn lại rôi mua z quả, người thứ năm mua 5 80 con lai roi mua thêm 5 qua thi va het Tính sô cam người nông dân đem đi bán và sô cam những người khác đã mua
Bài 2: Một người cha khi chết đề lại di chúc chia gia tai cho các con như sau:
Trang 2
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co Ne r RK : ` 1 RK Xx : XS r $ 2 Người con thứ nhât được chia 100 cuaron và Tạ SỒ còn lại, người con thứ hai được chia x 1 RK x = `* rr = x 1 K x :
200 cuaron va Tp SÔ còn lại, người con thứ ba được chia 300 cuaron và Tp SÔ còn lại
Cứ tiêp tục chia như vậy thì toàn bộ gia tài được chia đêu cho các con Hỏi gia tài đó gôm
bao nhiêu tiền và mỗi người con được chia bao nhiêu?
Bài 3:
Có 100 viên bị Hai người lân lượt lây sô bị bât kỳ từ 1 đên 4 viên, người nào lây được viên b1 cuôi cùng là người thăng cuộc
a Hỏi người đi trước hay người đi sau sẽ thắng và cách lấy số bi dé dam bao phan
thắng thuộc về mình?
b Cũng hỏi như câu a nêu mỗi người được lấy từ 5 đến 10 viên bi
c Cũng câu hỏi như câu a nếu mỗi người lấy được 5 đến 10 viên bi và người lẫy viên
bi cuối cùng là người thua cuộc?
Bài 4: Một tô công nhân sau khi hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ được thưởng một số tiền
Người tổ trưởng đem chia số tiền đó như sau:
- Tổ trưởng được 100000 đồng và ~— số tiền còn lại - Tổ phó được 200000 đồng và — số tiền còn lại
- Công nhân thứ nhất được 300000 đồng và = số tiền còn lại
- Công nhân thứ hai được 400000 đồng và ~— số tiền còn lại
Cứ tiếp tục chia như vậy cho đến người cuối củng thì số tiền thưởng được chia đều cho tất cả mọi người Hỏi số tiền thưởng cho cả tô là bao nhiêu và mỗi người được thưởng bao
nhiêu tiền ?
Bài 5: Tìm một số biết rằng số đó nhân với 4, được bao nhiêu đem cộng với 4 thì được kết quả là 774
Trang 3
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I
oAN co
Bài 6: Có ba kho gạo với tổng số gạo là 210 tắn Nếu chuyền 20 tấn gạo từ kho A sang
kho B, rồi lại chuyên 50 tắn gạo từ kho B sang kho C thì số gạo ở kho C sẽ gấp đôi số gạo
ở kho B, số gạo ở kho B sẽ gấp đôi số gạo ở kho A Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi kho có
bao nhiêu tấn gạo
„ ˆ J rr RK 1 RK rr A 4 ^
Bài 7: Một người ra chợ bán trứng Người khách thứ nhât mua 580 trimg roi mua thém 2
2 Ni = = 1 RK x Be a : ^ » hs i 1 RK ` © x ©
quả, người thứ hai mua 2 SỐ còn lại rỗi mua thêm 2 quả, người thứ ba mua 5 89 con lại rôi mua thêm 2 quả, người thứ tư mua - số còn lại rồi mua thêm 2 quả thì hết Hỏi người bán hàng bán được bao nhiêu quả trứng?
Bài 8: Trong dịp Tết trồng cây, khối 6 phân chia số cây cho các lớp đem trồng như sau:
Lớp 6A trồng 10 cây và : số còn lại, lớp 6B trồng 15 cây vas số còn lại, lớp 6C trồng 20
1 i ii
cay vas sô còn lại
Cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây các lớp được chia đem trồng đều bằng nhau Hỏi có mấy lớp 6, mỗi lớp được chia bao nhiêu cây đem trồng?
Trang 4
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1 r I
oAN com
CHUYEN DE 18: PHUONG PHAP TINH NGUOQC TU CUOI (Liên tục khai giảng các khóa học trực tuyến dành cho các em HS trên toàn quốc khối 6, 7, 8, 9)
s* Giáo viên giảng dạy: Thầy Thích “ Tel: 0919.281.916 (Zalo)
s* Email: doanthich@gmail.com “+ Website: www.ToanlQ.com
HUONG DAN BAI TAP VAN DUNG
Bài 1: Một nông dân ra chợ bán hết sô cam của mình cho năm người :
X: kh kK 1£ A: a 1 » X k7 : i £ ^ - Ah:
Người thứ nhât mua 5 80 cam roi mua thém z quả, người thứ hai mua 5 SÔ còn lai roi mua
^ 1 2 S8 r 1 RK 2 Xx As ^ 1 2 xẻ r 1 RK
thém 5 qua , người thứ ba mua 380 qua con lại rôi mua thêm z quả, người thứ tư mua 5 80
x 1a: eA: 1, ¬ 1 Á Ai lỹ D Âu a to wy 1x LÁ
còn lại rôi mua z quả, người thứ năm mua z SỐ còn lai roi mua thêm 5 qua thì vừa het Tính sô cam người nông dân đem đi bán và sô cam những người khác đã mua Giải: XD» i £ x 12; À: a 1 wy 1, ^ +) Người thứ năm mua 5 80 con lai roi mua thêm 5 qua thì vừa hêt nên suy ra: z quả cũng ; ` 1 RK ` = chinh 1a 5 80 con lại Aw RK + ` A ,„ £ ^ 1 2 Vậy, sô quả còn lại sau lân bán thứ tư là: 5: 2 = 1 quả Se ee 1k ¬ so CÀ» 1 - 2 A 1 2 ow +) Người thứ tư mua z 80 còn lai roi mua 5 qua con lai 1 qua nén suy ra: (1 + 3) quả cũng z chính là 5 số còn lại Vậy, số quả còn lại sau lần bán thứ ba là: (1 + 22 =3 quả ` r 1 RK 2 Xx : A: ^ 1 2 Xx : 2 ^ 1 +) Người thứ ba mua z Sô quả còn lai roi mua thêm 5 qua con lai 3 qua Nén suy ra: (3 + 3) 2 ^ h xi K ^ : quả cũng chính là z SỐ còn lại Vậy, số quả còn lại sau lần bán thứ hai là: (3 + -).2 = 7 quả
Trang 5Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I oAN com +) Người thứ hai mua ; số còn lại rồi mua thêm 5 quả còn lại 7 quả Nên suy ra: (7 + 3) quả cũng chính là : số còn lại
Vậy, số quả còn lại sau lần bán thứ nhất là: (7 + 5).2 = 15 qua
+) Người thứ nhất mua 5 số cam rồi mua them = qua con lai 15 qua Nén suy ra: (15 + 2)
- , 1 ky :
quả cũng chính là 5 80 con lai
Vậy, số quả cam ban đầu là: (15 + 2).2 = 31 qua
Bài 2: Một người cha khi chết để lai di chúc chia gia tài cho các con như sau:
NS rr RK ° x 1 RK x ` Ñ rr = =
Người con thứ nhât được chia 100 cuaron và 7p SÔ còn lại, người con thứ hai được chia Xx 1 RK é * ` z ` 1 Ấ ` 200 cuaron va Tp SÔ còn lại, người con thứ ba được chia 300 cuaron và Tp 80 con lai
Cứ tiêp tục chia như vậy thì toàn bộ gia tài được chia đêu cho các con Hỏi gia tài đó gôm
bao nhiêu tiền và mỗi người con được chia bao nhiêu? Giải:
Gọi số người con là n (n € N*) Xét người con thứ n — 1 và người thứ n +) Người thứ n— I gia su duoc chia như sau: A cuaron + = số tiền còn lại Hay A cuaron + —B (Với B là số tiền còn lại)
+) Vậy, người thứ n được B -~-B = B Theo quy luật của đề bai thì:
—B = A + 100 cuaron
Mà tồn bộ sơ gia tài được chia đêu cho các con nên suy ra: Sô tiên được chia cho người
thứ n-— I băng sô tiên được chia cho người thứ n Nên suy ra:
A+ B=A+100 10
Trang 6
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co > —B=100 10 > B= 100.10 = 1000
> Neuoi thir n được: —B = —.1000 = 900 cuaron
Theo đề bài suy ra: Số người con là: 900 : 100 = 9 Vậy tổng số gia tài có: 900.9 = 8100 cuaron
D/s: Tong s6 gia tài có: 8100 cuaron và mỗi người con được: 900 cuaron Bài 3:
Có 100 viên bi Hai người lần lượt lay s6 bi bat kỳ từ 1 đến 4 viên, người nảo lẫy được
viên bi cuối cùng là người thắng cuộc
a) Hỏi người đi trước hay người đi sau sẽ thắng và cách lấy số bi dé dam bao phan
thắng thuộc về mình?
b) Cũng hỏi như câu a nêu mỗi người được lấy từ 5 đến 10 viên bi
c) Cũng câu hỏi như câu a nếu mỗi người lấy được 5 đến 10 viên bi và người lẫy viên
bi cuối cùng là người thua cuộc?
Bài giải
a) Người thắng cuộc cần để lại 5 viên bi cho đối thủ của mình Bao giờ người đó
cũng có cách đề số bi lúc sau ít hơn số bi lúc trước là: l + 4= 5, do đó người đó
can dé lai cho đối thủ của mình: 5, 10, 15, 20, .bi, tức là số bï để lại là bội của 5
Người đi sau sẽ thắng cuộc nêu nắm được quy luật chơi: khi người di trước lấy k
viên bi ( I<k<4) thì người đi sau lấy 5 — k viên bi
b) Người thắng cuộc cần để lại 11 viên bi cho đối thủ của mình Bao giờ người đó
cũng có cách đề số bi lúc sau ít hơn số bi lúc trước là: 5 + 10 = 15, do đó người
đó cần đề lại cho đối thủ của mình: 11, 11 + 1.15=26, 11 + 2.15 =41, 56, 71, 86
bi
Người đi sau sẽ thắng cuộc băng cách:
Trang 7
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I
oAN co
+) khi người đi trước lẫy k viên bi ( 5 <k < 10 ) thì người đi sau lấy 14 — k viên bi Khi đó có 86 viên bi
+) Tiếp theo nếu người đi trước lẫy m viên bi thì người đi sau lấy 15 — m viên, và
số bi còn lại lần lượt là 71, 56, 41, 26, 11 Lúc này người đi trước lấy số bi bat ki
thì người đi sau lấy nốt số còn lại
c)_ Người đi trước thăng bằng cách: lấy 5 bi, khi đối thủ lấy tiếp k bi thì người đi
trước lấy 15 — k bị, lần lượt để lại cho người kia 80, 65, 50, 35, 20, 5 viên bi
Bài 4: Một tô công nhân sau khi hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ được thưởng một số tiền
Người tổ trưởng đem chia số tiền đó như sau:
- Tổ trưởng được 100000 đồng và — sé tién con lại - Tổ phó được 200000 đồng và — số tiền còn lại
- Công nhân thứ nhất được 300000 đồng và — số tiền còn lại
- Công nhân thứ hai được 400000 đồng và — sé tién còn lại
Cứ tiếp tục chia như vậy cho đến người cuối cùng thì số tiền thưởng được chia đều cho tất cả mọi người Hỏi số tiền thưởng cho cả tô là bao nhiêu và mỗi người được thưởng bao nhiêu tiên ?
Hướng Dẫn Giải
Ta đem số tiền mỗi người được chia có thể chia thành 2 đợt:
Đợt 1: Mỗi người nhận được lần lượt là: 100000; 200000; 300000; Đợt 2: = số tiền còn lại Người cuối cùng sẽ chỉ được chia 1 lần ở đợt 1 (vì nếu chia 2 đợt thì vẫn phải chia ~ a aT ke a Ä 1 9£ A x nữa) Như vậy, người cuôi cùng nhận được 1 — 18 — 1o SỐ tiên còn lại sau khi chia
Trang 8
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I
oAN com
cho người gần cuối
Người gần cuối nhận được một số tiền ở đợt 1 va = số tiền còn lại sau khi người đó nhận ở
dot 1
Thấy ở đợt 1, người cuối nhận được hơn người gần cuối: 100 000 đồng
Mặt khác số tiền người cuối nhận được bang số tiền người gần cuối
Sơ đồ:
Số tiền mỗi người nhận được là: 100000 x = = 900 000 (déng) Theo quy luật, suy ra tổ đó có 9 người
Tổng số tiền được thưởng là: 9 x 900 000 = § 100 000 (đồng) Đáp Số: 900 000 đồng và § 100 000 đồng Bài 5: Tìm một số biết răng số đó nhân với 4, được bao nhiêu đem cộng với 4 thì được kết quả là 774 Hướng Dẫn Giải
Trước khi cộng với 4 ta có: B = 774-— 4 = 770
Trước khi nhân với 4 ta có: A= 770: 4= 192 5
Số cần tìm là: A = 192,5 Đáp Số: 192,5
Trang 9
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam
www ToanlQ.com — Hotline: 0919.281.916 1: z I
oAN com
Bài 6: Có ba kho gạo với tổng số gạo là 210 tắn Nếu chuyền 20 tấn gạo từ kho A sang
kho B, rồi lại chuyên 50 tắn gạo từ kho B sang kho C thì số gạo ở kho C sẽ gấp đôi số gạo ở kho B, số gạo ở kho B sẽ gấp đôi số gạo ở kho A Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi kho có
bao nhiêu tấn gạo
Hướng Dẫn Giải
Sau khi chuyển: Coi số gạo kho A là 1 phần thì số gạo kho B là 2 phần như vậy và số gạo
kho C là: 2 x 2 = 4 phần
Số tấn gạo kho A sau khi chuyên là: 210 : (1 +2 +4) x 1 =30 (tấn) Số tấn gạo kho A lúc đầu là: 30 + 20 = 50 (tắn)
Số tắn gạo kho B sau khi chuyền là: 30 x 2 = 60 (tan)
Số tấn gạo kho B lúc đầu là: 60 — 20 + 50 = 90 (tan) Số tắn gạo kho C sau khi chuyển là: 30 x 4= 120 (tắn) Số tấn gạo kho C lúc đầu là: 120 — 50 = 70 (tan)
Đáp Số: kho A: 30 tấn; kho B: 90 tấn; kho C: 70 tắn ,„ rr RK 1 RK rr A ` ^ Bài 7: Một người ra chợ bán trứng Người khách thứ nhât mua 5 80 trimg roi mua thém 2 2 xe , 1 RK ` = x bị ^ > a 7 1 RK ` A quả, người thứ hai mua 5 SỐ còn lai roi mua thêm 2 quả, người thứ ba mua 5 89 con lại rôi 1 r “ Xx x ye z
mua thêm 2 quả, người thứ tư mua 5 so con lai roi mua thêm 2 quả thì hêt Hỏi người bán hàng bán được bao nhiêu quả trứng? Bài giải Gọi số trứng người bán hàng bán được là x 2 te x Người thứ nhất mua (— + 2) vậy còn lại x - Gt 2)= 57 2
Trang 10Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti z I oAN co Người thứ 2 mua 5 ( — 2)+2=Z-I+2=Z+ 2 N2 4 4 x x x Vay con lai: —_-2-—-1=—-3 Z 4 4 x 3 Người thứ 3 mua: — +2=-+- 8 2 8 1 (/x 7 x 1 Người thứ 4 mua: = (~ — s]+?= +2 ¬ _X4_ 7 Vậy còn lại: —- — - — -— — — - ~=0 8 2
Vậy x = 60 => Người bán hàng bán được 60 quả trứng
Bài 8: Trong dịp Tết trồng cây, khối 6 phân chia số cây cho các lớp đem trồng như sau:
3 Ễ š _ ‘
Lop 6A trong 10 cay va bà so con lại, lớp 6B trông 15 cây và 5 sô còn lại, lớp óC trông 20
1,
cay va 8 so con lai
Cứ chia như vậy cho đến lớp cuối cùng thì vừa hết số cây và số cây các lớp được chia đem trồng đều bằng nhau Hỏi có mấy lớp 6, mỗi lớp được chia bao nhiêu cây đem trồng?
Bài giải
Xét 2 lớp cuối cùng là lớp thứ n-1 và lớp thứ n
Trang 11
Hệ thống phát triển Toán IQ Việt Nam WwWww.ToanlQ.com - Hotline: 0919.281.916 Ti r I oAN co 1 , 1 Gia su lép thir n-1 duoc chia x cây + 3 sô cây còn lại hay x + 3) (cây) Lớp thứ n a, @
duoc chia not go (cay)
Theo quy luật của bài toán lớp thứ n được chia x + 5 (cây) ( Vì không còn số còn
lai)
Vì sô cây đem trông đêu băng nhau nên ta có:
x+ly=x+5§
=> y=40
Tìm ra lớp thứ n được chia sy = s.40 = 35 cây
Suy ra mỗi lớp được chia 35 cây
Vì lớp 6A trồng 10 cây vas số cây còn lại nên = số cây còn lại là 25 cây
Tổng số cây là 10 + 25.8 = 210(cây)
Số lớp 6 là 210 : 35 = 6(lớp)